1611676884-55ce67763bb0ee5cd12890a10c9e59c1 (826616), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Кроме того,теорему несложно переформулировать для случая, когда φ — убывающее отображение.Доказательства теорем 6.3.8 и 6.3.9 оставим читателю в качестве упражнения. Этитеоремы элементарно следуют из соответствующих утверждений для определенного интеграла Римана.Существует ещё одно обобщение интеграла Римана, тесно связанное с понятием несобственного интеграла. Пусть η ∈ (a, b). Говорят, что функция f : [a, b] → R интегрируемав смысле главного значения, если существует предел∫ b)( ∫ η−δf (x) dx +f (x) dx .limδ→0+aη+δ∫bЭтот предел обозначают p.v. a f (x) dx (аббревиатура “p.v.” происходит от английскоговыражения “principal value”). Интеграл в смысле главного значения по ограниченномупромежутку обычно возникает в случае, когда f (x) → ±∞ при x → η ± 0. Следует обратить внимание на то, что от точки η вправо и влево∫ ηотступаются∫ b промежутки одинаковойдлины.

По-отдельности несобственные интегралы a f (x) dx и η f (x) dx могут и не существовать.от функцииx 7→ 1/xПример 6.3.10. Вычислим интеграл в смысле главного значения∫0∫1по интервалу (−1, 2). Заметим, что несобственные интегралы −1 1/x dx и 0 1/x dx расходятся (см. пример 6.3.6). Итак,∫ 2∫ 2( ∫ −δ 1()11 )p.v.dx = limdx +dx = lim ln δ − ln 1 + ln 2 − ln δ = ln 2.•δ→0+δ→0+−1 x−1 xδ xАналогично определяется интеграл в смысле главного значения по бесконечному промежутку (−∞, +∞):∫ +∞∫ ap.v.f (x) dx = limf (x) dx.a→+∞−∞−aПример 6.3.11. Рассмотрим функцию f : R → R такую, что f (x) = 1/x при |x| > 1 иf (x) = x при |x| 6 1.

Тогда∫ ∞∫ ap.v.f (x) dx = limf (x) dxa→+∞ −a−∞∫ 1∫ a( ∫ −1 1()1 )= limdx +x dx +dx = lim − ln a + 0 + ln a = 0.a→+∞a→+∞−a x−11 x∫ −1∫∞Заметим, что несобственные интегралы −∞ 1/x dx и 1 1/x dx расходятся.•506.3.2Признаки сходимости несобственного интегралаМы докажем в этом пункте лишь несколько самых популярных признаков сходимостинесобственных интегралов. Начнем мы с признака, который часто используется в доказательствах утверждений и аналоги которого мы не раз встречали ранее.Теорема 6.3.12 (Критерий Коши).∫ η Пусть f ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η). Для того,чтобы несобственный интеграл a f (x) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы∫bдля любого ε > 0 существовало такое число b ∈ (a, η), что b12 f (x) dx < ε для всехb1 , b2 ∈ (b, η).Доказательство. Введем обозначение∫xF (x) =f (t) dt.a∫ηИнтеграл a f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда существует предел limx→η F (x).

Аэто, в свою очередь, в силу критерия Коши существования предела функции равносильнотому, что для любого ε > 0 существует такое число b ∈ (a, η), что F (b2 ) − F (b1 ) < ε длявсех b1 , b2 ∈ (b, η). Утверждение теоремы следует теперь из того, что∫ b2F (b2 ) − F (b1 ) =f (x) dx.∫ηb1Говорят,∫ η что несобственный интеграл a f (x) dx сходится абсолютно, если сходитсяинтеграл a |f (x)| dx. Говорят, что несобственный интеграл сходится условно, если онсходится, но не сходится абсолютно. Поскольку для любых b1 , b2 ∈ (a, η) справедливонеравенство ∫ b2 ∫ b2 f (x) dx 6 |f (x)| dx,b1b1критерий Коши позволяет заключить, что из абсолютной следует условная сходимостьнесобственного интеграла.

Мы поставили модуль интеграла в правой части последнегонеравенства, так как b2 может быть меньше b1 .Теорема 6.3.13 (Признак сравнения). Пусть f, g : [a, η) → R и 0 6 f 6 g на [a, η). Тогда∫η1. если несобственныйинтегралg(x) dx сходится, то сходится несобственный инa∫ηтеграл a f (x) dx;∫η2. если несобственныйинтеграл a f (x) dx расходится, то расходится несобственный∫ηинтеграл a g(x) dx.Доказательство. Для каждого b ∈ (a, η) справедливо неравенство∫ b∫ b06f (x) dx 6g(x) dx.aa∫b∫bПри возрастании b оба интеграла a f (x) dx и a g(x) dx возрастают.

Поэтому они стремятся при b → η к некоторым Af и Ag соответственно, которые либо конечны, либообращаются в +∞. Поскольку Af 6 Ag , из конечности Ag следует конечность Af (в этомслучае оба интеграла сходятся), а из бесконечности Af следует бесконечность Ag (в этомслучае оба интеграла расходятся).51Пример 6.3.14. Рассмотрим на промежутке [1, +∞) функцииf (x) =sin xx2и g(x) =1.x2|f (x)| 6 g(x) для всех x ∈ [1,∫ +∞), а из примера 6.3.3 следует, что интеграл∫Поскольку+∞+∞g(x) dx сходится, мы получаем, что 1 f (x) dx сходится абсолютно.•1Лекция №15. 31.03.2016.В качестве следствия признака сравнения мы можем доказать ещё один признак сходимости числовых рядов. Этот признак применяется довольно часто, поскольку считатьинтеграл всё-таки проще, чем суммировать ряд.Теорема 6.3.15 (Интегральный признак сходимости числовых рядов). Если функцияf : [1, +∞)ин∫ +∞→ R является неотрицательной и невозрастающей, то несобственный∑∞теграл 1 f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд k=1 f (k).Доказательство.

