1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППСовершенно аналогично для других генераторов получим∂∂−y ;∂y∂z∂∂I2 = x − z .∂z∂xI1 = zПроверим, что коммутаторы генераторов выражаются через структурные константы:[Ii , Ij ] = ǫijk Ik .Поскольку гильбертово пространство функций содержит базисные векторы всех представлений, то (1) скобка Ли одинакова для всех представлений и (2) можно найти всенеприводимые представления группы SO(3).Определение. Оператором Казимира группы называется квадратичная комбинация генераторов группы K = qij Ii Ij , коммутативная со всеми генераторамигруппы в любом представлении.Задача 222 .
Найти оператор Казимира для SO(3).Решение. Поскольку свойство коммутативности должно выполняться для любогопредставления, необходимо при вычислениях пользоваться скобкой Ли.[K, In ] = qij [Ii Ij , In ] = qij (Ii [Ij , In ] + [Ii , In ]Ij = qij (Ii ǫjnk Ik + ǫink Ik Ij ) = 0 ∀n.Для n = 3 получим qi1 Ii I2 − qi2 Ii I1 + q1i I2 Ii − q2i I1 Ii = 0, что 0 = q12 + q21 = q11 − q22 = q31 =q32 = q13 = q23 .
Повторяя для других значений n, получим выражение для оператораКазимираK = I12 + I22 + I32(общий множитель неважен). Это с точностью до знака оператор квадрата моментаимпульса. В представлении на функциях он равен угловой части оператора Лапласа.∂ 2∂r= r 2 △Ω .∂r ∂rЗадача 223 .
Найти все неприводимые представления группы SO(3) и их характеK = r2△ −ры.Решение. Для этого достаточно найти все собственные аналитические функцииоператора Казимира. Мы знаем, что это сферические функцииKYml (θ, φ) = −l(l + 1)Yml (θ, φ),l = 0, 1, 2, . . .Для фиксированного собственного числа оператора K имеется набор из 2l + 1 собственных функций с номерами −l ≤ m ≤ l. Поскольку K коммутирует со всеми генераторами, а значит и с произвольной функцией генераторов, в частности с любым элементомгруппы, получимl~K(g(~a)Yml ) = exp(~a · I)(KYa)Yml ),m ) = −l(l + 1)(g(~что g(~a)Yml является собственной функцией с тем же собственным значением, а значитпредставима в виде суммы по всем Ynl с тем же l. Теперь действие группы на каждом875.5. Группы Ли.
Инвариантные тензорыиз (2l + 1)-мерных подпространств гильбертова пространства, заданных функциями Yml ,сводится к умножению на матрицу (2l + 1) × (2l + 1):(l)g(~a)Yml = DmnYnl .Таким образом, имеется бесконечное счетное число нечетномерных неприводимых представлений.Все повороты на фиксированный угол α вокруг любой оси эквивалентны и составляют класс сопряженных элементов C(α), где 0 ≤ α < π.
Характер удобно вычислятьдля поворота вокруг оси z, когда матрица диагональна D (l) (α) = diag (eilα , . . . , e−ilα ).Суммируя, получимsin((l + 1/2)α)χ(l) (α) =.sin(α/2)Чтобы доказать ортогональность характеров, надо знать плотность числа элементов вкаждом классе (меру Хаара) p(α) = (2 sin(α/2))2. Легко видеть, что они ортогональны:Zπdα′p(α)χ(l)∗ (α)χ(l ) (α) = δl,l′ .2π0Задача 224 . Найти таблицу характеров группы O(3).Решение. Поскольку эта группа есть прямое произведение O(3) = SO(3)⊗{e, i}, точисло представлений удваивается, кроме D (l) появляются нечетномерные представленияD ′(l) , а таблица характеров есть прямое произведение!1 1(l).χ (α) ⊗1 −1Кроме скалярного D (0) есть псевдоскалярное D ′(0) , к векторному D (1) добавляется псевдовекторное D ′(1) , наряду с квадрупольным D (2) имеется псевдоквадрупольное D ′(2) итак далее.Задача 225 .
