1611676884-55ce67763bb0ee5cd12890a10c9e59c1 (826616), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

24.03.2016.Из доказанной формулы мы можем вывести формулу Тейлора с остаточными членамив форме Лагранжа и в форме Коши. Начнем с остаточного члена в форме Коши. Согласнопервой теореме о среднем между точками x0 и x найдется такая точка ξ, что∫ x1 (n+1)1 (n+1)nrn (f, x, x0 ) =f(ξ) (x − ξ)dt =f(ξ) (x − ξ)n (x − x0 ).n!n!x0Для вывода остаточного члена в форме Лагранжа, заметим, что функция t 7→ (x − t)mявляется знакоопределенной на [x0 , x] (на [x, x0 ], если x < x0 ).

Поэтому, как следует опятьже из первой теоремы о среднем, между точками x0 и x найдется такая точка ξ, что∫ x1 (n+1)rn (f, x, x0 ) =f(ξ)(x − t)n dtn!x0t=x11(n+1)n+1 f(ξ) (x − t) f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 .=−=(n + 1)!(n + 1)!t=x0Последней формулой, которую мы хотим доказать в этом пункте, является формулазамены переменной в определенном интеграле. Сначала мы рассмотрим простой вариантэтой формулы, связанный с интегрированием непрерывной функции.Теорема 6.2.40 (Формула замены переменной для непрерывных функций).

Если φ —непрерывно дифференцируемое отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b] такое, чтоφ(α) = a и φ(β) = b, то для любой функции f ∈ C[a, b] справедливо равенство:∫ b∫ β()f (x) dx =f φ(t) φ ′ (t) dt.aα()Доказательство. Если F (x) — первообразная функции f (x) на [a, b], то F φ(t) — первообразная функции f (φ(t)) φ ′ (t) на [α, β]. Используя формулу Ньютона — Лейбница, мыполучим:∫ b∫ β()()()f (x) dx = F (b) − F (a) = F φ(β) − F φ(α) =f φ(t) φ ′ (t) dt,aαчто и требовалось доказать.Заметим, что в доказательстве теоремы мы использовали только формулу Ньютона— Лейбница. Поэтому утверждение теоремы справедливо при тех же ограничениях нафункцию f , что и теорема 6.2.36, в которой, в свою очередь, ограничения на функциюf взяты из следствия 6.2.35. Таким образом, в только что доказанной теореме 6.2.40 мымогли бы лишь потребовать, что f ∈ Rim[a, b] и f имеет конечное число точек разрыва.То есть, помимо интегрируемости по Риману функция f должна быть непрерывной всюдуза исключением конечного множества точек.Теперь не будем накладывать на f никаких условий непрерывности, а потребуем лишьеё интегрируемость по Риману.45Теорема 6.2.41 (Формула замены переменной для интегрируемых функций).

Если φ —непрерывно дифференцируемое строго монотонное отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b] такое, что φ(α) = a и φ(β) = b, то для любой функции f ∈ Rim[a, b] справедливоравенство:∫ β∫ b()f (x) dx =f φ(t) φ ′ (t) dt.aαДоказательство. Без ограничения общности будем считать, что φ — возрастающая функция. В случае убывающей φ надо будет внести в доказательство соответствующие изменения.Пусть (Q, τ ) — произвольное разбиение отрезка [α, β] с выделенными точками.

Приэтом Q = {t0 , t1 , . . . , tn }, α = t0 < t1 < . . . < tn = β и τk ∈ [tk−1 , tk ], k = 1, 2, . . . , n.Отображение φ : [α, β] → [a, b] является возрастающим, поэтому точки xk = φ(tk ), k =1, 2, . . . , n, удовлетворяют условию a = x0 < x1 < . . . < xn = b. То есть P = {x0 , x1 , . . . , xn }является разбиением отрезка [a, b]. Точки ξk = φ(τk ) ∈ [xk−1 , xk ], k = 1, 2, . . .

, n, являютсявыделенными точками этого разбиения. Функция φ является равномерно непрерывной на[α, β], поэтому если λ(Q) → 0, то λ(P ) → 0.Поскольку f ∈ Rim[a, b] существует предел∫ bn∑f (ξk ) (xk − xk−1 ) =f (x) dx.limλ(P )→0ak=1Сумму, стоящую в левой части этого равенства, можно, используя формулу конечныхприращений, преобразовать следующим образом:n∑f (ξk ) (xk − xk−1 ) =n∑f (φ(τk )) (φ(tk ) − φ(tk−1 )) ==n∑f (φ(τk )) φ ′ (ηk ) (tk − tk−1 )k=1k=1k=1n∑f (φ(τk )) φ ′ (τk ) (tk − tk−1 ) +n∑()f (φ(τk )) φ ′ (ηk ) − φ ′ (τk ) (tk − tk−1 ),k=1k=1где ηk — некоторая точка из [tk−1 , tk ].Рассмотрим вторую сумму в правой части.