В силу следствия 6.2.25 для любого k ∈ N справедливо неравенство:∫ k+1f (k + 1) 6f (x) dx 6 f (k),kсуммируя которое по k от 1 до n, мы получим:n+1∑k=1f (k) − f (1) =n∑∫n+1f (k + 1) 6f (x) dx 61k=1n∑f (k).k=1∫ +∞Поскольку f — неотрицательная функция, из сходимости интеграла∑1 f (x) dx и левогонеравенства следует, что последовательность частичных сумм ряда ∞k=1 f (k) не убываети ограниченасверху.

Поэтому этот ряд сходится. Если же мы предположим, что сходится∑∞рядf(k),то, как следует из правого неравенства, неубывающая функция F (x) =k=1∫xf (t) dt будет ограничена сверху. Поэтому она имеет предел при x → +∞, что означает1∫ +∞сходимость интеграла 1 f (x) dx.Пример 6.3.16.

В примере 6.3.3 мы исследовали сходимость интеграла∫ +∞1dx.xα1Используя доказанную теорему, мы получим, что ряд∞∑1kαk=1сходится при α > 1 и расходится при α ∈ [0, 1]. Напомним, что этот ряд называетсяобобщенным гармоническим, и он уже изучался нами ранее.•В заключение параграфа мы докажем признаки Абеля и Дирихле.

Аналогичные признаки мы ранее установили для числовых рядов.52Теорема 6.3.17 (Признак Абеля). Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и функцияg : [a, η) → R монотонна. Если∫η1. несобственный интеграл a f (x) dx сходится,2. функция g ограничена на [a, η),то сходится несобственный интеграл∫ηf (x) g(x) dx.aДоказательство. Для доказательства мы воспользуемся критерием Коши. Как следует извторой теоремы о среднем, для любых b2 > b1 > a существует такая точка ξ ∈ [b1 , b2 ], что∫ b2∫ ξ∫ b2f (x) g(x) dx = g(b1 )f (x) dx + g(b2 )f (x) dx.b1b1ξПоскольку функция g ограничена, существуетK ∈ R+ , такое, что |g(x)| 6 K для всех∫ηx ∈ [a, η). Кроме того, так как интеграл a f (x) dx сходится, для любого ε > 0 найдетсятакое b ∈ (a, η), что ∫ b2∫ ξεεf (x) dx <и f (x) dx <2K2Kξb1для любых чисел b1 , ξ и b2 , удовлетворяющих неравенству b < b1 6 ξ 6 b2 < η.

Поэтому ∫ b2∫ ξ ∫ b2f (x) g(x) dx 6 K f (x) dx + K f (x) dx < ε.b1b1Из критерия Коши следует, что интегралξ∫ηaf (x) g(x) dx сходится.Теорема 6.3.18 (Признак Дирихле). Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, η) и функция g : [a, η) → R монотонна. Если∫b1. существует K ∈ R+ , такое, что a f (x) dx 6 K для всех b ∈ [a, η),2. g(x) → 0 при x → η − 0,то сходится несобственный интеграл∫ηaf (x) g(x) dx.Доказательство. Доказательство этого признака мы проведем по той же схеме, что и доказательство признака Абеля. Как следует из второй теоремы о среднем, для любыхb2 > b1 > a существует такая точка ξ ∈ [b1 , b2 ], что∫ b2∫ ξ∫ b2f (x) g(x) dx = g(b1 )f (x) dx + g(b2 )f (x) dx.b1b1ξИз первого условия теоремы следует, что для любых чисел b1 , ξ и b2 , удовлетворяющихнеравенству b < b1 6 ξ 6 b2 < η∫ b1 ∫ b1 ∫ ξ ∫ ξ∫ ξ f(x)dx+f(x)dx6f(x)dx−f(x)dx=f(x)dx 6 2K, aaaab1∫ ξ ∫ ξ ∫ b2 ∫ b2 ∫ b2 f (x) dx 6 2K,f (x) dx + f (x) dx −f (x) dx 6 f (x) dx = ξaaa53aИз второго же условия следует, что для любого ε > 0 существует b ∈ (a, η), такое, что|g(x)| < ε/(4K) для всех x ∈ (b, η).

Поэтому, для произвольных b1 и b2 из промежутка(b, η) справедливо неравенство:∫b2∫ ξ∫f (x) g(x) dx 6 |g(b1 )| f (x) dx + |g(b2 )| b1f (x) dx < ε.ξb1Из критерия Коши следует, что интегралb2∫ηaf (x) g(x) dx сходится.Пример 6.3.19. Исследуем на сходимость следующий несобственный интеграл:∫ +∞sin xdx.x0Заметим, что в точке x = 0 подынтегральная функция не имеет особенности в силу первогозамечательного предела. Таким образом, в нашем случае η = +∞. Возьмем f (x) = sin x иg(x) = 1/x. Поскольку g(x) → 0 при x → ∞ и∫ b ∫ b f (x) dx = sin x dx = |1 − cos b| 6 2 для любого b > 0,00из признака Дирихле следует, что исследуемый интеграл сходится.54•.

Характеристики

Список файлов лекций