matan (824867), страница 2
Текст из файла (страница 2)
0 = − и = 0 Теорема (Об интегрировании чётных и нечётныхфункций по симметричному промежуткуПусть f(x) непрерывна на отрезке *-a,a+. Тогда:1)Если f(x) — четная, то − = 2 0 2)Если f(x) — нечетная, то− = 0Док-во: напишем очевидное рав-во:0 +−0замену: -x=t, A=a, B=0, dx=-dt, и0− − +0Т.к. − =000 − , и = − =0−−0 = =( − + ())− = 2)Если f(x) — нечетная, то f(-x)=-f(x) и− = 014. (Сформулировать определение несобственногоинтеграла 1-го рода.
Сформулировать и доказатьпризнак абсолютной сходимости для несобственныхинтегралов 1-го рода.)Опр. Несобственного интеграла 1-го родаПусть f(x) определена ∀ ≥ и интегрируема налюбом отрезке *a,b], ∈ [; +∞). Тогда на промежутке[; +∞) можно задать = . Еслисуществует конечный предел lim→+∞ =lim→+∞ (), то этот предел назыв.
несобственныминтегралом 1-го рода от функции f(x) на промежутке+∞[, +∞) и обозначается .Теорема (о сходимости абсолютно сходящегосянесобственного интеграла.+∞Если интеграл сходится абсолютно, то онсходится.Док-во: Запишем очевидное рав-во:0 ≤ + | | ≤ 2| } ∀ ∈ [; +∞)+∞По условию | |— сходится => (св.лин.)+∞ . Если сущ-ет конечн = lim () б то этот предел→+∞назыв несобств интегралом 1-го рода от функции f(x) на+∞пром [a;+ ∞) и обознач .Пусть f(x) и g(x) опр-ны на промеж *a;+ ∞+ и интегрирна любом отрезке *a;b] , b ∈ [a;+ ∞) . Пусть также0<=f(x)<= (x) ρⱯx ∈ [a;+ ∞). Тогда: 1) если сходится+∞+∞+∞ , то сход . 2)Если расходится , то расходится иДок-во: Пусть>+∞+∞+∞ ≤+∞+∞+∞ρ ≤ =ρ ≤ => сходится и .+∞+∞15.(Опр. несобств инт 2-го рода и признаки сходимоститаких интег)Опр. Пусть f(x) опр на *a;b) неогранич в левойокрестности точки b и интегрир на любом отрезке *a;n]Тогда limn→b назыв несобств интегр 2-го рода отф-ции f(x) по промеж *a;b) : .Признаки сходимости:1)Признак сравнения в предельной форме.
Пусть f(x) иg(x) опр-ны на *a;b), неогранич в левой окрестноститочки b и интегрир на любом отрезке *a;n] ⊂ [a;b). Пустьтакже f(x)>0 и g(x)>0 Ɐx∈ [a;b). Тогда если сущ предел= 0 < < +00 , то и: сходим и расходим одноврем2) …. Пусть также Ɐx∈ [a;b) 0 ≤ ≤ ,Тогда: а) еслии про расход. сход тоЕсли = задана в полярной системе координат, = ⋅ cos то, ∈ , = ⋅ sin Имеем: ⋅ cos ′ 2 + ⋅ ′ 2 = ′ ⋅ cos − ⋅ sin 2+ ′ ⋅ sin + ⋅ cos 2 =2( ′ ⋅ cos 2 + 2 ⋅ sin2 − 2 ′ ⋅ ⋅ sin ⋅ cos +2+ ′ ⋅ sin2 + 2 ⋅ cos 2 + 2 ′ ⋅ ⋅ sin ⋅ cos 2= ′ + 2 В итоге имеем =( ′2 . Если существует()тогда, если lim→ +∞ ( ) = , 0 < < +∞, то интеграл+∞() и одновременно() сходятся или расходятся()Пусть lim→+∞ () = > 0, тогда для =2 2> 0 ∃ => 0 такое что ∀ ≥ (2 ) выполнено неравенство− < =2 − + << +2 2 3<<2 230< < < ∀ ≥ ( )222+∞- если – сходится => (по аддитивности)+∞2( ) сходится => сходится и несобственныйинтеграл+∞2( )+∞ => (аддитивность) сходится и – сходится => (по аддитивности) сходится => сходится и несобственныйинтеграл+∞()- если+∞+∞ ( ) 22+∞ 3( ) 22 => (аддитивность) сходится и сход так же20.{Кривая задана в полярных координатахуравнением = > , где r и — полярныекоординаты точки, ≤ ≤ .Вывести формулудля вычисления длины дуги этой кривой}конечный предел lim→+∞ = lim→ +∞ () ,то этот предел называют несобственным интегралом 1рода от f(x) на промежутке *a;+∞) и обозначают+∞ Пусть f(x) и g(x) положительны и определены ∀ ≥ 2 иинтегрируемы на любом отрезке , , ∈ [, +∞),Если расходится, a ρ сход, топриходим к противоречию уже доказанного =>+∞+∞ расход => ρ расход.
