1611676884-55ce67763bb0ee5cd12890a10c9e59c1 (826616)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический анализЛекции. Семестр 2.В.Н. Старовойтовc В.Н.Старовойтов, 2016⃝Оглавление5 Дифференцирование (продолжение)5.3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Вещественные степенные ряды .5.3.2 Комплексные степенные ряды .5.4 Исследование поведения функций . . .5.5 Классические неравенства анализа . .............................................................6 Интегрирование6.1 Неопределённый интеграл . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1 Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.2 Интегрирование рациональных функций . . . . . . .6.2 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.1 Понятие интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . .6.2.2 Свойства интеграла Римана . . .

. . . . . . . . . . .6.2.3 Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.4 Связь определенного и неопределенного интегралов6.2.5 Классические интегральные формулы анализа . . .6.3 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.1 Понятие несобственного интеграла . .

. . . . . . . .6.3.2 Признаки сходимости несобственного интеграла . . .2.............................................................................................................................................3. 3. 3. 4. 7. 14............17171722262634384243474751............Глава 5Дифференцирование (продолжение)Лекция №1. 08.02.2016.5.35.3.1Степенные рядыВещественные степенные рядыСначала мы рассмотрим вещественные степенны́е ряды. Пусть x0 ∈ R и ak ∈ R дляk ∈ N ∪ {0}. Для каждого x ∈ R ряд вида∞∑ak (x − x0 )kk=0называется степенным.Функция f : R → R называется аналитической(или вещественно-аналитической) в∑∞точке x0 , если существует степенной ряд k=0 ak (x − x0 )k и некоторая окрестность U (x0 )точки x0 , такие, что∞∑ak (x − x0 )kf (x) =k=0для всех x ∈ U (x0 ).

Функция аналитична на множестве E, если она аналитична в каждойточке этого множества.Легко показать, что аналитической в точке x0 функции соответствует единственныйстепенной ряд, то есть коэффициенты ak определены однозначно. В самом деле, еслиэта функция представима в некоторой окрестности U точки x0 в виде суммы другогостепенного ряда, скажем, с коэффициентами bk , то∞∑ak (x − x0 ) =kk=0и∞∑bk (x − x0 )kk=0∞∑(ak − bk ) (x − x0 )k = 0k=03для всех x ∈ U . Положив x = x0 , мы получим, что a0 = b0 . Это означает, что сумма в последнем равенстве берется по k от 1 до бесконечности. Разделив полученное соотношениена (x − x0 ) и снова положив x = x0 , мы получим что a1 = b1 .

Продолжая эту процедуру,мы можем показать, что ak = bk для любого k ∈ N.Нам уже встречались степенные ряды. Если f : R → R — бесконечно-дифференцируемая функция, то ей можно поставить в соответствие её ряд Тейлора в точке x0 :∞∑1 (k)f (x0 )(x − x0 )k .k!k=0∑∞kЕсли f (x) =k=0 ak (x − x0 ) для всех x из некоторой окрестности точки x0 , то, какследует из вышеприведенных рассуждений, ak = f (k) (x0 )/k !.Вообще говоря, если функция аналитична на некотором интервале, то она бесконечнодифференцируема на этом интервале. Мы докажем этот факт позднее, когда будем изучать функциональные ряды. Сейчас мы можем показать, что из бесконечной дифференцируемости не следует аналитичность.

Приведем пример.Пример 5.3.1. Рассмотрим функцию{()exp − 1/x2 , x ̸= 0,f (x) =0,x = 0.Эта функция является бесконечно-дифференцируемой на R и обращается в нуль только вточке x = 0. В то же время, нетрудно проверить, что f (k) (0) = 0 для всех k ∈ N. Поэтомуf (x) не совпадает с суммой своего ряда Тейлора для всех x ̸= 0. Таким образом, f неявляется аналитической в точке x = 0.•Есть много аналитических функций, и они нам встречались. Любой полином, функцииexp, sin, cos аналитичны на всей вещественной прямой.

Представления этих функций ввиде степенных рядов с x0 = 0 выглядят следующим образом:xexp x = e =∞∑xkk=0k!,∞∑(−1)ksin x =x2k+1 ,(2k+1)!k=0cos x =∞∑(−1)kk=0(2k)!x2k .Эти ряды сходятся абсолютно для всех x ∈ R.5.3.2Комплексные степенные рядыВещественные степенные ряды являются частным случаем комплексных степенных рядов.Пусть {ak } — последовательность комплексных чисел и z, z0 ∈ C.

Ряд вида∞∑ak (z − z0 )kk=04называется степенным.Сходимость рядов с комплексными членами определяется так же, как для вещественных рядов (через сходимость последовательности частичных сумм). Скажем, что последовательность комплексных чисел {ζk } сходится к ζ0 ∈ C (ζk → ζ0 ), если |ζk − ζ0 | → 0 приk → ∞. Если ζk = ξk + iηk и ζ0 = ξ0 + iη0 , где ξk , ηk , ξ0 , η0 ∈ R, то ζk → ζ0 тогда и толькотогда, когда ξk → ξ0 и ηk → η0 .Функция f : C → C называется аналитической в точке z0 ∈ C, если она являетсясуммой степенного ряда в некоторой окрестности этой точки. В этом пункте мы познакомимся с начальными сведениями из теории степенных рядов.

