matan (824867)
Текст из файла
1) (опр. первообразной. Сформулировать свойствапервообразной и неопределенного интеграла)Опр. Пусть f(x) и F(x)- заданы на пром.I F(x) назывпервообразной ф-ции f(x) если ∀ x ϵ I (F(x))’=f(x)Св-ва П 1)Если F(x)-первооб. f(x) то и F(x)+c явл.первооб. f(x) где С ϵ IR.2)Если ф-ции F(x) и G(x) –первообр одной и той же фции f(x) то F(x)-G(x)=C CϵIRСвойства НИ:1)Если F(x) первообр f(x), то и = + гдеС – произвольная константа2) ( )′ = ,3) = 4) 1() = + 5) = ∀ a ϵ IR, α ≠ 06) 1 + 2 = 1 + 2 4 (Св-ва опр. интеграла. Доказать теорему об оценкеопр. интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];А1 1 + А2 2 = А12)(Разложение правильной рациональной дроби напростейшие.
Интегрирование простейших дробей)-Любую правильн. рац.дробь вида . = ( −1 ) 1 ( − 2 ) 2 … ( − ) ∙ ( 2 + 1 + 1 )1 ( 2 +1 + 2 )2 … ( 2 + + ) можно представить в виде суммы простейших рац.дробей +… 1 + 1−− 0∆=1|∆||1 0 + ∆0 0 + ∆ + ∆ − (0 ) 000 + ∆| 0( − (0 ))| ≤|∆|01 + ∆| 0| − (0 )|||∆| 0E| −1 | =2x0-, x0+) выполняется:E|f(t)-f(x0)|< 2|f t − f(x0)| |= |∆x|при|∆x|<:21 E∆ 2x0+∆ 2x02E|∆x|= <EE>0 >02такое, что при |∆x|< 0+∆ −(0)∆log ∆→0 |− (0)|<E 0+∆ −(0)∆− (0)|=09.
(Сформулировать и доказать теорему обинтегрировании подстановкой для определенногоинтеграла.)Пусть f(x) непрерывна на *a;b+, пусть ф(t) непрерывнодиф-ма на *α, β+ , тогда если a = ф(α) и b=ф(β), тосправедливо равенствоβ = α ф ф′().Док-во: Пусть F(x) первообразн. ф-ии f(x) на [a;b]эта первообр сущ-ет, поскольку f9x0 непрер. на[a;b]. Тогда F(ф(t))’ = F (ф(t)) ф’(t) = f(ф(t)) ф’(t).Применим формулу Ньютона-Лейбница: = − . Но также иf ϕ tϕ′ ⅆt =βα= ф | ф β − ф α = − ()следовательно : − = = ф ф′().+ ⋯+( 2 + + )2) ( 2 + +) =−2( 2 + +)= 2 + +2( 2 + +)+ − 1 + , = 1 = − 1 − 1−() ≥ 0-Доказательство( ) ≥ 0 поскольку=1 > 0 и f( )≥ 0∀ [a,b+, Переходя к пределу λ(τ)->0 получимтребуемое () ≥ 05.
Теорема (об интегрир. нерав.)Пусть функции 1 () и 2 () интегрируемы на отрезке+ , = 2,3. .−11 +тогда 2 + + = 2 = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенство4.Теорема (о сохранении определенным интеграломзнака подынтегральной функции)Пусть f(x) интегрируема на *a, b+ и f(x) ≥0 и ∀x Є*a,b],+ , = 2,3 … . .−12 + −+22( 2 + + )А1 1 + А2 2 = А1А2 2 2.Аддитивность.
Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.[a, b], f1(x) ≤ f2(x) ∀x Є*a,b] . Тогда=( 2 + + )=2k 2 + 2 2 + 2 +1 2 + 2 2 + 2 2 + 2 =2 2= 2 + 2 2 − 4 )=+2==22 = − > 04( −4− 1 2 + 2 + 2k ( 2 + 2 +1= 2 + 2 2−+ 2 + 2 +1)dt =1+ 2k − 22 + 1=> +1 = 2 2 ∗+ 2 2 1( − ) ≤t5 (Св-ва опр.
