1611676884-55ce67763bb0ee5cd12890a10c9e59c1 (826616), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , xn } и {y1 , . . . , yn }.Доказательство. Если p = 1, то неравенство Минковского сразу следует из неравенстватреугольника. Пусть p > 1. Тогда, используя неравенство Гёльдера, мы получим:n∑|xk + yk | =pk=16n(∑k=1n∑|xk + yk | |xk + yk |p−1k=1|xk |pn)1/p ( ∑6n∑k=1|xk + yk |pk=1=)(p−1)/pn(( ∑+|xk | |xk + yk |p−1n(∑|xk |+|yk |p|xk + yk |p)(p−1)/pk=1n(∑k=1k=1|yk | |xk + yk |p−1k=1n)1/p ( ∑k=1)p 1/p+n∑)p 1/p|yk |n)(∑|xk + yk |p.k=1Отсюда, заметив, что 1 − (p − 1)/p = 1/p, мы получим требуемое неравенство.16)(p−1)/pГлава 6Интегрирование6.16.1.1Неопределённый интегралПервообразнаяДифференцируемая функция F : (a, b) → R называется первообразной функции f :(a, b) → R, если F ′ (x) = f (x) при x ∈ (a, b).

Здесь и далее (a, b) — произвольный интервалвещественной прямой R который может быть неограниченным или даже совпадать с R.Очевидно, что первообразная определена неоднозначно. Если F — первообразная функции f , то F + C тоже является первообразной этой функции для любой константы C.Теорема 6.1.1. Если F1 (x) и F2 (x) — первообразные функции f (x) на интервале (a, b),то существует постоянная C, такая, что F1 (x) = F2 (x) + C для всех x.Доказательство.

Поскольку F1′ = f и F2′ = f на (a, b), на этом интервале (F1 − F2 )′ = 0.Следовательно существует такая постоянная C, что F1 − F2 = C на (a, b).Нахождение первообразной некоторой функции f является операцией, обратной дифференцированию. Эта операция называется неопределённым интегрированием, ∫а её результат — непределённым интегралом от функции f , который обозначается через f (x) dx.При этом f называетсяподынтегральной функцией. Таким образом, если F ′ (x) = f (x) для∫всех x ∈ (a, b), то f (x) dx = F (x) + C при x ∈ (a, b), где C — произвольная постоянная.Иногда мы будем говорить, что у функции существует неопределенный интеграл, подразумевая, что у неё существует первообразная.Замечание 6.1.2.

Фактически мы используем термины «неопределенный интеграл» и«первообразная», как синонимы. Так оно на самом деле и есть. Во многих учебникахнеопределённый интеграл от функции определяется, как совокупность (т.е., множество)её первообразных, отличающихся на аддитивную постоянную. Такой подход не несет в себебольшого смысла и служит лишь некоторым оправданием введения понятия неопределенного интеграла. Мы не будем этого делать.

Примем лишь одно соглашение, призванноеупростить (или сделать слегка короче) встречающиеся формулы. Соглашение связано спроизвольной постоянной C. Поскольку и так понятно, что она должна быть прибавленак первообразной, мы будем в дальнейшем писать её только в последнем выражении. Еслиже в некотором выражении встречается неопределенныйинтеграл, то постоянную в нем∫писать не будем. Таким образом, выражение f (x) dx уже включает в себя произвольнуюпостоянную.•17Мы не зря постоянно отмечаем, что функция f определена на интервале. Если бы fбыла определена на объединении непересекающихся интервалов (a1 , b1 ) и (a2 , b2 ), то еёпервообразные F и G отличались бы на константу на каждом из этих интервалов, но,вообще говоря, не существовало бы константы C, такой, что F (x) − G(x) = C для всехx ∈ (a1 , b1 ) ∪ (a2 , b2 ).

По этой причине мы будем всегда предполагать, что функция f , укоторой мы ищем первообразную или неопределенный интеграл, определена на интервале.Пример 6.1.3. Пусть f (x) = cos x при x ∈ (a, b). Тогда∫cos x dx = sin x + C при x ∈ (a, b).•Мы всегда будем обозначать произвольную постоянную в неопределенном интегралечерез C. Заметим, что эта постоянная будет появляться только в выражении для первообразной, то есть после вычисления неопределенного интеграла.

В самом неопределенноминтеграле мы эту постоянную писать не будем.Дифференцируемость первообразной является довольно ограничительным условием.Рассмотрим пример.Пример 6.1.4. Пусть f (x) = sgn x на интервале (−1, 1), т.е.,−1, x ∈ (−1, 0),f (x) = 0,x = 0,1,x ∈ (0, 1).Первообразными данной функции на интервалах (−1, 0) и (0, 1) являются функции −x+C1и x + C2 соответственно.

«Склеивая» эти функции по непрерывности в точке x = 0,мы получим функцию F (x) = |x| + C. Мы произвели склейку, поскольку первообразнаядолжна быть дифференцируемой, а значит, непрерывной функцией на (−1, 1). Нетрудновидеть, что F ′ (x) = f (x) во всех точках интервала (−1, 1) за исключением точки x = 0.В этой точке функция F не дифференцируема. Таким образом, функция sgn x не имеетпервообразной на интервале (−1, 1).•Этот пример показывает, что имеет смысл расширить понятие первообразной (то есть,неопределённого интеграла).Определение 6.1.5. Непрерывная функция F : (a, b) → R называется первообразнойфункции f : (a, b) → R, если существует конечное подмножество E интервала (a, b), такое,что на множестве (a, b) \ E функция F дифференцируема и F ′ (x) = f (x).•Заметим, что теорема 6.1.1 остается справедливой и с новым определением первообразной.

