1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

а) Данный многочлен обнуляется при x = y, при y = z и при z = x, а потому делится на(x−y)(y −z)(z −x) — многочлен тоже 3-й степени, значит, (x−y)3 +(y −z)3 +(z −x)3 = k(x−y)(y −z)(z −x)с некоторым k ∈ Z, которое легко найти, сравнив коэффициенты при x2 y: k = 3.x3г) От данного многочлена f (x, y) = x3 + 3xy + y 3 − 1 перейдём к однородному многочленуF (x, y, z) =+ 3xyz + y 3 − z 3 . Их связь: f (x, y) = F (x, y, 1), обратно: F (x, y, z) = z 3 f xz , yz . Легко угадать, что√F (x, y, x + y) = 0, и понять, что F (x, y, ε±1 x + ε∓1 y) = 0, где ε = ε3 = − 21 + i 23 .

(На самом деле, все корниF (x, y, z) как многочлена от z можно найти аналогично решению задачи 3в), подставив z = ax + by.)Окончательно, F (x, y, z) = −(z − x − y)(z − εx − ε2 y)(z − ε2 x − εy) = (x + y − z)(x2 + y 2 + z 2 − xy + xz + yz).Ответ: а) 3(x − y)(y − z)(z − x);г) (x+y−1)(εx+ε2 y−1)(ε2 x+εy−1) = (x+y−1)(x2 +y 2 −xy+x+y+1) (многочлен x2 +y 2 −xy+x+y+1неприводим над Q, т.

к. ε ∈/ Q).5. Докажите, что при всех нечётных n > 5 многочлен (x + y + z)n − xn − y n + z n делится намногочлен (x + y + z)3 − x3 − y 3 + z 3 . Выпишите частное явно при n = 5.6. Для каждого k ∈ K разложите многочлен x3 + y 3 + z 3 + kxyz на неприводимые в случаяха) K = C; б) K = R; в) char K = 3.7. Докажите, что многочлен xm − y n ∈ C[x, y] неприводим в точности при (m, n) = 1.8.

Подтвердите вычисление циркулянта: a0aa...a12n−1an−1 a0 a1 . . . an−2 n−1n−1X Ykan−2 an−1 a0 . . . an−3 =f (ε ), где f (x) =am xm , ε = e2πi/n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k=0k=0 a1a2 a3 . . . a0Симметрические многочленыPЭлементарные симметрические многочлены: σk = σk (x1 , . . . , xn ) := 16i1 <...<ik 6n xi1 . . . xik , k =1, .

. . , n возникают при раскрытии скобок: (x−x1 ) . . . (x−xn ) = xn −σ1 xn−1 +σ2 xn−2 −. . .+(−1)n σn .(например, при n = 3: σ1 (x, y, z) = x + y + z, σ2 (x, y, z) = xy + xz + yz, σ3 (x, y, z) = xyz.1. Найдите кубический многочлен, корни которого равны а) x2 , y 2 , z 2 ; б) x1 , y1 , z1 , в) xy, xz, yz,где x, y, z — тройка корней многочлена x3 + x2 − 2x − 3. x + y + z = a,x 2 + y 2 + z 2 = a2 ,2. а) При каждом a ∈ C решите систему x 3 + y 3 + z 3 = a3 .(x + y + z = a,б) ПустьДокажите, что хотя бы одно из чисел x, y, z равно a.x−1 + y −1 + z −1 = a−1 .3. Сумма целых чисел a, b, c равна 0. Докажите, что 2(a4 + b4 + c4 ) — полный квадрат.Основная теорема. Каждый симметрический многочлен над полем полиномиально выражается через элементарные симметрические, и притом однозначно.

Как следствие, всякаясимметрическая полиномиальная функция от корней приведённого многочлена полиномиальновыражается через его коэффициенты.Обозначив через Ksym [x] кольцо симметрических многочленов над полем K от x1 , . . . , xn , теорему можно сформулировать так:∀f ∈ Ksym [x] ∃!g ∈ K[y1 , . . . , yn ] f (x) = g(σ1 (x), . . .

