1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (826900), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ВеличинаN = τ T = 1 (δT ) . Поэтому, логарифмический декремент это обратнаявеличина от N: δ = 1 N .3. Добротность колебательного контураQ = π /δl = π N .(4.1.18)Добротность контура тем больше, чем меньше затухание или чембольшее число колебаний произойдет в контуре за время паденияамплитуды в e раз. Введение численного множителя π сделано длясовпадения величины данной добротности и добротности определяемой поширине резонансных максимумов (4.1.7).63Добротность контура можно определить и через энергетические потерив контуре:Q = 2π∑W= ω1P ⋅T∑WP,(4.1.19)где W – энергия, запасенная в контуре; P – мощность потерь в контуре присвободных колебаниях, Т – период затухающих колебаний.В рассматриваемом последовательном контуре при условии δ << ω0имеемρδ l ≈ δ 2π ω = πR C L = πR ρ , Q = ( 1 R ) L C = ,0R(4.1.20)где ρ = L / C – характеристическое, или волновое, сопротивлениеконтура.Пример 4.1.2.
В качестве примера проанализируем работу схемы,приведенной на рис. 4.1.6. Рассмотрим собственные колебания в контурепри коротко замкнутом источнике. Для такого контура (E = 0) уравненияКирхгофаRi 1 R 1i 2 −+ Ltdi 1+ R 1i 2 = 0 ,dt1i 3 dt − u C ( 0 ) = 0 ,C ∫0i1 − i 2 − i 3 = 0 ,(4.1.21)где i1, i2 и i3 - соответственно, токи в сопротивлении R, R1 и емкости, uC(0)– начальное напряжение на емкости.
Дифференцируя второе уравнение иосуществляя замену i3, получаем системуdi1 Ri1 + L dt + R1i2 = 0,1di1 i1 − i2 − R1 2 = 0.CdtC(4.1.22)Заменяя d / dt на p, находим характеристическое уравнениеR1CLp 2 + ( R1RC + L) p + R1 + R = 0 .(4.1.23)Корни этого уравнения64p1, 2 = −ω0ρ2ρ2( R + R1 2 ) ± jω 0 1 − ( R − R1 2 ) 2 ρ 2 .2ρR1R1(4.1.24)Собственные колебания с частотой ω = ω 0 1 − ( R − R1ρ2R12)2 ρ 2возникают в контуре при положительном подкоренном выражении.Добротность контураQ =π1ω0ρ( R + R1 2 )T2ρR12≈π1ω0ρ 2π( R + R1 2 )2ρR1 ω02=ρR + R1ρ2.
(4.1.25)2R1Отметим, что, для того чтобы частота свободных колебанийприблизительно равнялась собственной частоте ω0, кроме ρ / R1 << 1,необходимо R / ρ << 1 . Одновременное выполнение этих неравенстввозможно, лишь при R << R1.Резонансные явления в стационарном режиме в цепи с подключеннымисточником напряжения и собственные колебания определяются толькосвойствами самой цепи, поэтому не случайно добротность, собственная ирезонансная частота совпадают для цепей с малой величиной диссипацииэнергии.4.2.
Параллельный колебательный контур. Резонанс токов4.2.1. Метод комплексных амплитуд определения параметровконтураМетод комплексных амплитуд определения параметров параллельногоконтура основан на расчете его комплексной проводимости. Рассмотримпростую цепь, состоящую из параллельно соединенных индуктивности,емкости и сопротивления.
Подключим эту цепь к идеальному источникусинусоидального тока I (t ) = I m sin(ωt + ψ ) . В результате получаетсясхема, показанная рис. 4.2.1. Поэтому цепь называют параллельнымколебательным контуром. Найдем стационарное напряжение на контуреметодом комплексных амплитуд. Согласно закону Ома:1 111I me jψ = Y( jω)U = ( ++ jωC)U = 2 + ( −ωC)2 e jψ0Ume jψ1ωLR jωLR, (4.2.1)где Y – комплексная проводимостьцепи, Um – амплитуда напряжения, ψ0 и65ψ1 – аргумент комплексной проводимости и фаза напряжения.Мгновенное значение напряжение на контуреu (t ) = U m sin(ωt + ψ 1 ) ,(4.2.2)гдеUm =I0m1R12 + (ωC −ωL)2==I0m Rω ω1 + Q ( − 0 )2ω0 ω2=I0m R1 + Q2 x2,(4.2.3)а сдвиг фазы между напряжением и током, равный аргументу комплекснойпроводимости (ψ 1 − ψ = ψ 0 ):tg (ψ 1 − ψ ) = − R (ω C − 1/ ω L) = −Qx .(4.2.4)В выражениях (4.2.3) и (4.2.4) введены следующие параметры:Q= R–LCдобротность=R(4.2.5)ρпараллельногоконтура,аx = (ω ω 0 − ω 0 ω )–относительная расстройка и ω 0 = 1 LC – собственная частота контура.Видно, что частотная зависимость амплитуды напряжения (АЧХ) напараллельном контуре аналогична частотной зависимости тока впоследовательном контуре: максимальное, резонансное значениеамплитуды напряжения на контуре U m 0 = I m R достигается при ω = ω0;максимум Um тем выше и острее, чем больше добротность контура.Поэтому все рассуждения о полуширине спектра и связи ее сдобротностью справедливы и в этом случае.