Согласно новому определению, неопределённым интегралом от функции sgn x наинтервале (−1, 1) является функция |x| + C, где C — произвольная постоянная.Пример 6.1.6. Найдем неопределенный интеграл от функции f (x) = 1/ cos2 x. Нетрудновидеть, что∫1dx = tg x + C.cos2 xСправа, однако, стоит функция, которая имеет разрывы (не является непрерывной) вточках x = π2 + πk, k ∈ Z. Поэтому выписанная формула справедлива на произвольноминтервале, который не включает ни одной точки разрыва, например, на (−π/2, π/2). •18Теорема 6.1.7 (Линейность неопределённого интеграла).

Пусть α, β ∈ R. Если на интервале (a, b) существуют неопределённые интегралы от функций f и g, то на этоминтервале существует неопределённый интеграл от функции αf + βg и∫∫∫()αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx для всех x ∈ (a, b).(См. замечание 6.1.2 о произвольной постоянной)Доказательство. Пусть F и G — первообразные функций f и g на интервале (a, b) соответственно, то есть∫∫f (x) dx = F (x) + Cf иg(x) dx = G(x) + Cg .Тогда (αF + βG)′ = αf + βg на (a, b) \ E, где E — конечное множество.

Поэтому∫()αf (x) + βg(x) dx = αF (x) + βG(x) + C для всех x ∈ (a, b),а это и есть доказываемое равенство. Заметим, что здесь мы воспользовались тем, чтоиз непрерывности F и G на (a, b) следует непрерывность αF + βG на этом интервале(первообразная должна быть непрерывной).Теорема 6.1.8 (Формула интегрирования по частям). Если функции f и g дифференцируемы на (a, b), то∫∫′f (x) g (x) dx = f (x) g(x) − f ′ (x) g(x) dx для всех x ∈ (a, b).(В последний раз напомним замечание 6.1.2 о произвольной постоянной)Доказательство. Поскольку (f g)′ = f ′ g + f g ′ на (a, b), из линейности неопределенногоинтеграла мы получаем:∫∫∫()′′f (x) g(x) dx = f (x) g(x) dx + f (x) g ′ (x) dxили∫′f (x) g(x) dx =∫()′f (x) g(x) dx −∫f (x) g ′ (x) dx.Так как f g является первообразной функции (f g)′ , мы получаем, что∫∫( ′)′()′f (x) g(x) dx = f (x) g(x) −f (x) g ′ (x) dx.Пример 6.1.9.

Найдем первообразную функции xex на R. Воспользуемся формулой интегрирования по частям.∫∫∫∫xx ′x′ xxxe dx = x(e ) dx = xe − (x) e dx = xe − ex dx = xex − ex + C.•19Пример 6.1.10. Найдем первообразную функции cos2 x на R. Опять воспользуемся формулой интегрирования по частям.∫∫2cos x dx =∫cos x (sin x) dx = cos x sin x − (cos x)′ sin x dx =∫∫2= cos x sin x + (1 − cos x) dx = cos x sin x + x − cos2 x dx.Отсюда следует, что′∫cos2 x dx =)1(cos x sin x + x + C.2•Теорема 6.1.11 (Первая теорема о замене переменной). Если дифференцируемая на интервале (a, b) функция F является на этом интервале первообразной функции()f : (a, b) →R, а φ : (c, d) → (a, b) — дифференцируемая функция,то() функция t 7→ F φ(t) являетсяна интервале (c, d) первообразной функции t 7→ f φ(t) φ ′ (t) и∫()()f φ(t) φ ′ (t) dt = F φ(t) + C для всех t ∈ (c, d).Доказательство.

Утверждение следует из формулы дифференцирования сложной функции:()()dF φ(t)dF (x) dφ(t)== f φ(t) φ ′ (t),dtdx x=φ(t) dtпоскольку при выполнении условий теоремы эта формула справедлива для всех t ∈ (c, d).Здесь может возникнуть вопрос о том, зачем мы потребовали дифференцируемостьфункции F на всём интервале (a, b). Это сделано для того, чтобы в фигурирующей в доказательстве формуле был определен член dF (x)/dx|x=φ(t) . Предположим, что F не дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b). Поскольку мы не требуем от функции φ обратимости,может так случиться, что целый интервал значений переменной t или какое-то другое«большое» множество попадет в точку x0 .

Тогда, вообще говоря, указанная формула небудет справедливой.Пример 6.1.12. Вычислим первообразную функции te−t( на )R. Подберем удовлетворяю2щие условиям леммы функции f и φ так, чтобы te−t = f φ(t) φ′ (t). Нетрудно проверить,что подходящими являются функции f (x) = e−x /2 и φ(t) = t2 . Поскольку∫ −xe−xedx = −+ C,222F (x) = −e−x /2 + C и из леммы следует, что∫e−tdt = −+ C.22−t2te•Как показывает этот пример, воспользоваться доказанной теоремой не очень просто.Необходимо обладать определенной долей сообразительности, чтобы угадать функции fи φ.

Вообще говоря, вычисление интеграла — не самая простая задача, которая к тому же20не всегда может быть решена с использованием только элементарных функций. Однакоприменение теоремы 6.1.11 можно значительно упростить, добавив в ней одно дополнительное условие, а именно, условие обратимости отображения φ. При этом условия самойтеоремы можно существенно ослабить, отказавшись от дифференцируемости функции Fна всём интервале (a, b).Теорема 6.1.13 (Вторая теорема о замене переменной). Пусть функция f : (a, b) → Rимеет на интервале (a, b) первообразную и φ : (c, d) → ((a, b))является биективным дифференцируемым отображением. Тогда функция t 7→ f φ(t) φ ′ (t) имеет первообразнуюна интервале (c, d) и∫∫() ′для всех x ∈ (a, b).f (x) dx = f φ(t) φ (t) dtt=φ−1 (x)Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций