1611690923-b2966d9bc3565eaf031de379950ee43c (826957), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(4 б)Контрольная работа 2.1, вариант 2Задача 1TE-волна E0 “ E0m eipkr´ωtq падает подуглом φ “ 45˝ на плоское идеально проводящее зеркало. Найти плотности поверхностных зарядов и токов, наведенных в зеркале. (3 б)Задача 2Найти спектральную плотность f pωqфункции f ptq, изображенной на рисунке.iωτ0τРезультат представить в виде 2f?e 2 ˆ2ˆF pω, ω0 q, где F pω, ω0 q – искомая функция. Вычислить ее значения в точках ω “ 0, ω “ ω0 и ω “ 2ω0 . (3 б)Задача 3На плоскую границу раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями ε1 , ε2 и магнитными проницаемостями µ1 , µ2 падает TMволна. Определить коэффициент отражения поамплитуде, если известно, что ε1 µ1 “ ε2 µ2 , при этом ε1 “ µ1 , аε2 “ 4µ2 . (3 б)53Условия задачКонтрольная работа 2.2, вариант 1Задача 1В резонаторе, образованном двумя параллельными идеально проводящими пластинами, расположенными на расстоянии L,возбудили стоячую электромагнитную волну с m пучностями.
Найти частоту колебаний ω0 такой волны (1 б) и изменение частоты ∆ω вследствие напыления на однуиз пластин тонкого диэлектрического слояс проницаемостью ε и толщиной d, d ! L{m (+2 б).Задача 2Двояковыпуклая тонкая линза составлена издвух плосковыпуклых линз с радиусами кривизны R1 , R2 и коэффициентами преломления n1 , n2соответственно. Найти фокусное расстояние линзы. (3 б)Задача 3Гладкая поверхность кремниевой пластины покрыта тонкимоднородным слоем окисла с показателем преломления n “ 1.46.При наблюдении перпендикулярно поверхности в отраженном белом свете она имеет красноватый оттенок, максимально отражаясвет с длиной волны λ1 . Пластину поместили на некоторое времяв печь. Теперь она максимально отражает свет с длиной волныλ2 .
Насколько увеличилась при этом толщина слоя окисла, еслиλ2 ´ λ1 “ 90 нм? Конечная толщина окисла не превышает 300 нм.Показатель преломления кремния больше n. (3 б)Задача 4От круглого непрозрачного диска отрезали сектор углового размера α “ 45˝ .Определите максимальную и минимальную542015/2016 Контрольная работа 2.2, вар. 2интенсивность света Ipzq на оси за диском на расстояниях, много больших по сравнению с размером диска при освещении егоплоской волной интенсивности I0 , падающей по нормали. (4 б)Контрольная работа 2.2, вариант 2Задача 1В резонаторе, образованном двумя параллельными идеально проводящими пластинами, расположенными на расстоянии L,возбудили стоячую электромагнитную волну с m узлами. Найти частоту колебанийω0 такой волны (1 б) и изменение частоты∆ω вследствие напыления на обе пластинытонких диэлектрических слоев с проницаемостью ε и толщиной d, d ! L{m (+2 б).Задача 2Двояковогнутая тонкая линза составлена издвух плосковогнутых линз с радиусами кривизныR1 , R2 и коэффициентами преломления n1 , n2 соответственно.
Найти фокусное расстояние линзы. (3 б)Задача 3Тонкая (не толще 200 нм) мыльная пленка с показателем преломления n “ 1.33, натянутая на вертикальную раму, за счет силы тяжести внизу несколько толще, чем вверху. При наблюденииперпендикулярно поверхности в белом отраженном свете пленкаимеет зеленоватый оттенок, максимально отражая свет с длинойволны λ1 вверху и λ2 внизу. На сколько толщина пленки внизубольше, чем вверху, если λ2 ´ λ1 “ 50 нм? (3 б)55Условия задачЭкзаменационная работа 2Задача 1Разрешение матрицы фотоаппарата 6000ˆ4000 пикселей.
Длина волны: 400 nm ď λ ď 600 nm, а относительная диафрагма объектива (отношение диаметра открытого отверстия к фокусному1ď fd ď 14 . Оцерасстоянию объектива) изменяется в пределах 22нить минимальные геометрические размеры матрицы, при которых возможно такое разрешение. (3 б)Задача 2По нормали к плоскому экрану с круглым отверстием падаетплоская монохроматическая волна. При этом интенсивность светав точке P , находящейся на оси отверстия, равна I. Чему будетравна интенсивность I 1 в этой точке, если расстояние от нее доэкрана, а вместе с ним и радиус отверстия увеличить в 2 раза?Без экрана интенсивность в точке P равна I0 . (5 б)Задача 3Плоская монохроматическая волна падает по нормали на дифракционную решетку из N щелей с периодом d.
