1611676884-55ce67763bb0ee5cd12890a10c9e59c1 (826616), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Продолжение разбиения означает, что мы к разбиению P добавили некоторые точки из [a, b] \ [c, d]. Таким образом,множество отрезков разбиения P является подмножеством множества отрезков разбиения Q. Поэтому∑∑ω(f, Ak ) λk 6ω(f, Ak ) λk ,Ak ∈PAk ∈QJоткуда и следует доказываемое утверждение.Лемма 6.2.17. Пусть f : [a, c] → R и a < b < c. Если f ∈ Rim[a, b] и f (x) = 0 приx ∈ (b, c], то f ∈ Rim[a, c].I Так как ∈ Rim[a, b], функция f является ограниченной на [a, b, а следовательно и на[a, c]. Поэтому существует число K ∈ R+ , такое, что |f (x)| 6 K для всех x ∈ [a, c].Для произвольного ε > 0 найдется такое δ1 > 0, что∑ω(f, Ak ) λk < ε(∗)Ak ∈Pдля произвольного разбиения P отрезка [a, b], удовлетворяющего неравенству λ(P ) < δ1 .Заметим, что поскольку в (∗) стоит сумма положительных слагаемых, неравенство останется справедливым, если мы выбросим из неё любое число слагаемых.Возьмем теперь произвольное разбиение Q отрезка [a, c], такое, что λ(Q) < δ, гдеδ = min{δ1 , ε/(4K)}.
Тогда∑ω(f, Ak ) λk =∑′ω(f, Ak ) λk +∑ ′′ω(f, Ak ) λk +∑ ′′′ω(f, Ak ) λk ,Ak ∈Q∑′∑ ′′гдеберется по темотрезкамA,которыепопалив[a,b],— по отрезкам, которыеk∑ ′′′содержат точку b, и— по отрезкам, которые попали в [b, c]. Поскольку λ(Q) < δ 6 δ1 ,из (∗) следует, что∑′ω(f, Ak ) λk < ε.∑∑Далее, так как f = 0 на (b, c], ′′′ ω(f, Ak ) λk = 0. Наконец, сумма ′′ содержит не большедвух слагаемых и ω(f, Ak ) 6 2K, поэтому∑ ′′Таким образом,ω(f, Ak ) λk < 2δ2K 6 ε.∑ω(f, Ak ) λk < ε,Ak ∈Qесли λ(Q) < δ. Отсюда следует, что f ∈ Rim[a, c].JОчевидно, что утверждение леммы останется справедливым, если f ∈ Rim[b, c] и f (x) =0 при x ∈ [a, b).Опираясь на эти две леммы, мы докажем аддитивность интеграла Римана.35Теорема 6.2.18 (Аддитивность интеграла Римана).
Пусть f : [a, c] → R и a < b < c.Следующие два условия эквивалентны:1 ◦ . f ∈ Rim[a, c];2 ◦ . f ∈ Rim[a, b] и f ∈ Rim[b, c] (т.е., f ∈ Rim[a, b] ∩ Rim[b, c]).При выполнении любого из этих условий справедливо равенство:∫ c∫ b∫ cf (x) dx =f (x) dx +f (x) dx.aabДоказательство. Из леммы 6.2.16 следует, что условие 1◦ влечет условие 2 ◦ . Покажем, чтоиз 2 ◦ следует 1◦ .
Введем определенные на [a, c] функции f1 и f2 , такие, что{{f (x), x ∈ [a, b],0,x ∈ [a, b],f1 (x) =f2 (x) =0,x ∈ (b, c],f (x), x ∈ (b, c],Как следует из условия 2 ◦ и леммы 6.2.17, f1 ∈ Rim[a, c] и f2 ∈ Rim[a, c]. Поэтому в силутеоремы 6.2.14 f = f1 + f2 ∈ Rim[a, c].Нам осталось доказать интегральное равенство. Поскольку интегрируемость функциймы уже доказали, для вычисления интегралов нам достаточно найти пределы интегральных сумм по какой-то одной последовательности разбиений, параметр которых стремитсяк нулю. Возьмем произвольную последовательность разбиений с выделенными точками{(P m , ξ m )}, такую, что λ(P m ) → 0 и b ∈ P m для всех m. Тогда P m = P1m ∪ P2m , где P1m иP2m — разбиения отрезков [a, b] и [b, c] соответственно.
