1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (826900), страница 14
Текст из файла (страница 14)
рис. 5.1.2.) при размыкании ключа в первыймомент времени заряды на конденсаторах останутся неизменными инезависимые начальные условия определяются вторым равенством ввыражении (5.1.1). При замыкании ключа отсутствие между емкостямисопротивления приводит к большим токам, и заряды на емкостяхперераспределяются за малый промежуток времени. В электротехникеэтим временем пренебрегают. Используя условие сохранения суммарногозаряда на емкостях до и после коммутации, а также, что после коммутациинапряжение на емкостях будет одинаковым, получаем независимоеначальное uC (+0) = (C1uC1 (−0) + C2 uC2 (−0)) /(C1 + C 2 ) , где за времяотсчета взят момент коммутации. Покажите самостоятельно, что при такойкоммутации энергия в контуре не сохраняется.Для расчета переходного процесса обязательно требуется знаниенезависимых начальных условий, причем совершенно безразлично, какимобразом эти условия в цепи были созданы.5.2.* Расчет переходных процессов классическим методомАнализ переходного процесса в разветвленной линейной цепи ссосредоточенными параметрами (R, L, C ) классическим методом сводитсяк решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ),составленных на основании законов Кирхгофа для цепи после коммутации82(Задача Коши).
Решение для каждой ветви записывают для искомойфункции (тока, напряжения и т.д.) в виде суммы свободной (решениеоднородного уравнения) и принужденной (частое решение) составляющихэтой функции, т.е.:i (t ) = iсв (t ) + iпр (t ) ,(5.2.1а)u (t ) = uсв (t ) + uпр (t )(5.2.1б)Систему уравнений Кирхгофа преобразуют в систему алгебраическихуравнений путем замены производных типаdkна pk, а интегралы (еслиkdtони не исключены предварительным дифференцированием) – на 1/p.Основной объем расчетов связан, во-первых, с нахождением корней (рk)определителя системы, т.
е. с нахождением корней характеристическогоуравнения∆( p) = 0 , во-вторых, с определением постоянныхинтегрирования по начальным условиям. Степень характеристическогоуравнения не зависит от выбора контуров, для которых составляютсяуравнения по закону напряжений Кирхгофа. Пусть характеристическоеуравнение имеет кратность n. Тогда оно должно иметь и n корней.Поэтому свободный ток (или узловой потенциал) в любой ветви (любомузле) при не кратных корнях определяется выражениемn∑A eiсв (t ) =kpk t,(5.2.2)k =1а при кратных корнях, соответственно –1) случай действительного m –кратного корня (l–й корень имееткратность m)n−m∑iсв (t ) =Ak e p k t + e pl tk =1, k ≠ lm∑B tkk −1,(5.2.3)k =12) случай комплексно-сопряженных m –кратных корней (l–й кореньpl = σl ± jωl, имеет кратность m):n−miсв (t ) =∑Ak e p k t + eσ l tk =1, k ≠ l=n−m∑A ekpk tn−m∑A ekk =1, k ≠ lk −1( M k e jω l t + N k e − jω l t ) =k =1+ eσ l tk =1, k ≠ l=m∑tm∑tk −1( Bk cos ωl t + Ck sin ωl t ) =k −1Dk sin(ωl t + ψ k ),(5.2.4)k =1pk t+ eσ l tm∑tk =183где Ak, Bk, Mk, Nk, Ck, Dk, ψk – постоянные интегрирования.
Так как в цепяхс пассивными элементами свободные составляющие всегда затухают, тодействительные части всех корней должны быть отрицательны, т. е. вcеpi < 0 и σl < 0.Постоянные интегрирования находят из начальных условий.Количество начальных условий должно быть равно количеству корней сучетом их кратности. Согласно общей теории, развитой для задачи Коши,эти условия задаются значениями искомой функции и ее производных отпервого до n - 1 порядка включительно, т. е.
знать кроме независимыхусловий еще так называемые зависимые начальные условия. Для данногослучая полная система начальные условий для нахождения константинтегрирования имеет видiсв (0) = i (0) − iпр (0)diпрdiсвdi=−dt t = 0 dt t = 0 dt t = 0−−−−−−−−−−−− n −1d n −1iпрd n −1i d iсв=− d n −1td n −1t t = 0 d n −1tt =0(5.2.5).t =0B (5.2.5) ток iпр (0) и его производные являются принужденнымисоставляющими в первый момент времени после коммутации. Ихвеличины находят либо по установившемуся, стационарному режимуработы схемы (любым способом, рассмотренным в § 3), либо прямымнахождением частного решения, применяя метод вариации произвольныхпостоянных (метод Лагранжа) или метод Коши.Ток i(0) и его производные в первый момент времени послекоммутации находят из законов коммутации и уравнений Кирхгофа.
Приэтом удобно для нахождения части зависимых начальных условийпостроить эквивалентную схему. Она получается заменой индуктивностейна идеальные источники тока, дающие ток, равный току в индуктивностяхв момент коммутации, и заменой емкостей на идеальные источникинапряжения с ЭДС, равными напряжениям на емкостях в моменткоммутации. В частности, при нулевых начальных условиях такая заменаеще больше упрощает нахождение начальных условий, так как в этомслучае индуктивность равносильна разрыву, а емкость – короткомузамыканию.Суммируем основные этапы расчета классическим методом.1. Рассчитывают токи в индуктивностях и напряжения на емкостях докоммутации.842.Находят по законам коммутации токи в индуктивностях инапряжения на емкостях после коммутации, т.