можно задать F(b) =+∞ρ .ρ сход, тогда13.(Определение несобств. интеграла 1 рода.Предельный признак сравнения для несобств.интегралов 1 рода.)Пусть f(x) определена ∀ x ≥ a и интегрируема на любомотрезке *a,b] , b ∈ [a,+∞) , тогда на промежутке *a;+∞++ ( )216.(Фигура ограничена кривой y = f(x) ≥ 0, прямыми x =a, x = b и y = 0 (a<b). Вывести формулу для вычисленияс помощью определенного интеграла площади этойфигуры.)Разобьем отрезок *a;b] :a = 0 < 1 < ⋯ < = Запишем очевидное равенство: ≤ ≤ Где – площадь под графиком функции ,ограниченной = −1 ; = и = 0 . и – наим.
и наиб. (MIN и MAX) знач. Функции на отрезке −1 ; .Проинтегрируем на ⅈ от 1 до n, получим: ≤ ≤ =1 .=1Переходя к пределу → 0 Получим: ⅆ ≤ ≤ ⅆ ⇒ = ⅆ..2| |— сходится. Тогда по теореме о+∞признаке сравнения сходится и интеграл| |). Тогда+∞предел lim→+∞lim→ 1)Если f(x) — четная, то f(-x)=f(x) и2 =− − 0можно задать F(b) = , в первом интеграле сделаем12) (Опр. несобств интеграла 1-го рода. Сформулир идок-ть признак сходимости по неравенству длянесобств. Инт. 1-го рода.)Опр.
Пусть f(x) опр-на Ɐx >= a и интегрир на любомотрезке *a;b] , b ∈ [a;+ ∞) . Тогда на промеж*a;+ ∞)+∞ =+∞( +( + ) −| |— тоже сходится(как линейнаякомбинация сходящихся несобственных интегралов.17.(Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r =f(ϕ). Здесь r и ϕ – полярные координаты точки,0 ≤ α < β ≤ 2π. Вывести формулу для вычисления спомощью определенного интеграла площади этойфигуры.)Выполним разбиение отрезка , : = 0 < 1 < ⋯ < = Запишем очевидное равенство:1 21 < < 2 2 .2Где ⅈ - площадь криволинейного сектора,ограниченного отрезками лучей: = −1 и = и графиком = . и – наим.
и наиб. Значения функции наотрезке −1 ; .Проинтегрируем по i до n , получим:1 1 2 ≤ ≤ 2 =1 2 . Переходя к2 =1пределу при = max → 0, получим:1 21 1 ⅆ ≤ ≤ 2 ⅆ ⇒ = 2 ⅆ.22218. (Тело образовано вращением вокруг оси Охкриволинейной трапеции, ограниченной кривойy = f(x) ≥ 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывестиформулу для вычисления с помощью определенногоинтеграла объема тела вращения.)Пусть тело M находится между плоскостями x=a и x=b.Пусть ∀0 ∈ ; Известна 0 – площадь фигуры, полученнойсечением тела М плоскостью = 0 .Пусть также непрерывна на ; . Построимразбиение отрезка ; : = 0 < ⋯ < = .Запишем очевидное равенство: ≤ ≤ , где – объем тела М,заключенный между плоскостями = −1 и = .
и – наим. и наиб. значения функции на отрезке ⅈ−1 ; .=1 ≤ ≤=1 .Переходя к пределу → 0 Получим: = ⅆ.*Если тело М получено вращением графиканепрерывной функции y=f(x) вокруг оси Ох, то = 2 и V тела вращения будет равен: = 2 ⅆ.19.{Кривая задана в декартовых координатахуравнением y = f(x), где x и y — декартовыекоординаты точки, ≤ ≤ . Вывести формулу длявычисления длины дуги этой кривой}Пусть y=y(x) – непрерывно дифференцируемая криваяна *a;b+.
Построим разбиение τ отрезка *a;b] :a = x0 < x1 < ⋯ < xn = b . Построим ломанную свершинами в точках (xi ,yi)=( xi , y(xi))Тогда длина элемента этой прямой (по теоремеЛагранжа):∆ = ∆ᵢ² + ᵢ² =2 − −12+ − −1 − −12+ ′ − −1 − −12+ ′ 22=2==1 + ′ где ∈ − −1Проинтегрируем по i от 1 до n:∗ =1 + ′ 2⋅ , перейдя к=1пределу λ(τ) → 0Имеем = ∗ = →01 + ′ 22 ,21.{ЛДУ 1-го порядка. Интегрирование ЛДУ 1-гопорядка методом Бернулли (u*v) и методомЛагранжа (вариация произвольной постоянной)}-метод Бернулли:′ + ⋅ = ⋅ Подставим решение этого ДУ в виде = ⋅ Имеем:′ + ′ + ⋅ = ′ + ′ + = ′Найдём такое ≠ 0, что + = 0, для чегорешим его.
Подставим в наше ДУ, получим′ = –ДУ с разделяющимисяпеременными. Решив его, найдём ⇒ = . При = 0 получим метод Бернулли для решениялинейного ДУ 1-го порядка. При > 0 = 0 такжерешение ДУ.-метод Лагранжа:′ + ⋅ = Чтобы решить такое ДУ, можно воспользоватьсяметодом Лагранжа вариации производнойпостоянной. Этот метод заключается в том, что мыимеем решение ДУ в виде = ∗ ⋅ ⅇ− Т.е. в общем решении ДУ ′ + ⋅ = 0. Считаем = ∗ () ⋅ ⅇ− – неизвестной функцией.Подставим её в данное ДУ, мы найдём ∗ () ⇒ иобщее решение ДУ.′ = ∗ ⋅ ⅇ− ⇒ ′ = ∗ ⋅ ⅇ− − ∗ ⋅ ⅇ− ⋅ C ∗ x = f x ⅇp x ⅆx + CИ общее решение ДУ: , = ⅇ ⅆ +− ⅇ24. Определения лин-зав и лин-незав систем функций.Доказать теорему об определителе Вронского лин-завсистем функций.- Опр: С-ма функций y1(x)…yn(x), определённая наинтервале I, называется лин-зав на интервале I, если ∃числа A1, A2…An такие, что A12 + A22 +…+ An2 ≠ 0 и A1y1(x)+…+ Anyn(x) = 0 ∀х∈I.
В противном случае с-ма функцийназывается лин-незав.- Т-ма: Пусть y1(x)…yn(x) – лин-зав с-ма (n-1) раз дифмых на интервале I функций. Тогда W(x)≡0 ∀х∈I.- Док-во: С-ма y1(x)…yn(x) лин-зав-я => ∃ числа A1, A2…Anтакие, что A1y1(x) +…+ Anyn(x) = 0 ∀х∈I. Продиф-уем равво (n-1) раз:A1y1(x) +…+ Anyn(x) = 0A1y1’(x) +…+ Anyn’(x) = 0…A1y1(n-1)(x) +…+ Anyn(n-1)(x) = 0Обозначим Yi =yi(x)yi’(x)…yi(n-1)(x)Имеем A1Y1 + A2Y2 +…+ AnYn = 0 => Столбцы Y1…Yn лин0…0зав-мы => W(x)=0 ∀х∈I.27.О структуре общего решения лин.
однородного ДУ1-го порядка.Пусть y1 = y1(x0)... yn= yn(x0) образуют ФСР лин.однородного ДУ n-го порядкаy(n)+a1(x)n-1 + … + any(x)y = 0 (1), где a1(x) … an(x)непрерывные на промежутке I, тогда общее решениеэтого ДУ имеет видy(x1C1 … Cn) = C1 y1 + C2 y2 + … + Cn ynДок-во: проверим 2 условия из опр общего решения1)Пусть С10… Cn0 - фикс. значения C1 … Cn, тогда C10y1 + …Cn0yn - явл.решением ДУ(1) как линейная комбинациярешений2)Пусть даны начальные условия y(x0) = y0 , y,(x0) = y,0 …y(n-1)(x0) =y0(n-1)(n-1)Cnyn(n-1) (x0)(n-1)C1y1 (x0) + C2y2 (x0) + … += y0Эта система всегда имеет решение С1 = C10… Cn = Cn0 ,поскольку| y1(x0)30.Сформулировать и доказать теорему о структуреобщего решения линейного неоднородногодифференциального уравнения n-го порядка.Общее решение +a1(x) −1 +…+an(x)y=b(x) (1) можетбыть записано в видеy(x, C1…Cn)= +C1y1+…Cnyn,где (x) – частное решение ДУ(1), y1...yn – ФСРсоответствующего ДУ L[y]=0Док-во:Проверим 2 пункта определения общего решения:1) L[y(x,C1...Cn)] = L[ (x)] + C1⋅L[y1++…+Cn⋅L[yn] = b(x) + C1⋅0+…+ Cn⋅0=b(x) ∀C1…Cn ϵ R=> y(x,C1…Cn) = (x) + C1y1 +…+Cnyn Решение ДУ(1)∀C1…Cn ϵ R2) Пусть даны начальные условия y(x0)=y0y’(x0) = 0′ …0−1 (x0)=0−1 , x0 ϵⅠТогда для нахождения неизвестных C1…Cn имеем СЛАУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