Разложить прямое произведение D (l1 ) (g) ⊗ D (l2 ) (g) неприводимыхпредставлений группы SO(3) по неприводимым D (j) (g).Решение. Вычислим интегралZ πdαp(α)χ(l1 ) (α)χ(l2 ) (α)χ(j)∗ (α) =2π0Z0πjXdα2 cos mα) = Θ(j−|l1 −l2 |)−Θ(j−(l1 +l2 +1)).(cos(|l1 − l2 |α) − cos((l1 + l2 + 1)α)) (1+πm=1Таким образом, получаем правило Клебша — Гордана:D(l1 )⊗D(l2 )=lX1 +l2j=|l1 −l2 |⊕D (j) .Суммарный момент двух квантовых частиц с моментами l1 , l2 может принимать значения от j = |l1 − l2 | до j = l1 + l2 .885.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗадача 226 . Разложить прямое произведение неприводимых представлений группы O(3) по неприводимым.Решение. Под действием инверсии скаляр не меняет знака D (0) (i)Y 0 = Y 0 , векторменяет D (1) (i)Ym1 = −Ym1 , тензор второго ранга опять не меняет знака D (2) (i)Ym2 = Ym2и т.д. D (l) (i)Yml = (−1)l Yml .
Такое свойство в физике называется четностью D (l) (i) =(−1)l D (l) (e). Все штрихованные представления группы O(3) обладают противоположнойчетностью. К правилу Клебша Гордона для представлений группы O(3) надо добавить′правило четности: если (−1)l1 +l2 = (−1)j , то входит D (j) , а если нет, то входит D (j ) .Задача 227 . Найти правила отбора в квантовой механике для переходов междусостояниями с определенным значением орбитального момента l под действием электродипольного взаимодействия.Решение. Электрическое поле преобразуется по D (1) . Раскладывая прямое произведение′D (1) ⊗ D (l) = D (l−1) ⊕ D (l ) ⊕ D (l+1) ,получаем, что переходы в дипольном приближении разрешены только между состояниями с орбитальным моментом, различающимся на 1, поскольку состояний орбитальногомомента со штрихованными представлениями нет.5.5.4.Представления группы O(3)Задача 228 .
Вектор для группы SO(3) трехкомпонентный ~r = (x, y, z), а векторным представлением D v (g) являются ортогональные матрицы с определителем 1, т. е.матрицы поворота.1. Показать эквивалентность представлений D v (g) ∼ D (1) (g).1~1Решение. компоненты вектора ~r через Ym , получим ~r = S Y , где матрица Выражая10 212 −iS = r 2 0 2i . Откуда получаем S −1 D v (g)S = D (1) (g). Поскольку это одно и то0 1 0же представление, записанное в разных базисах, то D (1) (g) есть векторное представление.2. Найти размерность тензорного представления k-го ранга.kОтвет.
dim D T = 3k .3. Разложить представление тензора 2-го ранга по неприводимым.2Решение. D T = D (1) ⊗ D (1) = D (2) ⊕ D (1) ⊕ D (0) .4. Разложить представление тензора 2-го ранга по неприводимым в группе O(3):Решение. Из четности следует, что2′D T = D (1) ⊗ D (1) = D (2) ⊕ D (1 ) ⊕ D (0) .Поскольку этот тензор четный, то вместо векторного представления в разложение вхо′дит псевдов̄екторное представление D (1 ) , которое не меняет знака при инверсии.
Очевидно, что смешанное тензорное произведение′′′D (1) ⊗ D (1 ) = D (2 ) ⊕ D (1) ⊕ D (0 )обладает противоположной четностью.5.5. Группы Ли. Инвариантные тензоры89Замечание. В группе SO(3) имеется два инвариантных (т. е. не меняющихся при поворотах) тензора: δij — тензор 2-го ранга, задающий скалярное произведение (длина вектора), и ǫijk — тензор 3-го ранга, задающий смешанное произведение (объем, натянутый наvvvvvтри вектора).
