1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Среди всех подгрупп Z∗n , где n 6 15, найдите циклические и их образующие.23. Разбейте следующие группы на  1±1 n Q8 , D4 ,n ∈ Z4 , 00 1 0классы изоморфных:a b 1 c  a, b, c ∈ Z2 , CentS4 (12)(34) .0 1 24. Приведите пример бесконечной группы, все элементы которой имеют конечный порядок.25. Приведите пример конечной группы G и делителя d её порядка |G|, таких, что в G нетподгруппы порядка d.26. Пусть H1 , H2 — подгруппы в G, g1 , g2 ∈ G. Докажите: а) g1 H1 ⊆ g2 H2 ⇔ H1 ⊆ H2 , g2−1 g1 ∈H2 ; б) множество g1 H1 ∩ g2 H2 либо пусто, либо является левым смежным классом G по H1 ∩ H2 .27. а) Является ли подмножество {(24), (243), (142), (1432)} группы S4 смежным классом (левым или правым) по некоторой её подгруппе?б) Тот же вопрос для подмножества {A ∈ GL2 (C) | |A| ∈ iR∗ } группы GL2 (C).28.

Нарисуйте плоские фигуры с группой изометрий а) Z2 ; б) Z3 .29. Докажите, что всякая конечная подгруппа в группе движений плоскости изоморфна либоZn , либо Dn для некоторого n ∈ N (считают, что D2 ∼= Z2 ⊕ Z2 ∼= V4 ).30. Индекс подгруппы H группы G определяется как мощность множества левых или множества правых смежных классов G по H и обозначается (G : H). Почему эти множества равномощны? В случае конечной группы G это ясно из доказательства теоремы Лагранжа, причём(G : H) = |G|/|H|. В общем случае надо явно установить биекцию и не угодить при этом в ловушку: «очевидное» сопоставление gH 7→ Hg невозможно, поскольку 1 . Правильно так: gH 7→ 2 .31.

Нарисуйте в Z2 подгруппы и их смежные классы:а) {(2m, 3n) | m, n ∈ Z}; б) {(2m; 3m + 2n) | m, n ∈ Z2 }; в) {(m, n) | m + n кратно 3}.32. Докажите, что подгруппа {(am + bn, cm + dn) | a, b, c, d ∈ Z} в Z2 имеет конечный индекс⇔ ad − bc 6= 0, и в этом случае её индекс равен |ad − bc|.33. Пусть K ⊆ H ⊆ G — цепь подгрупп, причём (G : H) < ∞ и (H : K) < ∞. Докажите, что(G : K) = (G : H)(H : K).34.

Докажите, что бесконечная группа имеет бесконечно много подгрупп.35. Докажите, что группа Q содержит континуум попарно неизоморфных подгрупп.36. Для каждого простого p определим мультипликативную квазициклическую p-группу[nUp∞ := {z ∈ C | ∃n ∈ N z p = 1} =Upk .k∈NДокажите следующие утверждения:а) группы Up∞ при разных простых p не изоморфны и никакая из них не изоморфна группе Q;б) каждая собственная (т. е.

отличная от всей группы) подгруппа группы Up∞ является циклической.Группы: смежные классы по подгруппеДля элемента g группы G определим её смежные классы по подгруппе H ⊆ G:gH := {gh | h ∈ H} — левый смежный класс,Hg := {hg | h ∈ H} — правый смежный класс.Начнём с примеров в случае абелевых групп (когда нет разницы между левыми и правымисмежными классами; при этом для аддитивных групп пишут a + B, a ∈ A, B ⊆ A).• Первый пример — классы вычетов: k + nZ (k = 0, 1, . . . , n − 1) — смежные классы Z по nZ.• Смежный класс группы R по подгруппе Z — множество всех действительных чисел с фиксированной дробной частью. Все такие смежные классы находятся в биективном соответствиис точками полуинтервала [0, 1).• Смежные классы группы (C∗ ; ·) по подгруппе (0, ∞) — лучи с началом в нуле, а по подгруппе{z | |z| = 1} — концентрические окружности с центром в нуле. В первом случае ненулевыекомплексные числа классифицируются по аргументу, во втором — по модулю.• Смежные классы группы R2 по подгруппе R × {0} — горизонтальные прямые.• Обобщим предыдущий пример.

Пусть U ⊆ K n — пространство решений линейной однородной системы AX = 0 (A ∈ Mm×n (K), K — поле). Тогда U — подгруппа группы (K n ; +),а смежные классы по ней — это линейные подмногообразия, параллельные U (множестварешений неоднородных систем AX = B).• Смежных классов группы Z2 по подгруппе B = {(m, n) | m + m чётно} всего два: самаподгруппа B и её дополнение Z2 \ B = (1, 0) + B = {(m, n) | m + n нечётно}.x − 3y = a|z| = rarg z = ϕ|z| = 1T ⊂ C∗m + n ≡ 0 (mod 2)m + n ≡ 1 (mod 2)x − 3y = 0arg z = 0R>0 ⊂ C∗{(3x, x) | x ∈ R} ⊂ R2{(m, n) | m + n чётно} ⊂ Z2• Нечётные подстановки в группе Sn (n > 2) образуют смежный класс (левый и правый) поподгруппе An чётных подстановок: Sn \ An = σAn = An σ для любой σ ∈ Sn \ An .• Ещё один пример из той же серии даёт подгруппа поворотов в группе диэдра; второй смежный класс состоит из симметрий.• «Минимальный» пример, когда левые смежные классы не совпадают с правыми, даёт подгруппа h(12)i группы S3 : (13)h(12)i = {(13), (123)} =6 {(13), (132)} = h(12)i(13).• Смежный класс (левый, он же правый) группы GLn (K) (K — поле) по подгруппе SLn (K)состоит из матриц с фиксированным (ненулевым) определителем:∀A ∈ GLn (K) A SLn (K) = {B ∈ GLn (K) | |B| = |A|} = SLn (K)A..

Характеристики

Список файлов семинаров