1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть x1 , x2 , x3 — корни уравненияx + px + q = 0 и ε = cos 2π+ i sin 2π. Лагранж рассматривает резольвенту12333y1 = (x1 + εx2 + ε2 x3 )3 ,принимающую при перестановках корней всего два значения, а потому являющуюся корнем квадратного уравнения (коэффициенты которого рационально зависят от p и q).а) Составьте его и б) выведите формулу для корней x1 , x2 , x3 .Решим задачу, аналогичную задаче 1 для многочлена f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x3 . Очевидно, чтоτ f = f ⇔ τ (4) = 4, т.
е. в первой строке нашей таблицы стоят все перестановки цифр 1, 2, 3. Яснотакже, что из f перестановками переменных получаются ещё три многочлена: x1 x2 x4 , x1 x3 x4 ,x2 x3 x4 , причём каждый из них можно получить из f транспозицией. Итак, мы заполнили первуюстроку таблицы и подобрали по перестановке в остальных строках:x1 x 2 x3x1 x 2 x4x1 x 3 x4x2 x 3 x4e(12)(34)(24)(14)(23)(13)(123)(132)Этого достаточно, чтобы автоматически заполнить всю таблицу. Воспользуемся простым, новажным соображением: (στ )f = σ(τ f ), означающим, что применение к многочлену f композицииστ равносильно последовательному применению к f перестановок σ и τ (сначала — τ ).3. Поймите, как используя это соображение, заполнить всю таблицу.Орбита и стабилизатор многочлена.
Все многочлены, которые получаются из многочленаf = f (x1 , . . . , xn ) перестановками переменных, образуют его орбиту Orb f (первый столбец таблицы); множество всех перестановок из Sn , сохраняющих многочлен f , т. е. таких, что σf = f ,называется его стабилизатором и обозначается St f (первая строка таблицы):Orb f := {σf | σ ∈ Sn },St f := {σ ∈ Sn | σf = f }.Отметим свойства стабилизатора:• σ, τ ∈ St f ⇒ στ ∈ St f,• e ∈ St f,• σ ∈ St f ⇒ σ −1 ∈ St f.Они означают, что St f — подгруппа в Sn .12От англ.
resolve — решить. Термин применяется во многих областях математики.4. Найдите орбиты и стабилизаторы следующих многочленов, заполните таблицу, как выше(n = 4), и вы познакомитесь с разными интересными подгруппами в S4 :а) x1 x2 + x3 x4 ; б) (x1 − x2 )(x3 − x4 ); в) x1 x2 + x2 x3 +Qx3 x4 + x4 x1 ;г) (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 )(x2 − x3 )(x2 − x4 )(x3 − x4 ) = 16i<j64 (xi − xj ).Решение. б) f = (x1 − x2 )(x3 − x4 ) ⇒ Orb f = {±f, ±(x1 − x3 )(x2 − x4 ), ±(x1 − x4 )(x2 − x3 )}.Далее легко видеть, что всякая перестановка σ ∈ St f определяется своим значением на x1 :• σ(x1 ) = x1 ⇒ σ = e,• σ(x1 ) = x2 ⇒ σ = (12)(34),• σ(x1 ) = x3 ⇒ σ = (13)(24),• σ(x1 ) = x4 ⇒ σ = (14)(23).Полученная группа называется четверной группой Клейна и обозначается V4 :St f = V4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.Заполним таблицу:(x1 − x2 )(x3 − x4 )(x2 − x1 )(x3 − x4 )(x1 − x3 )(x2 − x4 )(x3 − x1 )(x2 − x4 )(x1 − x4 )(x2 − x3 )(x1 − x4 )(x3 − x2 )e(12)(23)(132)(123)(24)(12)(34)(34)(1342)(234)(134)(1234)(13)(24)(1324)(1243)(124)(132)(13)(14)(23)(1423)(14)(143)(142)(1432)5.
Найдите связь между Orb(τ f ) = Orb f , а также между St(τ f ) и St f .6. Как связаны мощности орбиты и стабилизатора произвольного многочлена f (x1 , . . . , xn )?7∗. Придумайте многочлен f (x1 , . . . , x5 ), для которогоSt(f ) = M5 := {x 7→ ax + b | a ∈ Z∗5 , b ∈ Z5 }.Теорема Лагранжа I.
Пусть y1 — многочлен от x1 , . . . , xn , из которого перестановками переменных получается k многочленов y1 , . . . , yk . Тогда они являются корнями многочлена степениk с коэффициентами, полиномиально зависящими от σ1 , . . . , σn .ny13(x1 + εx2 + ε2 x3 )4(x1 + ix2 − x3 − ix4 )44x1 x2 + x3 x44 x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1k263Пусть теперь ϕ ∈ K(x1 , . . . , xn ) и q ∈ Ksym (x1 , . . . , xn )(t), т. е.
q — дробь от одной переменной t с коэффициентами — симметрическими дробями от x1 , . . . , xn . Ясно, что St(ϕ) ⊆ St(q(ϕ)).Оказывается, верно и обратное.Теорема Лагранжа II. Пусть дроби ϕ, ψ ∈ K(x1 , . . . , xn ) таковы, что St(ϕ) ⊆ St(ψ). Тогдаψ = q(ϕ) для некоторой дроби q ∈ Ksym (x1 , . . . , xn )(t).Пример.
Пусть n = 4, ϕ = x1 x2 , ψ = x1 x2 + x3 x4 . Тогда St(ϕ) ⊆ St(ψ). Можно и вычислить:St(ϕ) = {e, (12), (34), (12)(34)}иSt(ψ) = St(ϕ) ∪ {(13)(24), (14)(23), (1324), (1423)}.x1 x2 x3 x4.tКак возникли понятия подгруппы и смежного класса. Строки таблиц из задачи 4 —левые смежные классы группы Sn (n = 4) по подгруппе St(f ). В самом деле, возьмём любой многочлен из Orb(f ), скажем, τ f . В строке таблицы напротив него выписаны все такие перестановкиσ ∈ Sn , чтоσf = τ f ⇐⇒ τ −1 σf = f ⇐⇒ τ −1 σ ∈ St(f ) ⇐⇒ σ ∈ τ St(f ),Выразим ψ через ϕ над Ksym (x1 , x2 , x3 , x4 ): ψ = q(ϕ), где q(t) = t +т.
е. все перестановки из левого смежного класса τ St(f ).Теорема Лагранжа III. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.Заметим, что в обозначениях теоремы Лагранжа I подгруппа St(f ) ⊆ Sn имеет индекс k (числолевых смежных классов) и соответственно порядок n!/k.Группы: простые теоретические факты1.
Следующие условия на подмножество H группы G равносильны:(1) e ∈ H и ∀g, h ∈ H gh ∈ H, g −1 ∈ H;(2) H 6= ∅ и ∀g, h ∈ H gh−1 ∈ H;(3) H — группа относительно операции в G.При выполнении этих условий H называется подгруппой в G.2. Непустое конечное подмножество H группы G является подгруппой ⇔ ∀g, h ∈ H gh ∈ H.3. Пересечение любого семейства подгрупп — подгруппа.4. Объединение H ∪ K подгрупп — подгруппа ⇔ H ⊆ K или K ⊆ H.5. Произведение HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K} подгрупп — подгруппа ⇔ HK = KH.Для любого элемента g группы G множество hgi := {g n | n ∈ Z} является подгруппой в G.Подгруппы такого вида называются циклическими.
Если G = hgi для некоторого g ∈ G, то группаG называется циклической, а элемент g — её образующим или порождающим.Если все степени g n , n ∈ Z, различны, то говорят, что g — элемент бесконечного порядка. Еслиng = e для некоторого n ∈ N, то наименьшее среди таких n называется порядком элемента g;обозначение: O(g).6. Для всякого элемента g группы G имеем: O(g) = k ∈ N ⇐⇒ (∀n ∈ N g n = e ⇔ k | n) .O(g).7. Пусть O(g) < ∞ и m ∈ N. Тогда O(g m ) =(O(g), m)8. Элементы конечного порядка абелевой группы образуют её подгруппу — она называетсяпериодической частью группы. Для неабелевой группы это, вообще говоря, не так: произведениеэлементов конечного порядка может иметь бесконечный порядок (пример?).9.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе Z. Всякая циклическая группапорядка n изоморфна группе Zn .10. Всякая подгруппа циклической группы — циклическая. Всякая подгруппа Z имеет вид dZдля некоторого d ∈ N0 . Всякая подгруппа в Zn имеет вид dZn для некоторого делителя d числа n.11. Пусть f : (G; ∗) → (H; ◦) — гомоморфизм групп, т. е. ∀x, y ∈ G f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y). Тогда:а) Ker f = {g ∈ G | f (g) = eH } — подгруппа в G; б) Im f = {f (g) | g ∈ G} — подгруппа в H;в) если G — абелева, то Im f тоже; г) если g ∈ G и O(g) = n ∈ N, то O(f (g)) | n.Терминология: изоморфизм — биективный гомоморфизм, вложение (или мономорфизм) —инъективный гомоморфизм, эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм, эндоморфизм — гомоморфизм в себя, автоморфизм — биективный эндоморфизм.12.
Гомоморфизм f : G → H является вложением ⇔ Ker f = {e}.13. Композиция гомоморфизмов — гомоморфизм, композиция изоморфизмов — изоморфизм,обратный к изоморфизму — изоморфизм.14. Теорема Лагранжа. Пусть H — подгруппа в G. Тогда: а) отображение H 7→ xH, h 7→ xh— биекция; б) любые два левых смежных класса xH и yH (x, y ∈ G) либо не пересекаются, либосовпадают; в) группа G есть дизъюнктное объединение некоторых левых смежных классов поподгруппе H. В частности, если |G| < ∞, то |H| | |G|.15. Следствия из теоремы Лагранжа.(1) Порядок элемента конечной группы делит порядок группы.(2) Если G — конечная группа, то g |G| = e для всех g ∈ G.(3) Группа простого порядка p циклическая (и изоморфна группе Zp ).(4) Если H ⊆ K ⊆ G — цепочка подгрупп конечной группы G, то (G : H) = (G : K)(K : H).(5) Конечные подгруппы взаимно простых порядков пересекаются тривиально, т.
е. по {e}.Задачи по теме «Группы»16. Докажите, что конечные подгруппы в C∗ исчерпываются подгруппами вида17. Опишите все гомоморфизмы а) Sn → R∗ ; б) Sn → C∗ .√n1, n ∈ N.18. Найдите подгруппу, изоморфную S3 , в группах: а) GL3 (Q); б) GL2 (R); в) GL2 (Q).19. Докажите, что неабелевы группы A4 и D6 из 12 элементов неизоморфны.20. Сколько в S4 : а) элементов порядка 4; б) циклических подгрупп порядка 4; в) подгрупппорядка 4?21. Докажите: а) Aut Z ∼= {±1} ∼= Z2 ; б) Aut Zn ∼= Z∗n ; в) Aut V4 ∼= S3 ; г) Aut S3 ∼= S3 .22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