Более подробно эта темабудет освещаться в курсе теории функций комплексной переменной.Теорема 5.3.2. Если степенной ряд сходится в некоторой точке z1 ̸= z0 , то он сходитсяабсолютно в каждой точке открытого круга B = {z ∈ C | |z − z0 | < ϱ}, где ϱ = |z1 − z0 |.Если степенной ряд расходится в некоторой точке z2 , то он расходится в каждой точкеz ∈ C, удовлетворяющей неравенству |z − z0 | > |z2 − z0 |.∑kДоказательство.

Поскольку ряд ∞k=0 ak (z1 −z0 ) сходится, из необходимого признака сходимости следует, что ak (z1 − z0 )k → 0 при k → ∞. Поэтому существует число M ∈ R+ ,такое, что |ak (z1 − z0 )k | 6 M для всех k ∈ N.Возьмем произвольное z ∈ B. Тогда∞∑|ak (z − z0 ) | =kk=0∞ (z − z )k ∑|z − z0 |k0|ak (z1 − z0 )k | .6Mkk(z|z1 − z0 )1 − z0 |k=0k=0∞∑Ряд в правой части сходится, поскольку |z − z0 | < |z1 − z0 |. Следовательно сходится и рядв левой части.Вторая часть утверждения теоремы доказывается от противного. Если предположить,что ряд сходится в некоторой точке z3 , удовлетворяющей неравенству |z3 − z0 | > |z2 −z0 |, то из первой части утверждения будет следовать, что ряд сходится в точке z2 , а этопротиворечит условию теоремы.Заметим, что в точке z0 степенной ряд сходится всегда.

Если он сходится ещё в какойто точке, то, как следует из доказанной теоремы, множество точек, в которых степеннойряд сходится, представляет собой открытый круг с центром в точке z0 , объединенный снекоторым множеством точек на границе этого круга. Радиус этого круга обычно обозначается через R и называется радиусом сходимости степенного ряда. Другими словами,радиусом сходимости степенного ряда называется такое вещественное число R, что рядсходится в круге {z ∈ C | |z − z0 | < R} и расходится в некоторой точке вне него.

Как следует из последней теоремы, R = sup{r ∈ R+ | ряд сходится в круге |z − z0 | < r}. В случае,когда единственной точкой сходимости ряда является точка z0 , будем считать R = 0.√Теорема 5.3.3 (Коши — Адамар). R = α−1 , где α = lim k |ak |, причем α может обраk→∞щаться в бесконечность (т.е., R = 0).Доказательство. Сначалапредположим, что α < ∞. Пусть β = 1/α. Для исследования∑|a(z− z0 )k | воспользуемся признаком Коши.

Если |z − z0 | < β, тосходимости ряда ∞kk=0limk→∞√k|ak (z − z0 )k | = |z − z0 | limk→∞5√k|ak | < β α = 1.∑kСледовательно ряд ∞k=0 ak (z − z0 ) сходится (и даже абсолютно).Если |z − z0 | > β, тоlim√kk→∞|ak (z − z0 )k | = |z − z0 | lim√kk→∞|ak | > β α = 1.kСледовательно для каждого n ∈ N найдется kn > n, такое, что |ak (z −∑z∞0 ) | > 1. Этоkkозначает, что ak (z − z0 ) не стремится к нулю при k → ∞. Поэтому ряд k=0 ak (z − z0 )расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.Таким образом, R = β.Если α = ∞, то R = 0 и ряд конечно же сходится в точке z0 .Пример 5.3.4.

Нетрудно проверить, что радиус сходимости равен 1 для следующих рядов:∞∞∞∞∞∑∑∑∑∑zkzkkkkz ,z ,,,(z − 3)k .•2kkk=0k=0k=0k=0k=0Лекция №2. 11.02.2016.По аналогии с функциями вещественной переменной определим следующие функциикомплексной переменной:zexp z = e :=∞∑zkk=0k!,∞∑(−1)k 2k+1sin z :=z,(2k+1)!k=0cos z :=∞∑(−1)kk=0(2k)!z 2k .Радиус сходимости этих рядов равен +∞, т.е., они сходятся абсолютно во всей комплекснойплоскости C.

Следовательно функции exp, sin и cos определены (как суммы соответствующих рядов) и являются аналитическими в C.Используя теорему о произведении абсолютно сходящихся рядов, нетрудно показать,что exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ) для всех z1 , z2 ∈ C. Мы уже доказывали это тождестводля вещественных z1 и z2 .Заметим, чтоeiz = cos z + i sin z для всех z ∈ C.В частности, если z = φ ∈ R, то мы получаем формулу Эйлера:eiφ = cos φ + i sin φ.Отметим, что eiφ = e−iφ и, как следствие, |eiφ | = 1 для всех φ ∈ R. Кроме того,sin φ =eiφ − e−iφ,2icos φ =eiφ + e−iφ.2Наконец заметим, что из формулы Эйлера сразу следует формула Муавра.Формула Эйлера имеет важные приложения. В частности, она упрощает вывод многихтригонометрических формул.6Пример 5.3.5. Для любых вещественных φ и ψei(φ+ψ) = cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)и()()eiφ eiψ = cos φ + i sin φ cos ψ + i sin ψ= cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ).Выделяя вещественную и мнимую части в равенстве ei(φ+ψ) = eiφ eiψ , мы получим:cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,sin(φ + ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ.5.4•Исследование поведения функцийИногда при исследовании той или иной функции нам бывает необходимо представить вобщих чертах график этой функции, выяснить её поведение на различных участках числовой прямой, найти её ключевые точки.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций