1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 10
Текст из файла (страница 10)
e, повороты r, r 3 — порядок 4, поворот r 2 — порядок 2, повороты относительно диагоналей p, pr 2 — порядок 2, повороты относительно осей, проходящих черезсередины противоположных ребер, pr, pr 3 — порядок 2. Соотношение: rp = pr 3 , остальные правила умножения получаются из этого соотношения.Задача 161 . * Найти элементы и их порядок в группе куба.Определение. 1.
Если две оси переводятся друг в друга групповым преобразованием, то они сопряжены.2. Если две плоскости переводятся друг в друга групповым преобразованием,то они сопряжены.3. Если ось переводится в себя с другим направлением вращения групповымпреобразованием, то она называется двусторонней.645. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППКак находить классы сопряженных элементов для точечной группы?1. Повороты на одинаковый угол вокруг сопряженных осей сопряжены: r1k = gr2k g −1 ,где g — элемент группы, переводящий одну ось в другую.2. Взаимно обратные повороты вокруг двусторонней оси сопряжены: r = gr −1 g,где g — элемент группы, переворачивающий ось. (Ось является двусторонней, толькоесли в группе существует перпендикулярная ей ось второго порядка либо плоскостьсимметрии, проходящая через эту ось.)3.
Отражения от сопряженных плоскостей сопряжены: σ1k = gσ2k g −1, где g — элементгруппы, переводящий одну плоскость в другую.Задача 162 . Найти классы сопряженых элементов в группе квадрата.Ответ. D4 = {e} + {r 2} + {r, r 3 } + {p, pr 2 } + {pr, pr 3 } — пять классов.Задача 163 . * Найти классы сопряженых элементов в группе куба.Определение. Множество Z, состоящее из элементов z, перестановочныхсо всеми элементами группы G, называется центром группы: zg = gz ∀g ∈ G.Задача 164 .
Доказать, что Z ⊳ G.Решение. Каждый элемент z из центра Z составляет класс эквивалентности Kz ={z}.Задача 165 . Найти центр группы квадрата.Ответ. Z = {e, r 2 }.Задача 166 . * Найти центр группы куба.Ответ. Z = {e, i}, где i — инверсия.Задача 167 . Найти подгруппы в группе квадрата, указать инвариантные.Решение. Порядок D4 = 8, делители 2 и 4.
По элементу |r| = 4 строим циклическую подгруппу C4 , поскольку ее индекс m = |D4 |/|C4| = 2, то C4 ⊳ D4 . По элементу|r 2 | = 2 строим циклическую подгруппу Z, поскольку это центр группы, то Z ⊳ D4 .По элементу |p| = 2 строим циклическую подгруппу C2 , поскольку в нее не входитэлемент pr 2 ∈ Kp , то она не инвариантна. Аналогично для элементов pr 2 , pr и pr 3 .Ищем, нет ли еще подгрупп порядка 4.
Находим {e, p, pr 2 , r 2} ∼= D2 ⊳ D4 , аналогично3 2 ∼{e, pr, pr , r } = D2 ⊳ D4 — обе инвариантны.Задача 168 . Найти правые и левые смежные классы по подгруппе H = {e, p}группы квадрата.Ответ. D4 = {e, p} + {r, pr} + {r 2 , pr 2 } + {r 3 , pr 3 } = {e, p} + {r, pr 3 } + {r 2 , pr 2} +{r 3 , pr}.Задача 169 . Построить фактор-группу F = D4 /Z.Ответ. F = {E, R, P, P R} ∼= D2 .Задача 170 . Построить фактор-группу F = D4 /C4 .Ответ. F = {E, P } ∼= C2 .Задача 171 . * Доказать, что если F = G/Z — циклическая, то G — абелева.655.3. Матричные представления5.3.Матричные представленияОпределение. Гомоморфизм данной группы G в группу квадратных матрицGL(C, n) называется матричным представлением этой группы D.Задача 172 . Доказать, что любое представление D фактор-группы G/H являетсяпредставлением группы.Решение.
Факторизация сохраняет операцию на множестве, поэтому отображениеG → G/H → D является гомоморфизмом G → D.Определение. Порядком матричного представления группы называется порядок матрицы D(g): n = dimD(g).Пример. Выделяют следующие важные представления.1. Всегда существует тривиальное представление D(g) = 1.2. Точным представлением называют изоморфизм G ∼= D(g).3. Регулярным представлением группы |G| = n называют представление порядкаn и вида Dij (gk ) = 1, если gi = gk gj и Dij (gk ) = 0, если gi 6= gk gj .Задача 173 . Построить точное двумерное представление группы C3v , используяматрицы преобразования координат в плоскости треугольника.Задача 174 . Построить точное двумерное представление группы C3v , используяматрицы преобразования переменных z, z ∗ комплексной плоскости, на которую помещентреугольник.Задача 175 .
