1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (826900), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Такиепереходы будут обеспечивать бесконечные колебания напряжения,следовательно, и бесконечную добротность контура.Пример 4.2.2. Проанализируем работу схемы, приведенной нарис. 4.2.4, используя дифференциальные уравнения Кирхгофа. Найдемсобственные колебания в контуре, когда источник тока отключен, носопротивление R0 оставлено. Начальным состоянием контура выберемсостояние, в котором токи отсутствуют, а конденсатор имеет напряжениеuC(0). Систему уравнений Кирхгофа запишем через напряжения наэлементах цепиt duuC 1C++u L dt = 0,CR0 L 0 dt tu1u L dt = R ,RL 0u + u = u .RC L∫∫(4.2.10)Дифференцируя уравнения и исключая напряжение uR насопротивлении R, получаем систему однородных дифференциальныхуравнений d 2uC 1 duC 1C d 2t + R dt + L u L = 0,0 1 duC − 1 duL − 1 u = 0,L R dtR dtL(4.2.11)которую преобразуем в одно дифференциальное уравнение относительнонапряжения на конденсаторе:70LCd 3u Cd uCL d 2 uCRCR+(+)+ ( + 1)=032R0 dtR0dtdt(4.2.12)Корни характеристического уравнения:р1 = 0 и p 2 , 3 = −(R + ρ 2 R0 )2ω0ρ2(R +) ± jω 0 1 −.2ρR04ρ 2(4.2.13)Собственные колебания в цепи с частотойω = ω0 1 −(R + ρ 2 R0 )24ρ 2возникнут лишь приQ =π1(4.2.14)(R + ρ 2 R0 )< 1 .
Добротность цепи4ρω0( R + ρ 2 R0 )T2ρ≈π1ω02π(R + ρ 2 R0 )ω2ρ≈ρ. (4.2.15)R + ρ 2 R0Определяемые частоты свободных колебаний совпадают срезонансными частотами, получаемыми методом комплексных амплитуд,лишь в контурах с большой добротностью, которые обычно ииспользуются на практике. Причем для таких контуров расчетдобротности данными методами приводит к одним и тем же значениям.4.3. Резонансы в сложных контурахСложные цепи в ветвях, которых имеются емкости и индуктивности,могут иметь в зависимости от частоты как параллельный, так ипоследовательный резонансы. Определение резонансных частот в такихцепях удобно проводить методом комплексных амплитуд.
Частоты, прикоторых выполняется условие Im(Z (ω )) = 0 или Im(Y (ω )) = ∞ ,соответствуют последовательному резонансу, а при выполнении условияIm(Y (ω )) = 0 или Im(Z (ω )) = ∞ – параллельному резонансу. Вкомплексное сопротивление Z(ω) (или проводимость Y(ω)) включают ивнутреннее сопротивление источника.Важные свойства частотных характеристик сопротивлений цеписостоящей только из индуктивностей и емкостей вытекают из теоремыФостера.
Приведем ее формулировку без доказательства. Она вытекает изпонятия положительных вещественных функций комплексной частоты,которые описывают физически реализуемые цепи и используются присинтезе электрических цепей.71Теорема Фостера. Если сопротивление цепи является чисто мнимымZ (ω ) = jX (ω ) , то оно описывается неубывающей функцией, т. е.dX / d ω > 0 . Следствия из этой теоремы:1) точки ω = 0 и ω = ∞ есть особые точки (нули или полюсывходного сопротивления);2) на оси ω нули и полюсы расположены в чередующемся порядке;3) в электрической цепи, составленной из n реактивных элементов,возникает не более n-1 резонанса.Эта теорема и вытекающие из нее следствия позволяют исключатьвозможные ошибки при анализе цепи на наличие резонансов и прикачественном определении резонансных частот.
Действительно:• все частотные характеристики входных сопротивлений ипроводимостей цепей являются возрастающими функциями отчастоты;• резонансы тока и напряжения чередуются между собой;• если в цепи есть путь для прохождения постоянного тока, т. е. приω = 0 Z ВХ = 0 (частотная характеристика начинается с нуля),то первым наступает резонанс токов, если нет (т.е. приZ ВХ = ∞ ), то первым наступает резонанс напряжений.105X,OmX,OmYL, ZCZL, YC0-5ω =00f,kHz0.511.5-10f,kHz0.511.5а)б)Рис. 4.3.1При анализе сложных цепей удобно пользоваться графическимспособом. Для этого используют только реактивную составляющуюконтура, считая сопротивления всех резисторов равными нулю.
Частотнаяхарактеристика сопротивления индуктивности ( Z L (ω ) = jωL ) имеетлинейную зависимость (рис. 4.3.1а), а частотная характеристикасопротивления емкости ( Z C (ω ) = − j ωC ) является гиперболойНаоборотчастотнаязависимостьпроводимости(рис. 4.3.1б).индуктивности ( YL (ω ) = − j ωL ) является гиперболой (рис. 4.3.1б), ачастотная характеристика проводимости емкости ( YC (ω ) = jωC ) естьпрямая (рис. 4.3.1а). Это позволяет легко построить в графическом видечастотные характеристики сопротивлений и проводимостей сложных72контуров. Графическое построение необходимо начинать с выделенияэлементов цепи с последовательным и параллельным соединениема)3X,Om2020X,Om101000X,Om0-3-6-9с)б)f,kH0.511.5-10-10-20f,kHz0.511.5-20f,kHz0.511.5с)б)Рис 4.3.2емкости и индуктивности, т. е.