Так как f ∈ Rim[a, b], существует постоянная K ∈ R+ такая, что |f (x)| 6 K для всех x (∈ [a, b]. Следовательно|f (φ(t))| 6 K для)всех t ∈ [α, β]. Кроме того, |φ ′ (ηk ) − φ ′ (τk )| 6 ω φ ′ , [tk−1 , tk ] и, поскольку φ ′ ∈ Rim[α, β],nn∑∑( ′)()′f (φ(τk )) φ (ηk ) − φ (τk ) (tk − tk−1 ) 6 Kω φ ′ , [tk−1 , tk ] (tk − tk−1 ) → 0k=1k=1при λ(Q) → 0. Это следует из теоремы 6.2.9. Таким образом, существует предел∫ bnn∑∑′limf (φ(τk )) φ (τk ) (tk − tk−1 ) = limf (ξk ) (xk − xk−1 ) =f (x) dx.λ(Q)→0λ(P )→0k=1k=1aНо в силу произвольности разбиения (Q, τ ) существование предела в левой части последнего равенства означает интегрируемость функции f (φ(t)) φ ′ (t), а сам предел равенинтегралу от этой функции по отрезку [α, β].

Таким образом,∫ β∫ b′f (φ(t)) φ (t) dt =f (x) dx.αa46На первый взгляд может показаться, что только что доказанная теорема 6.2.41 является более общей, чем теорема 6.2.40. Это не совсем так. В теореме 6.2.41 мы, в отличие оттеоремы 6.2.40, требуем биективность отображения φ, что является довольно существенным ограничением.В заключение параграфа приведем пример вычисления определенного интеграла с помощью формулы замены переменной.Пример 6.2.42.

Представим себе колесо, которое катится по горизонтальной поверхности. Отмеченная на ободе колеса точка описывает кривую, называемую циклоидой. Задачасостоит в определении площади множества, ограниченного горизонтальной прямой и циклоидой между двумя ближайшими точками, в которых отмеченная точка касается этойпрямой. Будем считать, что радиус колеса равен 1.Если мы введем систему координат, в которой ось x направлена вдоль горизонтальнойпрямой, а ось y — вертикально вверх, то положение отмеченной точки в момент времениt определяется следующим образом:x∗ (t) = t − sin t,y∗ (t) = 1 − cos t.Мы считаем, что в момент t = 0 отмеченная точка находилась на оси x. Без ограниченияобщности мы положили, что x∗ (0) = 0.

Поскольку радиус колеса равен 1, в следующийраз точка окажется на оси x в момент t = 2π. Заметим, что в этот момент x∗ (2π) = 2π.Пусть уравнение циклоиды задано функцией f : [0, 2π] → R. Тогда искомая площадьS вычисляется следующим образом:∫ 2πS=f (x) dx.0Можно было бы найти функцию f в явном виде, а потом вычислить от неё интеграл, однако мы поступим по-другому, а именно, мы заметим, что f (x∗ (t)) = y∗ (t). Тогда величинуS можно определить с помощью формулы замены переменной x = φ(t), где φ(t) = x∗ (t).Получаем:∫ 2π∫ 2π∫ 2π∫ 2π′′S=f (x) dx =f (x∗ (t)) x∗ (t) dt =y∗ (t) x∗ (t) dt =(1 − cos t)2 dt = 3π.0000Как видим, мы решили поставленную задачу и при этом обошлись без громоздких вычислений функции f .•6.36.3.1Несобственные интегралыПонятие несобственного интегралаОбобщим понятие интеграла Римана, определив его на бесконечном промежутке и отнеограниченных функций.

Такие обобщения носят название несобственных интегралов.Определение 6.3.1. Пусть f : [a, +∞) → R, f ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ [a, +∞) и су∫bществует предел limb→+∞ a f (x) dx. Этот предел называется несобственным интегралом∫ +∞от функции f по промежутку [a, +∞) и обозначается a f (x) dx.•47∫a∫ +∞Аналогично определяется несобственный интеграл −∞ f (x) dx, а −∞ f (x) dx опреде∫a∫ +∞лим как сумму −∞ f (x) dx + a f (x) dx, где a — произвольное вещественное число.∫ +∞Упражнение 6.3.2. Покажите, что данное определение интеграла −∞ f (x) dx коррект∫a∫ +∞но, т.е., результат вычисления суммы −∞ f (x) dx+ a f (x) dx не зависит от выбора числаa.Указание: для этого сначала докажите, что∫ +∞∫ b∫ +∞f (x) dx =f (x) dx +f (x) dxaab•для любого b > a.−αПример 6.3.3.