е. определяютнезависимые начальные условия.3. Записывают систему дифференциальных уравнений на основезаконов Кирхгофа для схемы после коммутации.4. Находят зависимые начальные условия для токов или напряженийпо пункту 3. (Часть зависимых начальных условий удобнонаходить из эквивалентной схемы.)5. Ищут частное решение системы неоднородных дифференциальныхуравнений пункта 3.6. Находят решение системы однородных дифференциальныхуравнений, т.
е. свободное решение.7. Определяют постоянные интегрирования решения пункта 6.8. Находят окончательное решение сложением решений п. 5 и п. 6.Проиллюстрируем работу классического метода на примерахразличной сложности.Пример 5.2.1. Переходный процесс в последовательной R, L цепи.Положим, что в момент t=0 цепь, состоящая из последовательносоединенных R и L, присоединяется к источнику ЭДС, как показано нарис.
5.2.1. В начале рассмотрим случай постоянного источника с ЭДСравной E. По второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение длявремени t ≥ 0 записывается в видеLRKdi+ Ri = Edt(5.2.6)Решитьэтоуравненияможнопрямыминтегрированием, используя метод разделенияпеременныхLi∫e(t)i0tdi 'R=dt ''i −E/R L 0∫где интегрирование идет от момента временисразу после коммутации, когда по законукоммутации начальный ток в индуктивности i0 = 0 .
Выполнивинтегрирование, получаемРис. 5.2.1Ri (t ) =t−− tEE(1 − e L ) = (1 − e τ ) .RR(5.2.7)Видно, что ток в цепи экспоненциально затухает. Характерное времяτ = L / R называется постоянной времени R,L цепочки. За это время токуменьшается в e = 2.71828 раз от своей первоначальной величины.85Уравнение (5.2.6), можно решить и по обычным правилам решенияобыкновенных дифференциальных уравнений. Если в этом уравнениизаменитьдифференцированиеоператоромp,тополучимхарактеристическое уравнение R + pL = 0 , корень которого p = − R / L .Следовательно, свободный ток, соответствующий решению однородного−Rtуравнения (правая часть в (5.2.1) равна нулю), iсв = Ae pt = Ae L .Принужденный ток, являющийся частным решением, равен E / R .
Этотток с физической точки зрения является стационарным током,установившимся после прекращения переходного процесса. Тогда,переходный ток (полное решение дифференциального уравнения) естьсумма этих токовt−Ei = + Ae τR(5.2.8)Неизвестная постоянная интегрирования A , входящая в это уравнениенаходится из начального условия: i (0) = i (−0 ) = 0 . Согласно уравнению(5.2.8) при t=0 имеем 0 = E R + A , отсюда A = − E R . Окончательно дляпереходного тока получаем выражение аналогичное (5.2.7).Усложним этот пример, предположив, что источник имеет ЭДСe(t ) = E0 sin(ωt + ψ ) . Тогда принужденный ток найдем какустановившийся ток. Этот ток легко находиться методом комплексныхамплитуд.
Действительно, комплексная амплитуда токаI=E0 e j ψ=R + jω LE0R + (ωL)22e j (ψ −ϕ ) ,(5.2.8)где φ – аргумент комплексного сопротивления цепи ( tgϕ = ωL / R ).ОткудаE0iпр (t ) =R 2 + (ωL) 2НеизвестнаяначальногоA=−(5.2.9)постоянная интегрирования A также находиться изусловияi (0) = i (−0) = 0 .ОнодаетE0R + (ωL) 22sin(ωt + ψ − ϕ )sin(ψ − ϕ ) . Окончательно переходной ток86E0i(t ) =R 2 + (ωL)2sin(ωt +ψ − ϕ ) −E0R 2 + (ωL)2sin(ψ − ϕ )e−tτ(5.2.10)Отметим, что выбором момента включения источника можноосуществить условие ψ = ϕ . Тогда будет A = 0 , и в цепи не будетвозникать переходной процесс. Ток сразу после включения будетсинусоидальным.Пример 5.2.2.
Найдем ток в цепи, показанной на рис. 5.2.2, послеразмыкания ключа.Если ключ замкнут, то напряжениена конденсаторе u0 = ER2 ( R1 + R2 ) , аR1LR2ток в индуктивности i = E ( R + R ) .0EKИз законов коммутациинезависимыеначальныеi (0) = i0 , u (0) = u0 .12следуютусловияПри размыкании ключа начнетсяизменение заряда на конденсаторе доРис. 5.2.2тех пор, пока напряжение наконденсаторе не установиться равным Е0. Закон Кирхгофа в цепи послекоммутацииtE = Ri + Ldidi 1+ uC (t ) = Ri + L +i (t ' )dt ' + u0 .dtdt C 0∫(5.2.11)Решение этого уравнения можно проводить операторным методом,заменяя производную p, а интеграл на 1/p, или методом исключенияинтеграла дифференцированием уравнения по времени. Выберем второйметод.Тогдауравнение(5.2.11)сведетсякоднородномудифференциальному уравнению второго порядкаd 2idi+ 2 β + ω 02i = 0 ,dtdt 2(5.2.12)где β = R (2 L) , ω 0 = 1 LC .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