, σn (x)).Например, f = σk ⇒ g = yk , f = x21 + . . . + x2n ⇒ g = y12 − y2 .Пример. Выразим многочлен D = (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 через элементарные симметрические.Старший член у D равен x41 x22 . Выпишем в порядке убывания все наборы (k1 , k2 , k3 ) 4 (4, 2, 0), гдеk1 +k2 +k3 = 6 и k1 > k2 > k3 , и напротив каждого выпишем набор (l1 , l2 , l3 ) показателей симметрическогомонома σ1l1 σ2l2 σ3l3 со старшим членом xk11 xk22 xk33 , т. е. l3 = k3 , l2 = k2 −k3 , l1 = k1 −k2 .

Из таблицы показателейзапишем искомое представление многочлена D с неопределёнными коэффициентами, которые найдёмподстановкой конкретных значений вместо x1 , x2 , x3 .x144332x221322x301012σ123010σ220310σ301012D = σ12 σ22 + aσ13 σ3 + bσ23 + cσ1 σ2 σ3 + dσ32x11112x21111x30−11−1σ12132σ21−13−1σ30−11−2Уравнение0=b+40=1−a−b+c+d0 = 81 + 27a + 27b + 9c + d (⇒ 9 | d)36 = 4 − 16a − b + 4c + 4dРешим полученную линейную систему, сразу подставив b = −4, относительно a, c, d0 := d/9:  a = −41 0 0 −41 −1 −9 51 −1 −9 51 −1 −9 53c = 181 7 −3 → 0 1 0 1811 3 → 04 28 −12 → 0 00 0 1 −34 −1 −9 −70 −1 −1 −1500 6 −18d = −3.Окончательно, D = σ12 σ22 − 4σ13 σ3 − 4σ23 + 18σ1 σ2 σ3 − 27σ32 .Следствие. Если x1 , x2 , x3 — корни многочлена x3 + px + q, то σ1 = 0, σ2 = p и σ3 = −q, поэтомуD(x3 + px + q) = −4p3 − 27q 2 .4.

Метод Лагранжа решения кубического уравнения. Пусть x1 , x2 , x3 — корни многочлена x3 +px+q. Докажите, что (x1 +εx2 +ε2 x3 )3 , (x1 +εx3 +ε2 x2 )3 — корни квадратного уравненияс коэффициентами, зависящими от p, q.С помощью следующей задачи уравнения четвёртой степени сводятся к кубическим.5. Пусть x1 , x2 , x3 , x4 — четвёрка корней многочлена x4 + ax2 + bx + c. Постройте кубическиймногочлен с корнями а) x1 x2 +x3 x4 , x1 x3 +x2 x4 , x1 x4 +x2 x3 ; б) (x1 +x2 )(x3 +x4 ), (x1 +x3 )(x2 +x4 ),(x1 + x4 )(x2 + x3 ).6. Степенные суммы Ньютона sk = xk1 +. .

.+xkn , k ∈ N. Найдём связь между ними и элементарнымисимметрическими многочленами. Ясно, чтоs1 = σ1иs2 = σ12 − 2σ2 .(9)Далее запишем равенства (xk − x1 )(xk − x2 )(xk − x3 ) = 0, k = 1, 2, 3, раскроем скобки и сложим:x31 − σ1 x21 + σ2 x1 − σ3 = 0x32 − σ1 x22 + σ2 x2 − σ3 = 0 +x33 − σ1 x23 + σ2 x3 − σ3 = 0(10)s3 − σ1 s2 + σ2 s1 − 3σ3 = 0.(11)Мы доказали формулу (11) пока только для n = 3 переменных. При n = 1, 2 формула остаётся всиле, если считать σi (x1 , . . .