Поэтомуσ(f, P m , ξ m ) = σ(f, P1m , ξ m ) + σ(f, P2m , ξ m ).∫cВ силу условия 1 ◦ предел левой части этого равенства существует и равен a f (x) dx, а∫b∫cв силу условия 2 ◦ предел правой части также существует и равен a f (x) dx + b f (x) dx.Таким образом, требуемое равенство установлено.Замечание 6.2.19. Заметим, что из леммы 6.2.17 формально не следует, что f2 ∈ Rim[a, c],даже с учетом замечания после доказательства этой леммы.
Для того, чтобы воспользоваться этой леммой, мы должны доказать такой факт: если f ∈ Rim[b, c], то функцияg : [b, c] → R, такая, что g(x) = f (x) при x ∈ (b, c] и g(b) = 0, также интегрируема на[b, c]. То есть g получена из f исправлением в одной точке. Оставим доказательство этогофакта читателю в качестве упражнения. Здесь можно воспользоваться рассуждениями издоказательства теоремы об интегрируемости разрывных функций.•Замечание 6.2.20. Почему мы доказывали фигурирующее в теореме интегральное равенство с помощью предельного перехода в интегральных суммах? В самом деле, прощебыло написать, что в силу линейности интеграла∫ c∫ c∫ c∫ c∫ b∫ cf (x) dx =(f1 (x) + f2 (x)) dx =f1 (x) dx +f2 (x) dx =f (x) dx +f (x) dx.aaaaabВ этой цепочке, однако, скрыто недоказанное утверждение, которое заключается в том,что∫ c∫ bf1 (x) dx =f1 (x) dx,aaесли f1 = 0 на [b, c] (или аналогичное утверждение для f2 ).36•Лекция №11.
17.03.2016.∫bДо настоящего момента мы рассматривали интеграл a f (x) dx и конечно же предполагали, что a < b. Теперь положим по определению, что∫ a∫ a∫ bf (x) dx = 0 иf (x) dx = −f (x) dx.abaИногда такое соглашение позволяет короче или в более общей форме записать результат.Оно может пригодиться, например, при замене переменной, когда нижний предел интегрирования оказывается больше верхнего. В частности, из теоремы 6.2.18 об аддитивностиинтеграла Римана сразу следует следующее утверждение:Утверждение 6.2.21. Пусть f ∈ Rim[a, b] и α, β, γ ∈ [a, b].
Тогда∫ β∫ γ∫ αf (x) dx +f (x) dx +f (x) dx = 0.αβγВ дальнейшем мы по-прежнему будем предполагать, что a < b.Теорема 6.2.22 (Монотонность интеграла Римана). Если f, g ∈ Rim[a, b] и f (x) 6 g(x)для всех x ∈ [a, b], то∫ b∫ bf (x) dx 6g(x) dx.aaДоказательство. Поскольку f 6 g, σ(f, P m , ξ ) 6 σ(g, P m , ξ m ) для любой последовательности разбиений {(P m , ξ m )}. В частности, и для такой последовательности, что λ(P m ) → 0при m → ∞. Учитывая, что f, g ∈ Rim[a, b], мы можем перейти к пределу в этом неравен∫b∫bстве при m → ∞ и получить, что a f (x) dx 6 a g(x) dx.mСледствие 6.2.23.