Однако из формулы 4.2.5следует, что в данном контуре с увеличением сопротивления добротностьвозрастает, а полоса пропускания уменьшается. Поэтому во избежаниерасширения полосы пропускания контура необходимо использоватьисточники тока с внутренним сопротивлением больше, чем у контура.Тогда проводимость нагруженного контура, являющаяся суммойпроводимостей источника тока Y0 и ненагруженного контура Y, не будетсильно отличаться от величины Y. При соединении параллельного контурак источнику напряжения анализ напряжения на контуре проще проводить,если источник напряжения заменитьэквивалентным источникам тока.При резонансной частоте ω = ω0разность фаз ψ0 = ψ – ψ1 между втекающим66в контур током и напряжением на нем равна нулю. Это позволяет наиболеепросто определять резонансную частоту напряжения на контуре изусловия равенства нулю реактивной части полной комплекснойпроводимости контура Im Y ( jω ) = 0 .
Для рассматриваемого контура, гдекомплексная проводимость Y = 1/ R + 1/ jω L + jω C , сразу следуетω0 = 1LC . При этом непосредственно получается и резонанснаяамплитуда напряжения U m o = I m R . Токи при резонансе в емкостиI C = U m0 jωC = jI 0 m Q и в индуктивности I L = U m 0 / jω L = − jI 0 m Qравны и противоположны по направлению. Поэтому о резонансе впараллельных контурах принято говорить как о резонансе токов.Диаграмма токов при резонансе показана на рис. 4.2.2.
Тем не менее, хотявеличины токов в емкости и индуктивности при ω = ω0 в Q раз большевтекающего тока, они не максимальны. Максимальная амплитуда тока вемкости достигается при ωC = ω01 − 1 2Q 2 , а в индуктивности – приω L = ω0 1 − 1 2Q 2 . Поэтому частоты ωC и ωL также можно считатьрезонансными. Однако в радиотехнике их не считают резонансными, таккак они не удовлетворяют условию Im Y ( jω0 ) = 0 .
Это связано с тем, чтоиз-за использования в радиотехнике контуров с большой добротностьювообще не возникает потребности в выделении данных частот, так какпрактически нет разницы между ωC и ωL или ω0. Например, при Q = 100частоты ωC и ωL отличаются от ω0 всего на ≈ 2 ⋅10 −3 % . Амплитудночастотные характеристики (АЧХ) тока в конденсаторе соответствуют АЧХнапряжения на индуктивности, а АЧХ тока в индуктивности соответствуетамплитудно-частотной характеристике напряжения на емкости впоследовательном контуре (см.
рис. 4.1..4).Пример 4.2.1. Рассмотримпараллельный контур, изображенныйна рис. 4.2.4 Источник тока I0 сLвнутренним сопротивлением R0CI0R0питает колебательный контур,состоящий из индуктивности L сRпотерями, представленнымипоследовательно включеннымсопротивлением R, и емкости C.Рис. 4.2.4Найдем резонансную частоту идобротность контура.В этом контуре ветви, содержащие емкость и индуктивность,параллельны и параллельно присоединены к источнику.
