1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277)
Текст из файла
Системы линейных уравнений 2 × 2Рассмотрим систему линейных уравнений(ax + by = ecx + dy = f(∗)a b := ad − bc называетсяс коэффициентами a, b, c, d, e, f ∈ R относительно x, y ∈ R. Число ∆ = cd e b и ∆y := a e .определителем системы (∗). Обозначим также ∆x := c f f dЕсли ∆ 6= 0, то (∗) ⇐⇒ x =∆x∆y, y=∆∆(формулы Крамера).1. Теорема. Следующие условия на числа a, b, c, d ∈ R равносильны:(1) система (∗) определена (= имеет единственное решение) при любых e, f ∈ R;(2) система (∗) определена при e = f = 0;(3) система (∗) определена при некоторых e, f ∈ R;(4) система (∗) совместна (= имеет хотя бы одно решение) при любых e, f ∈ R;(5) векторы (a, b) и (c, d) неколлинеарны;(6) векторы (a, c) и (b, d) неколлинеарны;(7) ∆ = ad − bc 6= 0.2.
В случае ∆ = 0 возникают разные подслучаи, которые надо разбирать отдельно.а) Докажите, что если система (∗) совместна и ∆ = 0, то ∆x = ∆y = 0.б) Завершите разбор случая ∆ = ∆x = ∆y = 0.3. Решите следующие системы для всех действительных значений параметров:(((a(x − y) = abx sin 7α + y sin 3α = cos αx cos α − y sin α = cos(α + β)а)в)д)2ax + (a − 1)y = a;x cos 7α + y cos 3α = sin α;x sin α + y cos α = sin(α + β);(((ax + by = ax cos 2β − y sin 5β = sin 3βx cos α + y sin α = cos 2αб)г)е)bx + ay = b;x sin 2β + y cos 5β = cos 3β;x sin α − y cos α = sin 2α. a−a abРешение. а) Расширенная матрица коэффициентов:. Определители:2a a − 1 aa−a ∆== a(a − 1) + 2a2 = a(3a − 1),2a a − 1ab −a = ab(a − 1) + a2 = a(ab + a − b),∆x = a a − 1 a ab = a2 − 2a2 b = a2 (1 − 2b).∆y = 2a a 1) ∆ 6= 0 ⇔ a 6= 0, 31 :x=∆xab + a − b∆ya(1 − 2b)=, y==.∆3a − 1∆3a − 12) a = 0: x ∈ R, y = 0.3) a = 13 : ∆x = ∆y = 0 (иначе нет решений) ⇔ b = 12 : x − y = 21 .ab+a−b a(1−2b)Ответ: (x, y) = 3a−1 , 3a−1при a 6= 0, 13 ;x ∈ R, y = 0y = x − 12(x, y) ∈ ∅при a = 0;при (a, b) = 13 , 21 ;при a = 13 , b 6= 12 .Метод Гаусса IРассмотрим линейную систему AX = B над полем K (можноa11 x1 + a12 x2 + .
. . + a1n xn = b1a11 a12a x + a x + ... + a x = b a21 a2221 122 22n n2(A|B) = ..(∗).. .....aam1m2am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bmсчитать, что K = Q, R): . . . a1n b1x1. . . a2n b2 x2 X= .. .. .. ..... . . . . amn bmxnЭлементарные преобразования строк расширенной матрицы (A|B):• 1-го типа — прибавление к одной строке другой, умноженной на элемент поля;• 2-го типа — перестановка двух строк местами;• 3-го типа — умножение строки на ненулевой элемент поля.Матрица A имеет ступенчатый вид, если лидер каждой строки (её первый ненулевой элемент),начиная со второй, стоит строго правее лидера любой строки, стоящей выше. Для ступенчатойматрицы неизвестные x1 , . .
. , xn можно разделить на главные — стоящие в столбцах с лидерами— и свободные — все остальные. Будем писать (A|B)(A0 |B 0 ), если матрица (A|B) приводитсяэлементарными преобразованиями строк к матрице (A0 |B 0 ).Метод Гаусса исключения неизвестных основан на следующих утверждениях.1. Если (A|B)(A0 |B 0 ), то AX = B ⇔ A0 X = B 0 .2. Всякая матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.3.