Рассмотрим функцию∫ +∞ f (x) = x , α > 0, на промежутке [1, ∞). Еслиα > 1, то несобственный интеграл 1 f (x) dx существует:∫ +∞11dx =при α > 1.αxα−11Если же α ∈ [0, 1], то∫b1dx → +∞ при b → +∞,α1 x∫ +∞то есть, в этом случае несобственный интеграл 1 f (x) dx не существует.•Определение 6.3.4. Пусть f : [a, b) → R, f (x)∫ c→ ∞ при x → b − 0, f ∈ Rim[a, c] длякаждого c ∈ [a, b) и существует предел limc→b−0 a f (x) dx. Этот предел называется несоб∫bственным интегралом от функции f по промежутку [a, b) и обозначается a f (x) dx.•Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f (x) → ∞ приx → a + 0. Если же x0 ∈ (a, b) и f (x) → ∞ при x → x0 − 0 или при x → x0 + 0, то∫b∫x∫bопределим несобственный интеграл a f (x) dx как сумму a 0 f (x) dx + x0 f (x) dx.

Заметим, что каждый интеграл в этой сумме должен существовать.∫b∫cУпражнение 6.3.5. Докажите, что если f ∈ Rim[a, b], то a f (x) dx = limc→b−0 a f (x) dx.То есть, несобственный интеграл по конечному промежутку является обобщением интеграла Римана.•−αПример 6.3.6. Рассмотрим функцию∫ 1 f (x) = x , α > 0, на промежутке (0, 1]. Еслиα ∈ [0, 1), то несобственный интеграл 0 f (x) dx существует:∫ 111dx =при α ∈ [0, 1).α1−α0 xЕсли же α > 1, то∫11dx → +∞ при c → 0+,αc x∫1то есть, в этом случае несобственный интеграл 0 f (x) dx не существует.48•Лекция №14.

28.03.2016.Оба типа несобственных интегралов определяются через предел, поэтому если несобственный интеграл существует, то говорят, что он сходится, а если не существует, то —расходится.Далее, оба типа несобственных интегралов можно рассматривать по одной схеме. Пустьf : [a, η) → R и реализуется одна из следующих ситуаций:1. η = +∞,2. η ∈ (a, +∞) и f (x) → ±∞ при x → η − 0.∫ηТогда мы будем говорить о несобственном интеграле a f (x) dx.Для несобственных интегралов справедливы многие утверждения, доказанные намидля интеграла Римана. Их необходимо лишь соответствующим образом переформулировать.Теорема 6.3.7 (Линейность несобственного интеграла).∫ Пусть f, g∫ : [a, η) → R, f, g ∈ηηRim[a, b] для любого b ∈ (a, η)f (x) dx, a g(x) dx сходятся.a) интегралы∫ ηи(несобственные∫ηТогда сходятся интегралы a f (x) + g(x) dx и a µ f (x) dx, где µ ∈ R, и∫ηa(∫ η∫ η)f (x) + g(x) dx =f (x) dx +g(x) dx,aa∫ η∫ ηµ f (x) dx = µf (x) dx.aaДоказательство.

Докажем, например, второе равенство. В силу линейности интеграла Римана∫∫bbµ f (x) dx = µaf (x) dxaдля любого b ∈ (a, η). Согласно условию теоремы существует предел правой части этогоравенства при b → η. Следовательно существует и предел левой части (это означает,что несобственный интеграл сходится), и справедливо второе равенство в утверждениитеоремы.Теорема 6.3.8 (Интегрирование по частям в несобственном интеграле). Пусть функции f и g определены и непрерывно дифференцируемы на [a, η). Если существуют любыедва из следующих пределов∫limb→η−0b′f (x) g(x) dx,a∫blimb→η−0f (x) g ′ (x) dx,aто существует и третий и справедливо равенство:∫ η∫η′f (x) g(x) dx = f (x) g(x) a −aaгде f (x) g(x)|ηa = limx→η−0 f (x) g(x) − f (a) g(a).49ηlim f (x) g(x),x→η−0f (x) g ′ (x) dx,Теорема 6.3.9 (Замена переменной в несобственном интеграле). ∫Пусть f : [a, η) →ηR, f ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и несобственный интеграл a f (x) dx сходится.Если φ : [α, β) → [a, η) — непрерывно дифференцируемое возрастающее отображение,причем( φ(α)) ′= a и φ(γ) → η при γ → β, то несобственный интеграл от функцииt 7→ f φ(t) φ (t) сходится и∫∫ηβf (x) dx =a()f φ(t) φ ′ (t) dt.αВ этой теореме как β, так и η, могут быть конечными или бесконечными.

Характеристики

Список файлов лекций