Поэтому контур67является параллельным колебательным контуром. Решение проведемметодом комплексных амплитуд. Комплексная проводимость контураY ( jω ) =+ jR111+ jωC +=++R0R + jωL R0 R 2 + (ωL) 2ω 3 L2C + R 2ωC − ωL 1=+R0R 2 + (ωL) 2ω2+ j 2ω01ω2 ρ2R (1 + 2 2 )ω0 Rρω 2 R2(+− 1) ,ω 2 ρ 2 ω 02 ρ 22R (1 + 2 2 )ω0 R+(4.2.6)где ρ = L / C , ω 0 = 1 / LC . Резонансная частота находится изравенства нулю мнимой части проводимости. Исключая случайпостоянного тока (ω = 0), резонанс в контуре может возникнуть приR / ρ < 1 c частотой ω p = ω0 1 − R1 / ρ 2 .
При R / ρ << 1 выражение дляпроводимости контура упрощается:Y ( jω) ≈ω 1 ω21 ω2 R1 ω2 R1+ 2 2 + j 0 ( 2 − 1) ≈++ j(ωC − ) , (4.2.7)R0 ω0 ρω ρ ω0R0 ω02 ρ 2ωLприобретая вид, соответствующий контуру с идеальными элементами, ноω 02 ρ 2(Сопротивления R0 и R1ω2 Rсоединены параллельно). В силу сделанного предположения ( R / ρ << 1)вблизи резонансной частоты R1 ≈ ρ 2 / R и добротность такого контурашунтированным сопротивлением R1 =Q=R0 R1ρ=R0 R1. При R0 > R1 источник тока не влияет на( R0 + R1 ) ρдобротность ( Q ≈ R1 / ρ = ρ / R ) и на колебательные процессы в контуре.Добротность становится равной добротности последовательного контура,состоящего из индуктивности L емкости C и сопротивления R. ПриR0 < R1 добротность контура будет определяться величиной внутреннегосопротивления источника Q ≈ R0 / ρ . Полученное решение корректно приналичии большой добротности не менее ≈ 102.684.2.2*.
Физический способ определения параметровНайдем собственные колебания напряжения на контуре, состоящем изпараллельно соединенных емкости, индуктивности и сопротивления, когдаисточник отсоединен. Пусть, например, в начальный момент времени(t = 0) ток в индуктивности равен iL(0), а напряжение на емкости u (0) = 0 .По закону токов КирхгофаtCdu u 1+ +udt + iL (0) = 0 .dt R L 0∫(4.2.7)Дифференцируя уравнение (4.2.7) по времени, получаемуравнение:d 2u1 du1++u =0,2RC dt LCdt(4.2.8)описывающее изменение напряжения на контуре.
Уравнение (4.2.8)подобноуравнению(4.1.13).Оноявляетсяоднороднымдифференциальным уравнением, описывающим собственные затухающиеколебания. При отсутствии потерь энергии в контуре ( R = ∞ , т. е.разорвать цепь с сопротивлением) напряжение будет соответствоватьпериодическим незатухающим колебаниям с собственной частотойконтура ω0 = 1 LC . Если потери энергии за период собственныхколебаний значительны, то второй член в уравнении (4.2.8) доминируетнад третьим и напряжение экспоненциально падает, не совершаяколебаний.
Такое затухание колебаний называют апериодическим. Этонаглядно видно из выражения для корней характеристического уравненияp1, 2 = −1±2 RC11−2 2LC4R C.Впромежуточномслучаеслабыхзатуханий (1/2RC < ω0 подкоренное выражение отрицательно) возникаютпериодические колебания напряжения с экспоненциальным падениемамплитуды.u(t ) = U m exp( −δt ) cos(ω1t + ψ ) .(4.2.9)В выражении (4.2.9) δ = 1 / 2 RC является декрементом затухания,ω1 = ω02 − δ 2 , Um и ψ – постоянные интегрирования, определяемые изначальных условий.
(В рассматриваемом случае из условия u(0) = 0следует ψ = π / 2 , а из (4.2.7) вытекает Ci ( 0)du= −iL (0) или U m = L).ω1Cdt69Введем логарифмический декремент аналогично выражению (4.1.17), какδ l = lnu (t )= δT . Тогда при δ << ω0 логарифмический декрементu(t + T )параллельногоконтурабудетδ l ≈ δ 2π ω 0 = π LC RC = πρ R , адобротность Q ≈ π δ l = R ρ . Еще раз подчеркнем, что добротностьпараллельного контура, в отличие от последовательного, тем больше, чембольше активное сопротивление. В пределе бесконечного сопротивления,равносильного разрыву, энергия, запасенная в индуктивности и емкости,будет последовательно переходить из состояния обусловленного энергиеймагнитного поля в состояние с энергией электрического поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