Под некоторымуглом наблюдается максимум порядка m интенсивностью I. Чему будет равна интенсивность I 1 в этом же направлении, если вдифракционной решетке вырезать еще одну такую же щель нарасстоянии x от первой? Расстояние измеряется между центрамищелей, щели не перекрываются. (4 б)Задача 4Плоская линейно поляризованная волнападает под углом α к непроводящей спице,закрепленной в плоскости поляризации волны. Вдоль спицы может без трения перемеdσщаться заряд q. Найти дифференциальное сечение рассеяния dΩ562015/2016 Экзаменационная работа 2волны этим зарядом под углом θ к спице.
Скорость заряда v ! c.(4 б)Задача 5Два одинаковых заряда q двигаются водной плоскости по круговым орбитам вокруг общего центра в одном направлении. Радиус орбиты первогозаряда равен a, второго – b pa, b ! λq. Первый заряд движетсяс угловой скоростью ω. Расположение зарядов в начальный момент времени показано на рисунке. Во сколько раз усредненнаяпо времени мощность излучения данной системы вращающихсязарядов в случае, если второй заряд имеет такую же угловую скорость, больше, чем в случае, если второй заряд имеет такую желинейную скорость? (4 б)Задача 6Два релятивистских космических корабля движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v.Свет какой частоты видит космонавт первого корабля, если прожектор второго корабля испускает свет частоты ω0 ? (3 б)Задача 7Неподвижный монохроматический источник света расположен вдали от непроницаемого экрана с круглым отверстием наоси симметрии. При этом для точки наблюдения P отверстиезанимает первую зону Френеля.
Какую минимальную скоростьнужно придать источнику, и в каком направлении, чтобы интенсивность в точке P стала равной нулю? (4 б)57Условия задач58Решения2012/2013 учебный годКонтрольная работа 1.1, вариант 1Решение задачи 1Из симметрии задачи ясно, чтоискомое поле направлено по y. Тогдавыделим на отрезке элемент длиныdx, содержащий элементарный зарядdq “ aq dx.
Поле в точке px, yq “ p0, hqот элементарного заряда в проекциина ось y равноqdqdEy “ 2 cos α1 “ 2 cos α1 dx,rarа поле от всего отрезкаE “ Ey “a{2żqcos α1 dx.ar 2´a{2С учетом x “ h tg α1 , r “ coshα1 удобно перейти к интегрированию по углу:żαżαqqqh cos2 α111d sin α1 “ 2 sin α.cos α dα “E“a cos2 α1 h2ahah´αУчтем, что sin α “ab22 p a2 q `h2E“´α“b2qb`ah 1 `1p1` 2ha q˘2h 2a.2, откудаРешенияПримечание. При a Ñ 0 получаем E Ñ hq2 – поле точечного2q“ 2κзаряда, а при a Ñ 8 E Ñ ahh – поле прямой бесконечнойзаряженной нити.Решение задачи 2Запишем теорему Гаусса для сферы радиуса R с центром вначале системы координат:{EpRqdS “ 4πR2 E0 “ 4πQ,R“constгде Q - полный заряд шара.
ОтсюдаQ “ E0 R2 .Задача обладает сферической симметрией, поэтому электрическое поле и вне шара имеет только радиальную компоненту.Тогда теорема Гаусса для сферы r ą R принимает вид:{EprqdS “ 4πr 2 Eprq “ 4πQ,r“constоткуда искомое полеEprq “QR2er “ 2 E0 er .2rrРешение задачи 3Поскольку система зарядов в целом нейтральна, то кулоновский член разложенияпотенциала равен нулю. Следующий, дипольный, член разложения равенϕd px, y, zq “dx ¨ x ` dy ¨ ypd ¨ rq“,3rr3где dx , dy - компоненты полного дипольного момента системы.602012/2013 Контрольная работа 1.1, вар.
1Если C1 , C2 – середины соответствующих отрезков, то дипольные моменты этих отрезков относительно C1 и C2 соответственноравны нулю. С другой стороны формула преобразования дипольного момента при сдвиге системы отсчетаdpr1 q “ dprq ` Q ¨ pr1 ´ rq.Поэтому дипольные моменты каждого отрезка и всей системы относительно начала координат равны соответственноd1 “ ´q a2 ex ,d2 “ qaex ` q 2b ey ,`˘d “ d1 ` d2 “ q a ´ a2 ex ` q 2b ey “ q a2 ex ` q 2b ey .Подставляя найденные компоненты в выражение для потенциала, получимaϕpx, y, zq « q 2¨x`r3b2¨y“qa¨x`b¨y2 px2 ` y 2 ` z 2 q3{2.Решение задачи 4Перепишем выражение для потенциала на сфере в виде:ˆ ˙ϕ0 ϕ01 ´ cos θ2 θ“´cos θ.“ ϕ0 ¨ϕpθq “ ϕ0 sin2222Наша система обладает аксиальной симметрией, поэтому искомыйпотенциал является разложением пополиномам Лежандра Pℓ :˙8 ˆÿBℓℓϕpr, θq “Aℓ r ` ℓ`1 Pℓ pcos θq.rℓ“0(2)61(1)РешенияВид угловой зависимости потенциала на сфере указывает, полиномы каких степеней ℓ в этом разложении отличны от нуля.Первому и второму слагаемому в (1) отвечают ℓ “ 0 и ℓ “ 1 соответственно.