, xn ) = 0 при i > n. Для n > 3 применим индукцию, шаг которой основан наформуле σki = σk − xi σk−1,i (1 6 k 6 n − 1), где через σmi обозначен симметрический многочлен степениm от x1 , . . . , xn , кроме xi , причём σ0i := 1. Например, при n = 4 и i = 1 имеемσ3 = x1 (x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) + x2 x3 x4 ,| {z }|{z}σ21σ31(12)σ2 = x2 x3 + x2 x4 + x2 x4 +x1 (x2 + x3 + x4 ).||{z}{z}σ21σ11 =σ1 −x1Из равенств (12) и им аналогичных при i = 2, 3, 4 получим (пока n = 4):x2 x3 x4 = σ31 = σ3 − x1 σ2 + x21 σ1 − x31 x1 x3 x4 = σ32 = σ3 − x2 σ2 + x22 σ1 − x32 +x1 x2 x4 = σ33 = σ3 − x3 σ2 + x23 σ1 − x33 x1 x2 x3 = σ34 = σ3 − x4 σ2 + x24 σ1 − x34σ3 = 4σ3 − s1 σ2 + s2 σ1 − s3 ⇐⇒ (11).а) Докажите формулу (11) при любом n > 3, обобщив проведённое рассуждение.б) Докажите в общем случае формулу Ньютона:sk − σ1 sk−1 + σ2 sk−2 − . . . + (−1)k−1 σk−1 s1 + (−1)k kσk = 0,(13)в которой все si и σi — многочлены от x1 , .

. . , xn , причём σm = 0 при m > n.в) Используя рекурсию и формулы (9), (11), выразим s3 через σ1 , σ2 , σ3 , а σ3 — через s1 , s2 , s3 , считая,что char K = 0:s1 = σ1σ1 = s1s2 = σ12 − 2σ2σ2 = 12 (s21 − s2 )s3 = σ1 s2 − σ2 s1 + 3σ3 = σ3 = 13 (s3 − σ1 s2 + σ2 s1 ) == σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3= 16 (s31 − 3s1 s2 + 2s3 )Формулы для любого n — см. задачи 31.16, 31.17 из задачника А. И. Кострикина.Теорема.

Степенные суммы s1 , . . . , sn образуют алгебраический базис в кольце Ksym [x1 , . . . , xn ] надполем K с char K = 0. Иными словами, при этом условии каждый симметрический многочлен полиномиально выражается через s1 , . . . , sn , и притом однозначно.7. Пусть многочлены f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] над полем K взаимно просты и дробь f /g симметрическая. Докажите, что многочлены f и g симметрические. Как следствие, всякая рациональнаядробь рационально выражается через элементарные симметрические многочлены.PPP8. Выразите через элементарные симметрические многочлены: а) i x1i ; б) i x12 ; в) i6=j xxji .i9.

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:∗10 . Докажите формулы Рамануджана:qqqp√332π4π33а) 2 cos 7 + 2 cos 7 + 3 2 cos 8π=5−37;7qqqp√3б) 3 2 cos 2π+ 3 2 cos 4π+ 3 2 cos 8π= 3 3 9 − 6.999а) √a+1√√ ;b+ cб) √31√√ .3a+ b+ 3cПерестановки переменных в многочленах: по следам ЛагранжаЕсли в многочлене x1 x2 + x3 переставить переменные x1 и x2 , он не изменится, а если поменятьместами x2 и x3 , то получится многочлен x1 x3 + x2 . Тот же многочлен получится, если в исходномпереставить переменные по циклу x1 7→ x3 7→ x2 7→ x1 (на место x1 поставить x3 и т. д.). Будемписать (23)(x1 x2 + x3 ) = x1 x3 + x2 = (132)(x1 x2 + x3 ).Вообще, для данных многочлена f (x1 , . .

. , xn ) и перестановки σ ∈ Sn обозначимσf (x1 , . . . , xn ) := f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ).1. Для каждого из следующих многочленов f (x1 , x2 , x3 ) заполните таблицу, в первом столбце которой выпишите многочлены, получающиеся из f перестановками переменных, и напротивкаждого такого многочлена запишите перестановки, переводящие в него многочлен f :a) x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ; б) x1 x2 + x2 x3 ; в) (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ).Таблица для рассмотренного выше многочлена x1 x2 + x3 выглядит так:x1 x2 + x3x1 x3 + x2x2 x3 + x1e(23)(13)(12)(132)(123)2. Метод Лагранжа решения кубического уравнения.

Характеристики

Список файлов семинаров