1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (826900), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

е. R2 = 4ρ. В этом случаеiсв = ( A + Bt )e−tτ, где τ = 2 L R2 .Реальный ток в цепиi (t ) = iсв + i уст = ( A + Bt )e−tτ+Esin(ωt + ϕ ) .R2(5.2.34)Используя начальные условия для реального тока, получаем системууравнений для нахождения констант А и В93EE A + R sin ϕ = R + R sin ϕ ,212E− A + B + Eω cos ϕ =( R1 sin ϕ + ρ cos ϕ ). τR2L( R1 + R2 )(5.2.35)Решая данную систему относительно А и В и подставляя в выражение дляреального тока (5.2.34), получаем ток в цепи после коммутацииi (t ) =[]t−R1E sin ϕEt (τ −1 − ωctgϕ ) − 1 e τ +sin(ωt + ϕ )R2 ( R1 + R2 )R2Из сказанного следует, что классический метод является мощныминструментом расчета электрических цепей.

«Недостаток» его связан сповышенным уровнем математической подготовки и большим объемомвычислений, связанных с нахождением постоянных интегрирования.5.3. Расчет переходных процессов с использованием преобразованияЛапласа5.3.1*. Расчет переходных процессов решением дифференциальныхуравнений Кирхгофа методом преобразования Лапласа.Преобразование Лапласа, его свойства и применение в решенииобыкновенных дифференциальных уравнений подробно рассмотрены в[4,5].

Идея метода заключается в переносе решения из области функцийдействительного переменного t в область функций комплексногопеременного p = σ + jω, позволяющего вместо интегро-дифференциальныхсистем уравнений получать более простую для решения системуалгебраическихуравнений.Полученноерешениеобратнымпреобразованием возвращают в область функций действительногопеременного.Переход к функциям комплексного переменного осуществляют спомощью прямого преобразования ЛапласаF ( p) =∫∞0f (t )e − pt dt .(5.3.1)Коммутация происходит при t = 0.

Это преобразование, строго говоря,определяет F(p) в области значений p, для которых интеграл сходится, аименно в полуплоскости σ > a, где a – абсцисса сходимости. В другой жеполуплоскости функция F(p) является аналитическим продолжениеминтеграла (за исключением особых точек – полюсов).Определенную таким образом функцию F(p) называют изображениемпо Лапласу, а функцию f(t) – оригиналом. Выражение (5.3.1) обычно94записывают сокращенным способом Lˆ [F ( p )] = f (t ) .

В такой записипрямое преобразование первой производной функции имеет вид df (t ) Lˆ  = pF ( p) − f (+0) , dt (5.3.2)а интеграла – F ( p)t,L̂  f (t ′)dt ′ =p 0∫(5.3.3)где F(p) – изображение по Лапласу функции f(t) а f(+0) – значение f(t) приt = +0.Обратное преобразование Лапласа осуществляют с помощью интегралаc + j∞1f (t ) =F ( p)e pt dp ,2πj c − j∞∫(5.3.4)где c выбирается так, чтобы правее этой абсциссы отсутствовали полюсыфункции F(p). Сокращенная запись (5.3.4) – Lˆ−1 [F ( p )] = f (t ) . Привычислении интеграла путь интегрирования заменяется замкнутымконтуром Г n , составленным из отрезка ( a − jbn , a + jbn ) и части'окружности Cn , расположенной слева от прямой Re p = a , согласнолемме Жордана.

Замена дает возможность применить теорему о вычетах,согласно которой оригиналом F ( p ) служит функция:f (t ) = limn →∞∑ resF ( p)e(Гn )pkpt,(5.3.5)где сумма берется по всем особым точкам функции F ( p ) , лежащейвнутри Г n .Для нахождения оригинала по изображению используется теоремаразложения.