Пусть f ∈ Rim[a, b] и f > 0 на [a, b]. Тогда∫baf (x) dx > 0.◃ Достаточно взять в теореме g ≡ 0.▹∫b ∫bСледствие 6.2.24. Если f ∈ Rim[a, b], то a f (x) dx 6 a |f (x)| dx.◃ Во-первых, из теоремы 6.2.15 следует, что |f | ∈ Rim[a, b]. Далее, поскольку −|f (x)| 6f (x) 6 |f (x)|, теорема 6.2.22 влечет неравенство:∫ b∫ b∫ b−|f (x)| dx 6f (x) dx 6|f (x)| dx,aaa▹из которого и вытекает утверждение следствия.Следствие 6.2.25. Пусть f ∈ Rim[a, b], m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x). Тогда∫m (b − a) 6bf (x) dx 6 M (b − a).a◃ Утверждение является следствием того, что m 6 f 6 M на [a, b] идля любой постоянной µ ∈ R.37∫baµ dx = µ(b − a)▹6.2.3Теоремы о среднемВ этом пункте мы докажем два утверждения, которые носят название интегральных теорем о среднем. Эти теоремы иногда оказываются полезными при доказательстве некоторых утверждений.
В дальнейшем мы не раз ими воспользуемся.Теорема 6.2.26 (Первая теорема о среднем). Пусть f, g ∈ Rim[a, b], g > 0 на [a, b],m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x). Тогда существует число µ ∈ [m, M ], такое, что∫∫bf (x) g(x) dx = µabg(x) dx.aБолее того, если функция f непрерывна на [a, b], то существует точка ξ ∈ [a, b], такая,что∫ b∫ bf (x) g(x) dx = f (ξ)g(x) dx.aaДоказательство.
Поскольку m g(x) 6 f (x) g(x) 6 M g(x), справедливо неравенство∫∫bg(x) dx 6ma∫bf (x) g(x) dx 6 Mabg(x) dx.a∫b∫bЕсли a g(x) dx = 0, то a f (x) g(x) dx = 0 и доказываемые равенства превращаются в∫bтривиальные тождества 0 = 0. Предположим, что a g(x) dx > 0. Тогда∫bm6af (x) g(x) dx6M∫bg(x)dxaи мы получаем справедливость первого утверждения теоремы с∫bµ=af (x) g(x) dx.∫bg(x) dxaВторое утверждение теоремы сразу следует из теоремы о промежуточном значении непрерывной функции.Утверждение доказанной теоремы справедливо и при g 6 0. Чтобы установить этотфакт достаточно вместо g взять функцию −g.Для того, чтобы доказать вторую теорему о среднем, нам потребуется вспомнить определения некоторых пространств непрерывных функций.
Пусть E ⊂ R. Функция f : E → Rназывается непрерывной по Гёльдеру с показателем α ∈ (0, 1), если существует числоK ∈ R+ , такое, что|f (x) − f (y)| 6 K|x − y|αдля всех x, y ∈ E.Число K называется постоянной Гёльдера функции f . Множество таких функций обозначается через C α (E) (или C 0,α (E)). Если это неравенство выполняется для α = 1, тофункция f : E → R называется непрерывной по Липшицу, а число K — постоянной Липшица функции f . Множество таких функций обозначается через Lip(E) (или C 0,1 (E)).38Упражнение 6.2.27. Проверить, что если E — ограниченное множество, тоLip(E) ⊂ C α (E) ⊂ C(E),•где C(E) — множество непрерывных на E функций.Лемма 6.2.28. Если f ∈ Rim[a, b], то функция F (x) =∫xaf (t) dt принадлежит Lip[a, b].I Для произвольных x1 , x2 ∈ [a, b], таких, что x1 < x2 , мы получим∫ x2∫ x1∫ x2F (x2 ) − F (x1 ) =f (t) dt −f (t) dt =f (t) dt.aax1Так как f ∈ Rim[a, b], эта функция ограничена и существует такое K ∈ R+ , что |f (t)| 6 Kдля всех t ∈ [a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
