1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Чтобы получить чисто колебательный спектр молекулы, необходимо выимпульса Mчесть из полного представления два 3-мерных представления, отвечающих этим движениям. Для вектора P~ , пользуясь матрицами поворотов и отражений, получим дляхарактера:χv (g) = (3, 0, 1, −3, 0, −1),а для момента импульсаχM (g) = (3, 0, −1, 3, 0, −1).Вычитая эти характеры из полного, для колебательных степеней свободы получимχos (g) = (18, 0, 4, 0, 0, 2).Раскладывая по неприводимым, получимa1 = 3, a2 = 0, a3 = 3, a4 = 2, a5 = 1, a6 = 3.Ответ. 12 частот в спектре, из них 6 частот двукратно вырождены.735.4.
Применение теории представленийЗамечание. Удобно пользоваться формулами для характеров в подпространстве колебательных степеней свободы. Вычитая из исходных характеров характеры в подпространстве импульса и момента импульса, получим:χos (e) = 3(NA − 2),χos (p) = Ns ,5.4.2.χos (φ) = (Na − 2)(1 + 2 cos φ),χos (σrφ ) = N0 (−1 + 2 cos φ).Снятие вырожденияКолебания круглой мембраны описываются амплитудой смещения u(~r) относительноравновесного положения точек мембраны. Из решения, найденного методом разделенияпеременных:Xu=[am (r) cos(mφ) + bm (r) sin(mφ)] ,mследует, что все колебания двукратно вырождены (за исключением m = 0), посколькуam (r) и bm (r) удовлетворяют одному и тому же уравнению с одинаковыми граничнымиусловиями.Задача 196 . Найти спектр колебаний мембраны, если на нее поместили 3 груза ввершины правильного треугольника, и симметрия понизилась с группы O(2) до C3v .Решение.
Рассмотрим, как преобразуются функции cos(mφ) и sin(mφ) под действием преобразований группы треугольника, и вычислим характеры: χm (e) = 2,D(r) =!cos(2πm/3) − sin(2πm/3),sin(2πm/3) cos(2πm/3)откуда χm (r) = 2 cos(2πm/3),D(p) =!1 0,0 −1откуда χm (p) = 0.Чтобы понять, какие кратности вырождения остались в новой системе, надо разложить характер представления, соответствующий m азимутальной моде, по неприводимым характерам группы треугольника. Имеем1a1 = (1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 2 cos(2πm/3));61a2 = (1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 2 cos(2πm/3)) = a1 ;61a3 = (1 · 2 · 2 + 2 · (−1) · 2 cos(2πm/3)) = 1 − a1 .6Ответ. Если m кратно 3, то вырождение снимается, так как соответствующеедвумерное представление при понижении симметрии становится приводимым и распадается на два одномерных D (1) и D (2) , а если не кратно 3, то вырождение остается.745.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗадача 197 . Атом с моментом J = 1 имеет 3-кратное вырождение по уровнямэнергии вследствие того, что состояния с разным значением проекции момента на ось z(|M| ≤ J) имеют одну и ту же энергию из-за симметрии относительно группы вращенийO(3). Найти, как снимается это вырождение, если атом поместили в поле с треугольнойсимметрией C3v .Решение. Зависимость собственных функций с разной проекцией момента от азимутального угла можно записать в виде ΨM ∼ (exp(iφ), 1, exp(−iφ)). Рассмотрим, какпреобразуются эти функции под действием преобразований группы треугольника, ивычислим характеры: χ(e) = 3,exp(i2π/3), 0,0DJ=1 (r) = 0,1,0,0,0, exp(−i2π/3)откуда χ(r) = 0,0 0 1DJ=1 (p) = 0 1 0 ,1 0 0откуда χ(p) = 1.Чтобы понять, какие кратности вырождения остались в новой системе, надо разложить характер этого представления по неприводимым характерам группы треугольника.
Имеем1a1 = (1 · 1 · 3 + 0 + 3 · 1 · 1) = 1;61a2 = (1 · 1 · 3 + 0 + 3 · (−1) · 1) = 0;61a3 = (1 · 2 · 3 + 0 + 0) = 1,6откуда получаем DJ=1 (g) = D (1) (g) ⊕ D (3) (g), 3-кратное вырождение снимается до двукратного и однократного. Чтобы понять, какие из собственных функций остаются двукратно вырождены, найдем проектор на 2-мерное неприводимое представление:100cos(2π/3)0010011 X (3) 1 1χ (g)DJ=1(g) = 0 1 0 − P3 =010 = 0 0 0 .6 g33200 cos(2π/3)0 0 10 0 1Действуя этим проектором на любой вектор, получим ΨM ∼ (1, 0, 1), т. е.
вырожденными остаются функции с противоположными значениями проекции момента:M = ±1.Задача 198 . * Атом с моментом J = 1 имеет (2J + 1)-кратное вырождение поуровням энергии вследствие того, что состояния с разным значением проекции моментана ось z (|M| ≤ J) имеют одну и ту же энергию из-за симметрии относительно группывращений O(3). Найти, как снимается это вырождение, если атом поместили в поле стреугольной симметрией C3v .755.4. Применение теории представлений5.4.3.Правила отбораОпределение. Пусть имеется n-мерное представление D 1 группы G, действующее на пространстве ~v1 , и m-мерное представление D 2 группы G, действующее на пространстве ~v2 . Тогда прямое (кронекерово) произведение двух представлений D(g) = D 1 (g) ⊗ D 2(g) (или покомпонентно Di1 i2 ,j1 j2 = Di11 ,j1 Di22 ,j2 ) является (k = n · m)-мерным представлением группы G, действующем на пространствеk-мерных векторов ~v = ~v1 ⊕ ~v2 (или покомпонентно vj1 j2 = vj11 vj22 ).
Двухкомпонентный индекс j1 j2 пробегает k = n · m различных значений. Аналогично можнопостроить представление группы с помощью прямого произведения трех и более представлений. В общем случае, даже если исходные представления D (1,2)были неприводимыми, прямое произведение будет приводимым представлениеми есть сумма неприводимых представлений D(g) = ⊕α aα D (α) .Задача 199 . Доказать, что χ(D 1 (g) ⊗ D 2 (g)) = χ(D 1 (g)) · χ(D 2 (g)).Определение. Пусть молекула обладает группой симметрии G, тогда любая собственная функция Ψ гамильтониана этой молекулы преобразуется поддействием групповых элементов по какому-либо из неприводимых представлений этой группы D (α) (g) размерности nα : Ψ = Ψαi , где i = 1, .., nα .
Рассмотримвероятности перехода из начального состояния системы Ψαi11 в конечное Ψαi22 под~ преобразудействием внешнего возмущения, например электрического поля E,Vющегося по 3-мерному представлению D (g). По определению матричный элемент перехода Ai1,i,i2 ∝ Ψαi11 | Ei |Ψαi11 преобразуется по прямому произведениюD A (g) = D (α1 ) (g) ⊗ D V (g) ⊗ D (α2 ) (g), являющемуся приводимым представлением.Поскольку матричный элемент не может изменяться под действием группы G, то либо матричный элемент равен нулю либо в разложении представления D A (g) по неприводимым присутствует тривиальное D (1) (g) = 1 представление. Только проекция (k = nα1 · 3 · nα2 )-мерного вектора амплитуды перехода Ai1,i,i2на подпространство, соответствующее тривиальному представлению, отлична от нуля. Запрет на переходы между некоторыми состояниями называетсяправилами отбора.Задача 200 . Найти правила отбора для переходов под действием электрическогополя для молекулы, обладающей симметрией треугольника.~Решение.
Сначала найдем характер трехмерного представления на E:χV (e) = 3,χV (r) = 1 + 2 cos(2π/3) = 0,χV (p) = 1.Рассмотрим характеры представлений для перехода из состояния с представлением D (1)в D (1) :χA1→1 (e) = 1 · 3 · 1 = 3,χA1→1 (r) = 1 · 0 · 1 = 0,χA1→1 (p) = 1 · 1 · 1 = 1.Вычислим коэфициент a1 в разложении на неприводимые представления: a1 = 1, т. е.переход разрешен. Для перехода из D (1) в D (2) :χA1→2 (e) = 1 · 3 · 1 = 3,χA1→2 (r) = 1 · 0 · 1 = 0,χA1→2 (p) = 1 · 1 · −1 = −1.765. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППТогда a1 = 0, т. е. переход запрещен. Для перехода из D (1) в D (3) :χA1→3 (e) = 1 · 3 · 2 = 6,χA1→3 (r) = 1 · 0 · −1 = 0,χA1→3 (p) = 1 · 1 · 0 = 0.Тогда a1 = 1 и переход разрешен. Если разрешен прямой переход, то разрешен и обратный.
Поэтому нам осталось проверить переходы 2 → 2, 2 → 3, 3 → 3. Заметим,что в разложении прямого произведения трех представлений присутствует тривиальное в том и только в том случае, если в разложении прямого произведения двух из этихпредставлений присутствует третье.Возьмем прямое произведение χ(D V (g) ⊗ D (2) (g)) = (3, 0, −1) и разложим его всумму по неприводимым a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1. Таким образом, разрешены переходы2 → 2 и 2 → 3, а переход 2 → 1 запрещен, что уже известно. Наконец, характер прямогопроизведения χ(D V (g)⊗D (3) (g)) = (6, 0, 0).
Его разложение на неприводимые дает a1 = 1,a2 = 1, a3 = 2, т. е. все переходы из состояния, принадлежащего D (3) , разрешены.Задача 201 . * Найти правила отбора для переходов под действием магнитногополя для молекулы, обладающей симметрией квадрата.Задача 202 . * Найти правила отбора для переходов под действием квадрупольного поля для молекулы, обладающей симметрией тетраэдра.5.5.Группы Ли. Инвариантные тензорыЭлементы группы Ли нумеруются набором непрерывных параметров.
Нас будут интересовать только матричные группы Ли.Определение.Размерностью группы Ли называется наименьшее число независимых вещественных параметров x = (x1 , ..., xn ), достаточных для задания элементовгруппы. В качестве таблицы умножения g(x)g(y) = g(z) используется функцияz = f (x, y).1. Можно считать, что функция f ∈ C∞ .2. Единицей матричной группы g(0) является единичная матрица.Пример.
Абелевы однопараметрические группы преобразований плоскости.1. Повороты в плоскости SO(2). Сохраняет длину r 2 = x2 + y 2 , один параметр,в качестве которого удобно выбрать угол поворота 0 ≤ φ < 2π. Группа компактная.Многообразие группы — это окружность.2. Гиперболические повороты в плоскости SO + (1, 1).
Сохраняется интервал s2 =t2 − x2 . Здесь один параметр, в качестве которого удобно выбрать буст (th (β) = v/c,где v — скорость системы отсчета, в которую делается переход) −∞ < β < ∞. Группанекомпактная. Многообразие группы — это прямая,!ch β sh βA(β) =.sh β ch β.Проверим s21 = t21 − x21 = (tch β + xsh β)2 − (xch βx + tsh β)2 = t2 − x2 = s2 . Умножениеоставляет в группе: A(β1 )A(β2 ) = A(β1 + β2 ). Для скорости получаем правило сложения775.5. Группы Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