интеграла. Доказать теорему об оценкемодуля опр. Интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];А1 1 + А2 2 = А11 + А27. Теорема (об оценке модуля определенногоинтеграла)Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке *a, b] .Тогда функция |f(x)| также интегрируема на этомотрезке, и() ≤() А1 1 + А2 2 = А11 + А22 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+.
Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем = ()( − )6 (Св-ва опр. интеграла. Доказать теорему о среднемдля опр. Интеграла)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];2 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+.
Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем() ≤ ( − )Однако 1 = 2 + 2 = arctg 4 + С , значит мы легкоможем найти , А в частности11t = 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2 2 3 arctg + С1 () ≤ (); 26.Теорема (об оценке) Пусть f(x) интегрир. на *a,b+ иm≤f(X)≤M ∀x Є*a,b]8. Терема( о среднем) Пусть функция f(x) непрерывнана отрезке *a, b+ . Тогда ∃ξ ∈ [a, b+ такая, что2 −1 = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.
= () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир.f(x) по усл. непрерывна в x0 >0 >0: t(x0+∆x0E(0 )∆| =|∆|1+1 1 + 1 ) 1 + +….+ +)2 − 1 − 1 + =− (0 )) = 0∆ 0 +∆ −( 0 )β 0 +∆ −( 0α + + ⋯+++ ⋯ + ( 21+1 2 + 1 + 1+ ( 2 +=lim∆→0 (b 21 −2Интегрирование простейших дробей1) − 1 − 1 + , = 17)(Определение интеграла с переменнымверхним пределом.Доказать теорему о производной от интегралапо его верхнему пределу.)Опр.: Пусть f(x) интегр.на *a,b+,тогда x[a,b]опр.интегралом F(x)=x∫af(t)dt,который назыв.интегралом с переменнымверхним пределом.Теорема: Пусть f(x) интегр.на *a,b+ и f(x)непрерывна в некой точке x0[a,b+,тогда F(x)=x∫af(t)dtдиф-ема в x0 и F’(x0)=f(x0)Док-во: Достаточно док-ть, чтоa +( −1 ) 1(− ) 12 +122 = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенствоТеорема: Пусть f(x) интегрируема на *а;b+ и m≤f(x)≤Mдля любых х принадлежащих *a;b+, тогда:m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a)Док-во: (Из теоремы об интегр.
неравенств) следует,что если m≤f(x)≤M для любых х принадлежащих*a;b+ тоb∫amdx≤b∫af(x)dx≤b∫aMdx -> m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a)| 1 1+ ⋯++⋯+ 2 + 2 2 + + = () + ();3.Ориентирован. промежутка интегрир. 1 −+ ⋯+ 2 + 1 + 12.Аддитивность.
Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем 12 −1 2+ −1(−2 ) 211 +111 + А2 11= 1 23) (свойства опр. интеграла. Доказать теорему осохранении определенным интегралом знакаподынтегральной функции)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b]; = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верно равенствоТеорема: Пусть f(x) интегрируема на *a;b+, тогда |f(x)|так же интегрируем на *a;b+ при этом| b∫a f(x)dx|≤ b∫a |f(x)|dxДок-во: Интегрируемость |f(x)| очевидна следует изтого, что если f(x) интегр.
на *a;b+ то и –f(x) интегр.на[a;b]Запишем очевидное нер-во |N∑i=1 f(c)∆xi|≤ N∑i=1|f(c)|∆xiПоскольку для любых а1….аn принадлежащих R|a1+…..+an|≤|a1|+….+|an|Переходя к пределу λ(r)->0 получим : | b∫a f(x)dx|≤ b∫a|f(x)|dx = - Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках *a, b+ тогда верноравенствоТеорема: Пусть f(x) непрерывна на *a;b+, тогда существуетс принадлежащие *a;b+ такое что b∫af(x)dx=f(c)(b-a)Док-во: Из свойства ф-ий непрерывных на отр. следует,что f(x) достигает на *a;b+ своего максимума М иминимума m. И принимает все значения на *m;M](m≤f(x)≤M) для любых х принадлежавших *a;b]->(Изтеоремы об интегр. неравенств)m(b-a)≤ b∫a f(x)dx≤M(b-a) --> m≤ b∫a f(x)dx*(1/(b-a))≤M -->существует с принадлежащие *a;b+ такое чтоb∫a f(x)dx*(1/(b-a))=f(c) --> b∫af(x)dx=f(c)(b-a)8.
(Сформулировать свойства определенногоинтеграла. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.)- Св-ва : 1 Линейность: Пусть 1 () и 2 ()интегрируемы на *a,b], 1 и 2 – произвольн.числа.Тогда 1 1 ()+ 2 2 () так же интегр. на *a,b];10.(Сформулировать и доказать теорему об интегрир.По частям для опр. интеграла.)Пусть u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на*a;b+, тогда справедливо равенствоА1 1 + А2 2 = А11 +А2 2 2.Аддитивность. Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, c+ и *c, b+. Тогда она интегрируема и наотрезке *a, b+, причем =() +();3.Ориентирован.
промежутка интегрир. = - Пусть функция f(x) интегрируема наотрезках *a, b+ тогда верно равенство.Теорема (формула Ньютона-Лейбница)Пусть f(x) непрерывна на отрезке *a,b+ и φ (x) — какаялибо первообразная функции f(x) на отрезке *a,b+. Тогдасправедлива формула Ньютона-Лейбница =φ − φ(a)Док-во: Интеграл с переменным верхним пределом = также будет первообразной функцииf(x) на отрезке *a,b+. Две первообразные отличаются наконстанту φ − = Подставим x=a, получим φ −=> φ(a)=C, имеем φ −Подставим x=b, получим φ −φ()=> = = φ() = φ − φ =bu(x) v’(x)dx =u(x) v(x)Iab aДок-во:bau’(x) v(x)dxbРассмотрим функцию f(x)=u(x) v(x)- a u’(t) v(t)dt.Найдем производную: (F(x))’= u’(x) v(x)+x+u(x)v’(x)-( a u’(t) v(t)dt)’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x)-u’(x)v(x)=u(x)v’(x) (по т. о произв.
Интеграла с перем. Верхнимxпределом) : ( a u’(t) v(t)dt)’= u’(x)v(x) => F(x)первообразная функции u(x)v’(x)Применим формулу Ньютона Лейбница :bau(x) v’(x)dx= F(x) Iab = u(x) v(x)Iab -bau’(x) v(x)dx11. (Сформулировать свойства определенногоинтеграла. Интегрирование периодических функций,интегрирование четных и нечетных функций наотрезке, симметричном относительно началакоординат.) Свойства в билетах:3,5,6,8!!Пусть f(x) — периодическая с периодом T функция.Тогда, если f(x) непрерывна на каком-либо отрезкедлины Т, то она непрерывна на всей числовой прямой и +интеграл не зависит от a.Док-во: Докажем первое утверждение от противного.Пусть x0 – точка разрыва f(x). Тогда в силу еёпериодичности x0+Tn — также точка разрыва f(x) ∀ ∈.
Следовательно, не существует отрезка длины Т, накотором f(x) непрерывна. Противоречие: f(x) не имеетточек разрыва. +Запишем очевидное равенство: =0 + + 0 + В последнем интеграле сделаем замену: x=t+T, A=0, +B=a, dx=dT и = 0 + = 0 , +т.к. f(t+T)=f(t)(T—период)=>0 +0 =00 =0 + +Т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
