matan (824867), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Метод Лагранжа вариации произвольныхпостоянных для нахождения решения линейногонеоднородного ДУ 2-го порядка…Пусть 1 = 1 и 2 = 2 – ФСР ДУ ′′ + 1 ′ +2 = 0. Тогда решение соотв. линейногонеоднородного ДУ ′′ + 1 ′ + 2 = (3)будем искать в виде = 1 1 + 2 2 , где 1 = 1 ′ + ′ = 0и 2 = 2 удов. системе: ′ 1′ 1 ′ 2′ 21 1 + 2 2 = = 1 1 + 2 2 ⇒ ′ = 1′ 1 + 2′ 2 + 1 1′ +2 2′ = 1 1′ + 2 2′ ′′ = 1′ 1′ + 2′ 2′ + 1 1′′ +2 2′′ = + 1 1′′ + 2 2′′ . Подставим этипредставления в ДУ (3), получим: ′′ + 1 ′ +2 = + 1 1′′ + 2 2′′ + 1 1 1′ + 2 2′ ++2 1 1 + 2 2 = + 1 1′′ + 1 1′ +2 1 + 2 2′′ + 1 2′ + +2 2 = +1 0 + 2 0 ⇒ = 1 1 + 2 2 – решение ДУ (3)35. ДУ n-го порядка, разрешенного относительностаршей производной. Задача Коши для такогоуравнения.
Сведение этого ДУ к нормальной системеДУ.ДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшейпроизводной, которое можно записать в виде () = (, , ′ , … −1 ) (1). Задача Коши для ДУ (1)36. Задача Коши для норм. сист. ду и т.Коши о Ǝ и !решения этой задачи.
Метод сведения НСДУ к дувысшего порядка. ( )=( , , ′ ,… −1 ) 0 =0 ′ 0 =0′⋯⋯( −1) −1 ( 0 )=0называется система:Сведение:Пусть () = (, , ′ , … −1 ). Положим 1 = , 2 = ′ , 3 = ′′ , … = (−1) . Имеем:1′ =22′ =33′ =4Нормальную⋯′ −1 =′ =(, ,… )систему из n ДУ.Норм сист ду (НСДУ) имеет вид y’i =fi (x,y1,...,yn) (1), где(i=1,...,n). Задача Коши ставится так: Имеется точка(x0,y0,...,yn) G. Требуется найти реш-е сист (1), удовлетвнач усл: yi(x0)=yi0, (i=1,...,n)Теорема.
Пусть в сист (1) все функции в правой частиопр, непрер и имеют непрер частные производные поперем-ым y1,…,yn в некоторой области G пр-ва перем-хх,y1,…,yn. Тогда для ∀точки (x0,y10,...,yn0)G ∃реш-е сист(1), удовл-ее нач усл yi(x0)=yi0, (i=1,...,n). ∀2 реш-я сист(1), удовлетв одним нач усл, совпадают всюду, гдеопределены.∀ ду n-го пор-ка, разрешенное отн-но старшейпроизводной, можно свести к норм сист, состоящей изn ду. При некоторых усл-ях верно обратное. ′ = 1 , 1 , 2Утв-е.Пусть в норм сист 1′из первого ду2 = 2 , 1 , 2можно выразить y2=g(x,y1,y ‘1) или из 2-го ду y1=g(x,y2,y‘2). Тогда эту сист ду можно свести к одному ду 2-го порка.Док-во. Пусть из 1-го ду y2=g(x,y1,y ‘1). Продефф-ем этор-во: , 1 , 1′ , 1 , 1′ ⅆ1 , 1 , 1′2′ =+⋅+1ⅆ ′ 1ⅆ ′ 1⋅ⅆ ′ ′′=+ + 1 1 1′ 1Мы знаем, что y2=f2(x,y1,y 2)=f(x,y1,g(x,y1,y ‘1)).Окончательно имеем ду 2-го порядка отн-но неизв.функции у : + 1′ + ′ 1′′ = , 1 , , 1 , 1′11Этот метод наз-ся методом исключения.37.
Первый интеграл норм системы. Методынахождения.Пусть дана нормальная система ду (НСДУ) y’i =fi(x,y1,...,yn) (1), где (i=1,...,n)(1), где fi определены нанекоторой области С1 пр-ва перем x,y1,...,yn- Функция(x, y1, . . . , y n),(:C1→ ℜ) называется первыминтегралом системы (1), если для ∀решения этой систy1=y1(x),...,yn=yn(x), определенного на некоторомпромежутке I, (x, y1(x), . .
. , yn(x))=C=const1. Метод инт. комб. Интегрируемой комбинациейсистемы (1) назыв ду, являющееся следствием этойсистемы и легко интегрирующееся. Пример: Данасистема: y’1 = y2 , y’2= y1 . Складывая уравнения системы,получаем: (y1 + y2) ‘ = y1 + y2 , т.е. y1 + y2 = C1e^x.
Вычитаяиз первого уравнения второе, находим еще однуинтегрируемую комбинацию: (y1 − y2) ‘= −(y1− y2) , т.е. y1− y2 = C2e^(−x) . Общее решение сист: y1=½(C1e^x +C2e^(−x)) , y2=½(C1e^x − C2e^(−x)).2. Использование симметрической формы. Пустьⅆимеется НСДУ (1). Если переписать ее в виде ⅆ = , 1 , … , и выразить dx, мы получимсимметрическую форму сист (1)ⅆ1ⅆⅆ ==⋯=1 , 1 , … , , 1 , … , Для нахождения первых==11=2=1 − 2 2 2 ⅆ В полярн. ⅆ По ‘S’ попереч. сеч. = = = = 2 = 22 = 3 ==21 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 2 ⅆ Под граф.
вокруг X = =ⅆ В декарт. ′ ⅆ В парам.12 − 22 ⅆ (аналог)2 ⅆ Слева от граф. вокруг Y12 − 22 ⅆ (аналог) ⅆ Под граф. вокруг Y 1 − 2 ⅆ (аналог) 3 sin ⅆ В полярн.1 + ′ ′ 2ⅆ В декарт.+ ′ 2ⅆ В парам.2 + ′ 2ⅆ В полярн.21212 1 + ′ 1 + ′ 22ⅆ В декарт. Хⅆ В декарт. Y ′ 2+ ′ 2 ′ 2+ ′ 2 sin 2+ ′ ⅆ В парам. Xⅆ В парам Y2ⅆ В полярн..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