В свою очередь степени полиномов Лежандра определяют вид зависимости потенциала от радиусаϕpr, θq “ˆB0A0 `r˙ˆB1P0 pcos θq ` A1 r ` 2r˙P1 pcos θq.(3)В области 1 (r ă R) ϕ1 pr “ 0q ‰ 8, поэтому в формуле (3)для ϕ1 коэффициенты B0 “ 0 и B1 “ 0. А в области 2 (r ą R)ϕ2 pr Ñ 8q ‰ 8, поэтому в формуле (3) для ϕ2 коэффициентA1 “ 0.Итак, ищем решение для потенциала в виде:ϕ1 prq “ A0 P0 pcos θq ` A1 rP1 pcos θq “ A0 ` A1 r cos θ, r ă R;˘`ϕ2 prq “ A02 ` Br0 P0 pcos θq `“ A02 ` Br0 ` Br21 cos θ, r ą R.B1P pcos θqr2 1“(4)Сравнивая первое выражение в (4) с потенциалом на сфере,находим:ϕ0ϕ0, A1 “ ´ .(5)A0 “22RКроме того, из условия непрерывности потенциала на границевакуум-диэлектрик (которое эквивалентно равенству там тангенциальных полей) имеемA02 ` BR0 “ A0 “ ϕ20 ,2B1“ A1 R “ ´ ϕ20 Ñ B1 “ ´ ϕ02R .R2(6)Теперь перейдем от (4) к выражениям для поля:E1 prq “ ´A1 ez , r ă R;θer , r ą R.E2 prq “ Br20 er ´ Br31 ez ` 3 B1 rcos362(7)2012/2013 Контрольная работа 1.1, вар.
2На этом этапе уже можно найти поверхностную плотность связанных зарядов на сфере:ε´1ϕ0 pε ´ 1qε´1E1n “ ´A1 cos θ “cos θ. (8)4π4π8πRДалее, для обеспечения единственности решения недостает ещеусловия для потенциала на бесконечности. Если наложить наиболее естественное условие A02 “ 0, то B0 “ ϕ02R , и ответ дляпотенциала и поля принимает однозначный вид ˚ :σсв “ P1n “При r ă R `ϕ1 prq “ ϕ20 1 ´rRпри r ą R ´ϕ2 prq “ ϕ20 Rr ´˘cos θ , E1 prq “R2r2ϕ02R ez ;¯cos θ , E2 prq “ϕ02´Rr 2 er`R2r 3 ez2´ 3Rcos θerr3¯(9)Контрольная работа 1.1, вариант 2Решение задачи 1Выделим на проволочке элементарный отрезок длиной dx в точке x.Заряд элементарного отрезка можнорассматривать как точечный с величиной κdx.
Поэтому сила наточечный заряд q со стороны элементарного отрезка направленавлево и равнаqκdx.dF pxq “x2˚Математическая постановка данной задачи такова, что выбор аддитивнойпостоянной в выражении для ϕ2 не сводится к дополнительному слагаемому врешении, а меняет функциональную его часть. Так, если выбрать A02 “ ϕ20 ,то B0 “ p ϕ20 ´ A02 qR “ 0 и кулоновский член в ϕ2 pr, θq и E2 pr, θq вообщеисчезает.63.РешенияСила со стороны всей полубесконечной проволоки получаетсяинтегрированием dF pxq по длине проволоки:F “ż8x“adF pxq “ qκż8adxqκ.“2xaСогласно третьему закону Ньютона, сила со стороны заряда qна проволоку направлена вправо и равна F по абсолютной величине.Решение задачи 2Изобразим куб со стороны вершины (точкиO) с точечным зарядом в плоскости с нормалью вдоль главной диагонали куба.
Видно, чтотелесный угол Ω с вершиной в точке O, стягиваемый заштрихованной гранью, занимает третьугла, ограниченного гранями куба с общей вершиной O. С другой стороны последний составляет 1{8 часть от полного телесного угла 4π стерадиана. Соответственно, телесный угол Ω равен14π3¨8 “ 24 ¨ 4π.Согласно теореме Гаусса, поток поля через замкнутую поверхность, окружающую точечный заряд q, равен 4πq. Тогда искомыйпоток поля составляетπ4πq“ q.Φ“246Решение задачи 3Поскольку система зарядов в целом нейтральна, то кулоновский членразложения потенциала равен нулю(ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