Построить точное трехмерное представление группы C3v , используя~ = (B1 , B2 , B3 ).матрицы преобразования вершин равностороннего треугольника BОтвет.T (e) = E,0 0 1T (r) = 1 0 0 ,0 1 01 0 0T (p) = 0 0 1 ,0 1 00 1 0T (r 2 ) = 0 0 1 ,1 0 00 0 1T (pr) = 0 1 0 ,1 0 00 1 0T (pr 2 ) = 1 0 0 .0 0 1Задача 176 .
* Построить регулярное представление группы C3v .Задача 177 . Выразить через матрицу D(g) следующие матрицы:1) D(g n ) = D n (g),;2) D(g −1) = D −1 (g),и показать, что если x ∼ y, то D(x) ∼ D(y).Определение. Представления φ : g → D(g) и φ′ : g → D1 (g) называютсяэквивалентными, если ∃S такая, что D1 (g) = S −1 D(g)S, ∀g ∈ G.Задача 178 . * Доказать, что для любого представления конечной группы существует эквивалентное ему унитарное представление: D(g)D †(g) = E, ∀g ∈ G.665. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗадача 179 . Показать, что точные представления из задач 173 –175 являютсяунитарными.Замечание.
Далее нас будут интересовать неэквивалентные представления. Введем характер представления.Определение. Характером представления называются след матрицы χ(D(g)) =T r(D(g)).Задача 180 . Показать, что если D1 ∼ D, то χ(D1 (g)) = χ(D(g))∀g ∈ G. Характерыэквивалентных представлений совпадают.Задача 181 . Найти χ(D(e)).Ответ. χ(D(e))=dim D.Задача 182 .
Показать, что если g1 ∼ g, то χ(g1 ) = χ(g). Таким образом, χ(g) =χ(Kg ) зависит только от класса сопряженных элементов для любого представления.Задача 183 . * Пользуясь решением задачи 178 , показать, что χ(g −1 ) = χ(g)∗ длялюбого представления D(g).Решение. Пусть U — унитарное представление и U ∼ D, тогда χ(D(g))∗ = χ(U(g))∗ =χ(U † (g)) = χ(U −1 (g)) = χ(U(g −1 ) = χ(D(g −1)).Задача 184 . Пользуясь решением задачи 178 , показать, что для любого N-мерногоNPk), где |g| = n и pk — целые.exp( 2πipпредставления D(g) имеет место формула χ(g) =nk=1NPРешение.
Пусть U — унитарное представление и U ∼ D, тогда χ(D(g)) = χ(U(g)) =exp(iφk ). Поскольку U(g n ) = (U(g))n = E, то φk = 2πpk /n, где pk — целые.k=1Определение. Если существует базис, в котором все матрицы D(g) принимают блочно-диагональный вид, то представление D(g) называется вполнеприводимым.Замечание.
Таким образом, существует базис, в котором все матрицы любого приводимого представления конечной группы есть прямая сумма матриц неприводимых предPставлений: D(g) ∼ ⊕D (k) (g). Причем очевидно, что dim D = k dim D (k) , где D (k) (g) —неприводимые представления.Задача 185 . Доказать, что порядок любого неприводимого представления абелевой группы равен 1.Решение. Поскольку все g коммутируют, то все матрицы любого представленияD(g) коммутируют, а значит, существует базис, в котором S −1 D(g)S диагональна. Всематрицы представления диагональны, т. е. приводимы, если dim D > 1.Задача 186 . Найти все неприводимые представления для циклической группы Cn .Решение. Обозначим gk = g k , тогда D(gk ) = D k (g).
Любое одномерное представление обладает свойством D n (g) = D(g n ) = 1. Существует n решений этого уравнения D (j) (g) = exp(2πij/n). Таким образом, имеется n одномерных представлений видаD (j) (gk ) = exp(2πijk/n).675.3. Матричные представленияЗамечание. Приведем без доказательства следующие два свойства неприводимых представлений.1. Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов.2.
Справедливо соотношение ортогональности неприводимых представлений D (i)X(i)∗(j)Dα,β (gk )Dγ,δ (gk ) =gk ∈Gnδij δα,γ δβδ ,ni(5.1)где |G| = n, а ni — размерность представления D (i) (g).PЗадача 187 . ∗ Доказать, что |G| ≥ i n2i , где суммирование выполнено по всемнеэквивалентным неприводимым представлениям.Указание. Каждому матричному элементу каждого неприводимого представления можно поставить в соответствие n-мерный вектор с компонентами, нумеруемымиэлементами группы, n = |G|.
Вследствие (5.1) все векторы ортогональны, значит, такихвекторов может быть не больше n. Прямой подсчет числа матричных элементов даетнеобходимую формулу.Задача 188 . Вывести соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений.XXχ(i)∗ (gk )χ(j) (gk ) =χ(i)∗ (Kl )χ(j) (Kl )pl = nδij ,(5.2)gk ∈Glгде pl — число элементов в классе эквивалентности Kl .Указание. Воспользоваться (5.1) для следов матриц.Задача 189 . Из соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений вывести соотношениеXn(5.3)χ(i)∗ (Kl )χ(i) (Km ) = δlm .plipУказание. Заметим, что матрица Ujl = χ(j) (Kl ) pl /n унитарна: U † U = E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
