1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Найти решение уравнения Пуассона в области r < 1 двухмерногопространства с граничным условием (du(~r)/dr) |r=1 = h(φ) (задача Неймана: на границезадана нормальная компонента электрического поля).Решение. Начнем с решения полуоднородной задачи (dG(~r; ~r ′ )/dr) |r=1 = 0. Однородная задача имеет решение u0 = 1 — нулевую моду. Поэтому уравнение на ФГ надописать в подпространстве, ортогональном нулевой моде:~ − 1.div∇G(R) = δ(R)πФГ найдем методом изображения. В силу симметрии относительно инверсии ~r → ~r/r 2 ,которая является конформной, т. е. оставляет лапласиан без изменения, нужно искатьрешение в виде суммы вкладов заряда и изображения плюс частное решение и нулевуюмоду −r 2 /4π + C(r ′):r21′′′′′ln |~r − ~r | + A ln(|r ~r − ~r /r |) −+C .G(~r, ~r ) =2π2Лапласиан от второго слагаемого равен нулю в области определения функции r < 1,поэтому она удовлетворяет уравнению на функцию Грина.
Накладывая нулевые граничные условия, получимdG(~r; ~r ′ ) 1 − (~r ′ · ~n)1 − (~r ′ · ~n)/r ′2=+A− 1 = 0,drr ′2 − 2(~r ′ · ~n) + 1r ′−2 − 2(~r ′ · ~n)/r ′2 + 1r=1откуда A = 1. Заметим, что |r ′~r − ~r ′ /r ′| = |~r/r − r~r ′ |, поэтому функция Грина будетсимметрична по замене ~r ↔ ~r ′ , если выбрать C = −r ′2 /2. Мы нашли обобщеннуюфункцию Грина:r 2 + r ′21′′′′′ln(|~r − ~r ||r ~r − ~r /r |) −.G(~r, ~r ) =2π21086. ФУНКЦИИ ГРИНАЧтобы найти вклад от граничных условий, умножим уравнение Пуассона на ОФГи проинтегрируем по частямZZZr, ~r ′ ) ′ ′′′ dG(~′2′′′′ du − dφ u(1, φ )dr G(~r, ~r )div ∇ u(~r ) =dφ G(~r; 1, φ ) ′ ′ + u(~r)dr r′ =1dr ′r =1r ′ <1Z=dr ′2 G(~r, ~r ′ )f (~r ′ ).r ′ <1Поскольку dG(~r; ~r ′ )/dr ′ |r′ =1 = 0 (для симметричной формы ОФГ), то находим ответ ввидеZZ′2′′u(~r) =dr G(~r, ~r )f (~r ) − dφ′G(~r; 1, φ′)h(φ′ ) + const,r ′ <1где функция G2 (~r, φ′) = −G(~r; 1, φ′) называется функцией Грина второго рода в задачеНеймана.
Она позволяет найти поле в двухмерной области пространства по заданномузначению нормальной компоненты напряженности поля на его границе.Поскольку в задаче есть нулевая мода u0 = const, то поле определено с точностью до произвольной константы, что физически понятно, так как измерима тольконапряженность поля. Чтобы найти условие разрешимости задачи, умножим уравнениеПуассона на нулевую моду и проинтегрируем по частямZZZ−1/2 ′2 −1/2′′′ −1/2 du ′′ dπdr πdiv’∇ u(~r ) =dφ π− dφ u(1, φ )dr ′ r′ =1dr ′ r′ =1r ′ <1Z=dr ′2 (π)−1/2 f (~r ′ ).r ′ <1Условие разрешимостиZ′2′dr f (~r ) =r ′ <1Zdφ′ h(φ′ )выражает интеграл от нормальной компоненты напряженности электрического поля поповерхности через полный заряд внутри области.6.4.Функции Грина параболических уравненийЗадача 260 .
Для уравнения теплопроводности∂2u∂u= 2∂t∂xс начальными условиямиu(x, 0) = h(x)найти функцию Грина второго рода.Решение. Пусть u(x, −0) = 0. Для того чтобы u(x, +0) = h(x), достаточно добавить в правую часть уравнения дельта-функционный член δ(t)h(x). Проверим это соотношение, интегрируя модифицированное уравнение по t от −0 до +0.