с выделения простого последовательного ипараллельного контура.Пример 4.3.1. В качестве примера рассмотрим цепь, состоящую изпоследовательно соединенной емкости с параллельным контуром.Графическое построение начнем с параллельного контура. Во-первыхнайдем проводимость контура, пользуясь правилом: при параллельномсоединении элементов общая проводимость является суммойпроводимостей отдельных элементов. Используя графики проводимостейемкости и индуктивности (см.
рис. 4.3.1), график проводимостипараллельного контура Y1(ω) получается простым сложением этихграфиков. Место пересечения полученной зависимости Y1(ω) (см.Y1рис. 4.3.2а), с осью частот определяет резонансную частоту ω0 . Далее поэтому графику построим график сопротивления параллельного контураZ1(ω). При резонансной частоте в спектре сопротивления будет разрыв.При приближении частоты к ω0 слева сопротивление контура будетстремиться к «+» бесконечности, а при подходе к ω0 справа сопротивлениеконтура будет стремиться к «–» бесконечности (изменение знакасопротивления по отношению к проводимости связано с его чистомнимым значением). При стремлении частоты к нулю сопротивлениепадает до нуля из-за шунтирующего (замыкающего) влиянияиндуктивности, тогда как при стремлении частоты к бесконечностишунтировать будет емкость и общее сопротивление упадет до нуля (см.рис.
4.3.2б).Наконец рассмотрим последовательное соединение емкости сконтуром. Общее сопротивление будет равно сумме сопротивленийданных элементов ( Z (ω ) = Z C (ω ) + Z1 (ω ) ) поэтому и график Y1(ω) будета)73являться суммой графиков сопротивлений емкости и контура (см.рис. 4.3.2в). Этот график имеет одно пересечение с осью частот (ω1) и одинразрыв при ω0. При первой частоте в сложном контуре возникаетпоследовательный резонанс (параллельный контур имеет положительное –индуктивное сопротивление), при второй частоте в сложном контуревозникает параллельный резонанс (все сопротивление определяетсяпараллельным контуром). Этот анализ находится в полном соответствии стеоремой Фостера.
Все полученные кривые являются возрастающимифункциями с увеличением частоты; точки ω = 0 и ω = ∞ есть особыеточки (в нашем случае полюсы); резонансы по частоте расположены вчередующем порядке, причем первый – последовательный резонанс(резонанс напряжений); количество резонансов не превысило 2 ( 2 = n − 1 ,в нашем случае n = 3 ).Пример 2.3.2. В качестве другого примера рассмотрим схему,состоящую из двухполюсника присоединенного к источнику ЭДС (рис.4.3.3а). В ней также возникает ( n − 1 = 2 ) два резонанса: сначала резонанстоков, а затем резонанс напряжений.
Частотная характеристикареактивного сопротивления этого двухполюсника (общее сопротивлениевсех индуктивностей и емкости), показана на рис. 4.3.3б. Она получаетсясложением графика сопротивления параллельного контура (см.рис. 4.3.2.б) с графиком сопротивления индуктивности (см. рис. 4.3.1.а).Видно, что двухполюсник имеет два резонанса один параллельный начастоте соответствующей месту разрыва в спектре и одинпоследовательный на частоте пересечения спектра с осью частот. Ток,втекающий в двухполюсник (ток через резистор), определяетсявыражениемi (t ) =E02R + X2sin(ωt + ψ )(4.3.1)0.5X, kOm0-0.5а)f,kHz204060б)Рис. 4.3.374где E0 – амплитуда источника ЭДС, X – реактивное сопротивлениедвухполюсника, ψ = arctg ( X R ) – фаза тока (фаза ЭДС принята за нуль).Отсюда измеряемое вольтметром напряжение на резисторе будетUR =E0 RR2 + X2,(4.3.2а)а на реактивном сопротивлении контура –UX =E0 XR2 + X2.(4.3.2.б)Следовательно, измеряемый спектр тока или напряжения на резисторебудет иметь максимальные значения при нулевой частоте и на частотепоследовательного резонанса (при этих частотах X = 0 ), а минимальныезначения на частоте параллельного резонанса и в высокочастотнойобласти (при этих частотах X = ∞ ).
На реактивном сопротивлении,наоборот, на нулевой частоте и на частоте последовательного резонансаминимальные значения, а на частоте параллельного резонанса и ввысокочастотной области – максимальные. Согласно выражениям (4.3.2а)и (4.3.2.б) максимальные напряжения равны ЭДС источника, аминимальные – нулю.Рассмотрение особенностей в спектрах напряжений в понятияхпоследовательного и параллельного резонансов позволяет качественнообъяснить изменения в спектрах с изменением величины сопротивлениярезистора.
Например, увеличение сопротивления будет вызыватьувеличение добротности для параллельного резонанса, а, следовательно, ксужению спектра в этой области частот. Наоборот, в случаепоследовательного резонанса рост сопротивления резистора будетприводить к уменьшению добротности последовательного резонанса, а,следовательно, к уширению спектра в этой области частот.4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