Пусть (A|B)(A0 |B 0 ) и матрица A0 имеет ступенчатый вид. Тогда система AX = B• совместна ⇔ матрица (A0 |B 0 ) не содержит строк вида (0, . . . , 0|b 6= 0);• определена ⇔ она совместна и все переменные — главные.Если система AX = B совместна, но не определена, то её решение описывается выражениемглавных неизвестных через свободные. Разберём пример: −(2) − (4)6x1 + 4x2 + x5 = 46 4 00 1 4 3x + 2x − 2x + x = −73 2 −2 1 0 −712349 6 6 −3 4 −1 −(1) − (4)9x1 + 6x2 + 6x3 − 3x4 + 4x5 = −13 2 4 −2 2 33x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 + 2x5 = 3−(2)Cправа от матрицы мы указали преобразования строк, которые собираемся совершить (из 1-йстроки вычитаем 2-ю и 4-ю и т.
д.). Переставим затем первые две строки и продолжим:3 2 −2 10 −7 −732−2100 0 −2 1 −1 8 0 0 2 −1 1 −8 → 0 0 2 −1 1 −80 0 00 −1 340 0 6 −3 2 10(вычеркнули 2-ю строку). Теперь можно выразить главные неизвестные x1 , x3 , x5 через свободныеx2 , x4 : x5 = −34, x3 = −8+x24 −x5 = . . . и т. д. Но лучше не сразу возвращаться к буквам, а привестиматрицу к главному ступенчатому виду обратным ходом метода Гаусса.3 2 −2 1 0 −7 +(2)3 2 0 0 0 19 : 30 0 2 −1 0 26 : 2 → 0 0 1 − 1 0 13 20 0 00 1 −340 0 0 0 1 −34− 23 x2 , x3 = 13+ 12 x4 , x5 = −34. Заметим, что этоТеперь ответ выписывается автоматически: x1 = 193не единственная форма ответа: можно считать главной неизвестную x2 вместо x1 и x4 вместо x3 .− 32 x1 , x4 = 2x3 − 26, x5 = −34.Тогда ответ выглядит так: x2 = 192Линейные отображения плоскостиdefОтображение A : R2 → R2 линейно ⇐⇒ ∀u, v∈ R2 ∀kAv, A(kv)= kAv. ∈R A(u +v) = Au +abxabxax+by22Отображение A : R → R , заданное матрицей:A=:=.c dyc dycx + dy 101a0bСтолбцы матрицы — образы базисных векторови: A=,A=.010c1d1.
а) Всякое отображение, заданное матрицей, линейно.б) Обратно, всякое линейное отображение задаётся некоторой матрицей.2. Задайте матрицами: а) центральную гомотетию с коэффициентом k; б) поворот на угол ϕвокруг нуля; в) симметрию относительно прямой x sin ϕ = y cos ϕ; г) ортопроектор на эту прямую.3. Опишите движения плоскости, сохраняющие точку (0, 0) (частный случай теоремы Шаля).a11 a12b11 b124. Отображения A и B заданы матрицами A =иB=. Найдите матрицыa21 a22b21 b22отображений A + B, λA (λ ∈ R) и AB (в последнем случае получится произведение матриц AB).5. Линейное отображение с матрицей A биективно ⇔ |A| =6 0.
В этом случае1d −bA−1 =— матрица обратного отображения.aad − bc −c6. Вычислите целые степени матриц (отрицательные степени — для обратимых):a 01 10 1cos α − sin αcos αsin αа); б); в); г); д).0 b0 11 1sin αcos αsin α − cos α7. Запишите под последними тремя рисунками матрицы соответствующих преобразований(всюду закрашен образ единичного квадрата — в два цвета с учётом ориентации).E=1 00 1√Rπ =632121−√232!300 12Метод Гаусса II:линейные соотношения в арифметическом пространствеВозьмём произвольные вектор-столбцы высоты m над полем K: a11a1nb1 ..