Пусть изображение имеет вид правильной дробиF ( p) =F1 ( p)F2 ( p)пусть числитель и знаменатель не имеет общих корней.Тогда положение полюсов изображения определяется корнями уравненияF2 ( p ) = 0 . При этом возможны два случая: а) все корни простые; б)некоторые или все корни кратные.Случай простых корней. Расчет оригинала проводят по формуле95 F ( p) f (t ) = Lˆ−1  1= F2 ( p) nF1 ( p)∑ res F ( p) ek =1pkpt=2F1 ( p) pt e == ( p − pk )F2 ( p )  p = pk =1 kn∑nF1 ( pk ) p k te′k =1 F2 ( pk )∑,где сумма берется по всем n корням F2 ( p ) или F2′( p ) =(5.3.6)dF2 ( p )dp. Приp = pkвычислении с помощью выражения в квадратных скобках сначаласокращают на множитель (p – pk), а потом производят подстановку p = pk.Случай кратных корней.

Пусть l – й корень имеет кратность m. Тогдавычисление оригинала проводят по формуле F ( p)  nF ( p)f (t ) = Lˆ−1  1  = res 1 e pt =p F2 ( p)  k =1 k F2 ( p)∑=n−m∑k =1+respkn−mF ( p) F ( p)F1 ( p) pte + res 1 e pt = ( p − pk ) 1 e pt +pl F ( p)F2 ( p)  p= pF2 ( p)2k =1 ∑(5.3.7)k1 dm F1 ( p) pt e } m−1 {( p − pl )F2 ( p)(m −1)!  dpm−1p= plКак и в предыдущем случае, суммирование проводиться послесокращения на (p – pk), а дифференцирования после сокращения на (p –pk)m. В окончательные выражения подставляют соответствующиезначения корня.Для достаточно широкого класса функций существуют таблицыоригиналов и изображений, которые упрощают взаимные переходы отизображений к оригиналам и наоборот.Расчет переходных процессов с применением преобразования Лапласасводится к следующей последовательности действий:1.

Записывают уравнения Кирхгофа в интегро-дифференциальнойформе с учетом независимых начальных условий (начальных токовв индуктивностях и начальных напряжений на емкостях).2. Применяя преобразование Лапласа, переходят к алгебраическимуравнениям для изображений токов и напряжений.3. Решают полученные алгебраические уравнения.4. Применяя обратное преобразование Лапласа, находят оригиналы,т.

е. искомые функции тока или узлового потенциала.96Рис. 5.3.1Таким образом, использование преобразований Лапласа является лишьматематическим методом решения уравнений Кирхгофа. Расчетпереходных процессов методом, основанным на использованиипреобразования Лапласа, проще классического метода, так как не требуетнахождения частного решения для установившегося процесса ипроведения утомительных вычислений постоянных интегрирования.Однако эта простота обеспечивается лишь возможностью использованиятаблиц оригиналов и изображений, приводимых в математическихсправочниках.Пример 5.3.1. В качестве примера найдем ток в цепи, приведенной нарис. 5.2.2 после размыкания ключа. Расчет проведем методом Лапласа исравним его с расчетом классическим методом.

В начале необходимонайти начальные значения тока в индуктивности и напряжения наконденсаторе, которые возникли в первый момент после коммутации. Ониявляются независимыми начальными условиями и находятся по законамкоммутации. Они были найдены ранее u0 = ER2 ( R1 + R2 ) , аi0 = E ( R1 + R2 ) . Далее записывается уравнение Кирхгофа (это уравнение(5.2.11)) и берется от него преобразование ЛапласаE1uI ( p) + o= RI ( p ) + pLI ( p) − Li0 +ppCp(5.3.8)Полученное алгебраическое уравнение легко разрешается относительноизображения токаI ( p) =E + pLi0 − u0,L( p 2 + 2β p + ω02 )(5.3.9)гдеквадратныйтрехчленвзнаменателесоответствуетхарактеристическому уравнению в классическом способе. Поэтомуполюсы изображения тока являются корнями характеристическогоуравнения.