Проверим, что Di,i′ (α)Dj,j ′ (α)δi′ j ′ = δij , а Di,i′ (α)Dj,j ′ (α)Dk,k ′ (α)ǫi′ j ′ k ′ = ǫijk .С помощью инвариантных тензоров можно раскладывать тензор на неприводимые компоненты, т. е. можно выразить проекторы через инвариантные тензоры вместовыписывания громоздких матриц 3k × 3k . В группе O(3) тензор ǫijk не является инвариантным, поскольку меняет знак при инверсии.Задача 229 .
Найти проекторы на подпространства неприводимых представленийдля тензора 2-го ранга Tij2 = ri pj .Решение. Из инвариантных тензоров можно составить две комбинации для тензора 2-го ранга, это Sδij и ǫijk Vk , где S — скаляр, а Vk — компоненты вектора (псевдовекторадля группы O(3)). Они ортогональны.
Нам необходимо представить 9-мерный Tij в видесуммы трех частей: одно- трех- и пятимерных, каждая из которых преобразуется посвоему неприводимому представлению:Tij = Sδij + ǫijk Vk + Qij ,где Qij — неприводимый симметричный тензор второго ранга, дающий ноль при сверткепо индексам (например Qij = xi xj −x2 δij /3 — тензор квадрупольного момента), имеющий5 независимых компонент. Пользуясь ортогональностью представлений, найдем явные~ через компоненты тензора (последовательно умножаем на δij ивыражения для S, V~ , Qǫijl ):3S = δij Tij , 2Vk = ǫijk Tij , Qij = Tij − Sδij − ǫijk Vk .Таким образом, неприводимый базис имеет видri pj = Tij = δij(~r · p~) ǫijk(~r · ~p) ǫijk⊕[~r × p~]k ⊕ ri pj − δij−[~r × p~]k .3232Это скалярная, векторная и квадрупольная части. Пользуясь правилом свертки антисимметричного тензора, это выражение можно упростить:δij Tkk Tij − Tji Tij + Tji δij Tkk =++−Tij =3223δij δlm δil δjk − δik δjlδil δjk + δik δjl δij δlmTlm ,++−3223T̂ = (Pˆ(0) ⊕ P ˆ(1′ ) ⊕ Pˆ(2) )T̂ .Как видим, проекторы P (i) также выражаются через инвариантные тензоры.
Заметим, что скалярное и квадрупольное представления входят в симметричную по перестановке индексов часть тензора, содержащую 5 + 1 = 6 компонент, а псевдовекторноев антисимметричную часть, содержащую 3 компоненты. Разложение на симметричнуюи антисимметричную части упрощает нахождение неприводимых компонент тензора.Задача 230 . Проверить, что тензор квадрупольного момента преобразуется какδ TT +TQij = ij 2 ji − ij 3 kk ∼ Y2,m .905. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППРешение. Этот тензор симметричен по перестановке индексов, поэтому он преобразуется как прямое произведение одинаковых векторов: Qij ∼ ri rj − r 2 δij /3.
Сравниваясо сферическими функциями, найдем:r 2 Y2,±2 = a(x ± iy)2 ,r 2 Y2,±1 = b(x ± iy)z,r 2 Y2,0 = c(2z 2 − x2 − y 2 ),так что Qij и Ym2 — два разных базиса в одном и том же пространстве неприводимогопредставления D (2) . Здесь a, b, c — нормировочные константы.5.5.5.Симметризация тензорных представленийЗамечание. Симметризация по перестановке двух индексов возможна и для тензороввысокого ранга. Обозначим за ĝ операцию перестановки индексов тензора ранга k, тогда множество всех ĝ образует группу перестановок Pk порядка k!. У этой группы естьнеприводимые представления с характерами χ(α) (g).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