.. .. A1 = . , . . . , An = . , B = . .am1amnbm1. Выражается ли столбец B через столбцы A1 , . . . , An ? И если выражается, то как? Имеем: k1b1k1 a11 + . . . + kn a1n .. n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = ... B ∈ hA1 , . .
. , An i ⇐⇒ ∃ . ∈ Kk1 am1 + . . . + kn amnknbmи придём к условию совместности линейной системы AX = B с матрицей A = (aij ). Любое еёрешение есть искомый набор коэффициентов.2. Линейная независимость столбцов A1 , . . . , An означает, что равенство k10 a11 k1 + . . . + a1n kn = 0 .. .. ...k1 A1 + . .
. + kn An = 0 ⇐⇒⇐⇒ A . = . kn0am1 k1 + . . . + amn kn = 0выполнено только при k1 = . . . = kn = 0, т. е. что однородная система с матрицей A определена.Любой вопрос о линейных соотношениях между столбцами данной матрицы (о линейной зависимости, выражаемости и т. п.) можно адресовать к столбцам с теми же номерами в (главном)ступенчатом виде этой матрицы — ответы будут такими же, посколькупри элементарных преобразованиях строк матрицылинейные соотношения между её столбцами не меняются.1. Столбцы ступенчатой матрицы с лидерами строк образуют базу системы столбцов матрицы.2. Теорема.
Следующие условия на матрицу A ∈ Mn (K) равносильны:(1) система AX = B определена при любом B ∈ K n ;(2) система AX = B определена при B = 0;(3) система AX = B определена при некотором B ∈ K n ;(4) система AX = B совместна при любом B ∈ K n .3. Каковы логические связи между условиями предыдущей теоремы для матрицы A ∈ Mn×m (K)при а) m > n; б) m < n?4. а) Во всякой линейно независимой системе векторов из K n не более n векторов.б) Во всякой системе порождающих из K n не менее n векторов.в) Система из n векторов порождает пространство K n ⇔ она линейно независима.5.
Основная лемма о линейной зависимости гласит:конечная система векторов, которая выражается черезсистему с меньшим числом векторов, линейно зависима.Метод Гаусса III:фундаментальная система решений линейной системыМножество решений линейной системы AX = 0, где A ∈ Mm×n (K), X ∈ Mn×1 (K) ∼= K n (K —поле), образует подпространство в пространстве столбцов K n . Любой базис этого подпространстваназывается фундаментальной системой решений (ФСР) системы AX = 0.1. Как найти ФСР. Приведём матрицу A к главному ступенчатому виду. Пусть для простотыx1 , . .
. , xr — главные неизвестные. Возьмём в качестве наборов значений свободных неизвестныхxr+1 , . . . , xn столбцы единичной матрицы (можно взять любые базисные векторы в K n−r ) и дополним каждый из них однозначно определяемыми значениями главных неизвестных. Ясно, чтополученные n − r столбцов высоты n образуют ФСР нашей системы.x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = 0 3x + 5x + 6x − 4x = 01234Пример. Найдём общее решение и ФСР системы4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 03x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0.Преобразуем матрицу системы к 1 1 −221 1 −23 5 0 2 126−4→4 5 −23 0 1 63 8 24 −190 3 18главному ступенчатому виду:2(x1 = 8x3 − 7x4−1010−87→Общее решение:−50 16 −5x2 = 5x4 − 6x3 .−15При (x3 , x4 ) = (1, 0) получим (x1 , x2 ) = (8, −6), а при (x3 , x4 ) = (0, 1) получим (x1 , x2 ) = (−7, 5).Ответ.
Общее решение: x1 = 8x3 − 7x4 , x2 = 5x4 − 6x3 ; ФСР: (8, −6, 1, 0), (−7, 5, 0, 1).2. Как составить систему линейных уравнений с заданной ФСР, или как задать подпространство линейной системой. Пусть требуется составить однородную систему уравнений, пространство решений которой есть линейная оболочка hX1 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