Взятие обратного преобразования при тех же предположенияхприводит к тому же самому выражению для тока (5.2.17).Таким образом, метод Лапласа позволил избежать нахождениязависимых условий и постоянных интегрирования. Тогда как решениехарактеристического уравнения проводиться как в классическом методе,так и при использовании преобразования Лапласа.

Поэтому здесь такжемогут возникнуть уравнения третьего и более порядка решение, которых ваналитическом виде не всегда возможно. Такие ситуации не редки прирасчетах разветвленных цепей.5.3.2. Расчет переходных процессов операторным методом.Операторный метод основан на свойствах преобразования Лапласа(выражения (5.3.1) – (5.3.3)), позволяющие заменить исходную схему97эквивалентной схемой изображений. В такой схеме, во-первых, всеисточники тока и напряжения согласно формуле (5.5.1) заменяют ихизображениями.Во-вторых,индуктивностивсилусвойствадифференцирования оригинала di (t ) Lˆ [u L (t )] = Lˆ  L L  = pLI ( p) − LiL ( +0)dt (5.3.10)заменяют не только на эффективное сопротивление pL, но ипоследовательно с ним в схему вводят идеальный источник напряжения сЭДС, равной L⋅iL(+0), где iL(+0) – ток в индуктивности в моменткоммутации.

Направление вводимой ЭДС совпадает с выбраннымнаправлением тока в индуктивности. Емкость, имеющую начальноенапряжение uC(+0), в силу свойства интегрирования оригинала I ( p ) u (+0)1 t+ CLˆ [uC (t )] = Lˆ i (t ′)dt ′ + uC (+0) =p pC C 0∫(5.3.11)заменяют не только на эффективное сопротивление – 1 pC , но ипоследовательно с ним вводят идеальный источник напряжения с ЭДС,равной uC ( +0) / p . Направление ЭДС в этом случае противоположновыбранному направлению тока в емкости.

Отметим, что эффективныесопротивления имеют такой же вид, как и в случае эффективныхсопротивлений индуктивностей и емкостей при рассмотрении цепейсинусоидального тока методом комплексных амплитуд. Только в данномслучае вместо jω стоит p. Источник ЭДС и эффективное сопротивлениеможно рассматривать, как операторную схему реального источниканапряжения с внутренним сопротивлением равным эффективномусопротивлению. Поэтому, пользуясь правилом эквивалентностиисточников напряжения и источников тока, рассмотренным в § 1,индуктивность и емкость можно представлять и операторными схемамиИсходная схемаОператорная схемаРис. 5.3.1.98реальных источников тока. На рис.

5.3.1 приведены эквивалентныеоператорные схемы индуктивности и емкости, как в виде источниканапряжения, так и в виде источника тока. Отметим, что при заменеиндуктивностей и емкостей на операторную схему источника токанеобходимо помнить, о правилах расчета тока на внутреннихсопротивлениях (см. § 1).Таким образом, процесс введения начальных условий происходитавтоматически с помощью эквивалентных операторных схем. Причемтребуются только независимые начальные условия, определяемые позаконам коммутации. В этих схемах элементы цепи выражены воператорной форме, а независимые начальные условия учтены введениемв схему идеальных дополнительных источников напряжения и тока.Полученную схему рассчитывают одним из методов, приведенных в §3.Пример 5.3.1: Рассчитаем вначале схему,приведенную на рис.

5.2.1. Будем полагать, чтоRисточник ЭДС является синусоидальным и вмомент включения (t = 0) имел напряжениеKpLe(0) = E0 sinψ , т.е. реализуется второй случайпримера 5.2.1. Операторная схема приведена нарис. 5.3.2. В силу отсутствия начального тока вE(p)индуктивностивсязаменаограничиласьвведениемэффективногосопротивленияиндуктивности и обозначением ЭДС оригиналомРис. 5.3.2E(p).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)