Таким образом,1096.4. Функции Грина параболических уравненийнеоднородная задача всегда сводится к полуоднородной, а функция Грина второго родавыражается соотношениемGII (x, t; x′ ) = G(x, t; x′ , 0)через функцию Грина.Задача 261 . Найти функцию Грина уравнения теплопроводности∂u∂2u= 2∂t∂xс граничными условиямиu(±∞, t) = 0и начальными условиямиu(x, 0) = h(x) ≡exp(−x2 /2a2 )√.2πaРешение. Сделаем Фурье-преобразование уравнения на функцию Грина G(t −Rt , x − x′ ) = G(t − t′ , k) exp(ik(x − x′ ))dk/2π:′dG+ k 2 G = δ(t − t′ ).dtВоспользуемся начальными условиями G(−∞, k) = 0 и введем обозначение τ = t − t′ .Интегрируя уравнение первого порядка, получимG(τ, k) = θ(τ ) exp(−k 2 τ ).Замечание. Обращение функции Грина в ноль при t < t′ означает, что отклик на любоевоздействие возникает только после совершения этого действия.Выполняя обратное Фурье-преобразование, получим для функции Грина(x − x′ )2θ(t − t′ )′′exp −.G(t − t , x − x ) = p4(t − t′ )4π(t − t′ )Выражая функцию Грина второго рода через функцию Грина, найдем решение:Zx2θ(t)′′′exp −.u(x, t) = dx GII (x, t; x )h(x ) = p4t + 2a22π(2t + a2 )Задача 262 .
Найти функцию Грина 3-мерного уравнения теплопроводности∂u= △u∂tс граничными условиямиu(∞, t) = 0в разных Фурье-представлениях.1106. ФУНКЦИИ ГРИНАkω√iω−ik 2√− iωабРис. 6.1. Контур интегрирования в ω-плоскости (а) при t > t′ и в k-плоскости (б) для уравнениятеплопроводностиРешение. Сделаем Фурье-преобразование уравнения на функцию Грина∂G− △G = δ(t − t′ )δ(~r − ~r ′ )∂tR3kG(ω, ~k) exp(i~k(~x − ~x′ ) − iω(t − t′ )) и получимпо всем переменным G(t − t′ , x − x′ ) = dωd(2π)4G(ω, ~k) =1.−iω + k 2Сделаем обратное Фурье-преобразование. При t > t′ контур интегрирования по частоте можно замкнуть только в нижней полуплоскости комплексного переменного, какпоказано на рис.
6.1, а. Вычет при ω = −ik 2 даст для функции ГринаG(t − t′ , ~k) = θ(t − t′ ) exp(−k 2 (t − t′ )).При t < t′ контур можно замкнуть только в верхней полуплоскости, где подынтегральная функция аналитична, поэтому интеграл равен нулю.Замечание. Обращение функции Грина в ноль при t < t′ означает, что отклик на любоевоздействие возникает только после совершения этого действия. Процессы, описываемые уравнением теплопроводности, необратимы по времени.
В ω-представлении этотпринцип выражается в том, что полюса могут лежать только в нижней полуплоскости(при выбранном нами знаке фазы в Фурье-преобразовании).Теперь сделаем Фурье-преобразование по координатам:|~r − ~r ′ |2θ(t − t′ )′′.exp −G(t − t , ~r − ~r ) =(4π(t − t′ ))3/24(t − t′ )~ = ~r − ~r ′ ,Наконец, найдем функцию Грина в ω, ~r-представлении. Введем обозначение RтогдаZ∞Z3~k R)~kdk exp(ikR)exp(idk~ ==+ c.c. =G(ω, R)(2π)3 k 2 − iω4π 2 iR k 2 − iω0Z∞−∞√kdk exp(ikR)exp(iR iω)=.4π 2 iR k 2 − iω4πR1116.4. Функции Грина параболических уравненийКонтур интегрирования можно замкнуть только в верхней полуплоскости, поэтому√√вклад дает только вычет при k = iω, где Im iω > 0 (рис.
6.1, б). Осталось выразить функцию Грина второго рода через функцию Грина первого родаθ(t)|~r − ~r ′ |2′GII (~r, t; ~r ) =.exp −(4πt)3/24tЗадача 263 . Найти функцию Грина второго рода уравнения Шредингера свободной частицы∂Ψ−i= △Ψ.∂tРешение.
Это уравнение отличается от уравнения теплопроводности формальнойзаменой в последнем t → it. Делая эту замену в функции Грина второго рода уравнениятеплопроводности, получим ответ:|~r − ~r ′ |2θ(t)′.exp −GII (~r, t; ~r ) =(4πit)3/24itЭта функция Грина позволяет найти решение для ψ-функции свободной частицы поначальной амплитуде волновой функции:ZΨ(t, ~r) = d3 r ′ GII (~r, t; ~r ′ )Ψ(0, ~r ′ ).Замечание.
Уравнение Шредингера обратимо по времени, поэтому в ответе можносделать замену t → −t и получить опережающую функцию Грина, с помощью которойможно найти решение для ψ-функции назад по времени.Задача 264 . Найти функцию Грина второго рода уравнения Фоккера — Планка:∂1 ∂u∂u=(xu +), u(x, 0) = h(x).∂t∂x2 ∂xРешение. Уравнение на функцию Грина можно сделать однородным, использовавненулевые начальные условия:1 ∂G∂∂GxG +; G(x, x′ , 0) = δ(x − x′ ).=∂t∂x2 ∂xДелая Фурье преобразование по переменной x, получим квазилинейное уравнение вчастных производных:∂Gkk2∂Gk−k= − Gk .∂t∂k2Решая его методом характеристик, получим общее решениеln Gk = −k2+ f (ke−t ).4Подстановка начальных условий Gk (0) = exp(−ikx′ ) дает нам частное решениеk2− ikx′ e−t ).4Делая обратное Фурье преобразование, получим ответ в виде(x − x′ e−t )21′.exp −G(x, x , t) = p1 − e−2tπ(1 − e−2t )Gk = exp(−(1 − e−2t )1126.
ФУНКЦИИ ГРИНАЗадача 265 . * Получить интегральное уравнение теории рассеяния свободной частицы на локализованном возмущении с потенциалом U(~r). Падающая волна задана ввиде Ψ(r → ∞) → exp(i~k~r).Решение. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид уравнения Гельмгольца(−E − △)ΨE (~r) = −U(~r)ΨE (~r).Будем рассматривать правую часть заданной, тогда левая часть совпадает с уравнением теплопроводности при ω = −iE. Поэтому можно воспользоваться полученнымранее решением для функции Грина√exp(iRE)~ =.G(E, R)4πRОднако имеется существенное отличие. Для того чтобы понять это, повторим вывод.В E, ~q представлении имеем1G(E, ~q) =.−E + q 2Функция Грина обращается в бесконечность при E = q 2 , что отражает существованиерешений в виде плоских волн однородного уравнения (бесконечное число нулевых мод).Наличие нулевых мод приводит к неопределенности при обратном Фурье-преобразовании, так как полюса лежат на вещественной оси.
Эта неопределенность снимается, еслимы воспользуемся принципом причинности. Функция Грина обращается в ноль приt < t′ , если полюса по энергии лежат в нижней полуплоскости: E = q 2 − i0. Доопределенная таким образом функция Грина имеет видG(E, ~q) =q21.− i0 − EФактически принцип причинности диктует правило обхода полюсов. Теперь сделаемобратное Фурье преобразование по импульсам:~ =G(E, R)Z~d3 q exp(i~qR)=32(2π) q − i0 − EZ∞−∞√qdq exp(iqR)exp(iR E)=.4π 2 iR q 2 − i0 − E4πRКонтур интегрирования можно замкнуть только в верхней полуплоскости, поэтому√√вклад дает только один вычет при q = E + i0, где Im E + i0 > 0.
Решение имеетвид свертки правой части уравнения с функцией Грина плюс общее решение (нулеваямода), совпадающее на бесконечности с падающей волной (откуда находим E = k 2 ):ΨE (~r) = exp(i~k~r) −Zd3 r ′exp(i|~r − ~r ′ |k)U(~r ′ )ΨE (~r ′ ).′4π|~r − ~r |Это интегральное уравнение можно решать итерациями, если потенциал есть малоевозмущение.1136.5. Функции Грина волновых уравнений6.5.Функции Грина волновых уравненийЗадача 266 . Найти функцию Грина волнового уравнения в калибровке ∂Aµ /∂xµ =0:Aµ (t, ~r) = 4πjµ (t, ~r),=∂2− △.∂t2Здесь обозначает оператор Даламбера.~ = ~r − ~r ′ , для функции ГринаРешение.
Используя обозначения τ = t − t′ , Rполучим уравнение~ = δ(τ )δ(R),~G(τ, R)которое в Фурье представлении имеет простой видG(ω, ~k) =k21.− ω2Полюсы функции Грина на вещественной оси ω = ±k являются следствием существования решений волнового уравнения в отсутствие зарядов jµ = 0, т. е. полю электромагнитных волн.
Будем искать запаздывающую функцию Грина, удовлетворяющуюпринципу причинности, т. е. сдвинем полюса по частоте в нижнюю полуплоскость:ω = ±k − i0. Таким образом, запаздывающая функция Грина имеет видGr (ω, ~k) =k21.− (ω + i0)2При переходе к t, ~k-представлению надо замкнуть контур интегрирования снизупри t > t′ (рис. 6.2) и сверху при t < t′ , что даетexp(−ikτ )+ c.c.Gr (τ, ~k) = iθ(τ )2kИнтегрируя это выражение по волновому вектору, получим хорошо известную формулу~ = 2Re θ(τ )Gr (τ, R)Z∞dkexp(−ikτ ) (exp(ikR) − exp(−ikR)) =8π 2 R0θ(τ )Z∞−∞θ(τ )dkexp(−ikτ)(exp(ikR)−exp(−ikR))=(δ(R − τ ) − δ(R + τ )) =8π 2 R4πRθ(τ )δ(R − τ ).4πRω−k+kРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
