1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. . , Xk i ⊆ K n заданных строкX1 = (x11 , . . . , x1n ), . . . , Xk = (xk1 , . . . , xkn ).В искомую систему может войти уравнение p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = 0 в точности тогда, когдаему удовлетворяют координаты всех строк X1 , . . . , Xk , то есть когда   xp+xp+...+xp=0p101111221nn ..

  .. ...⇐⇒ (xij )ij  .  =  .  .x p + x p + ... + x p = 0pn0k1 1k2 2kn nЗначит, достаточно найти ФСР линейной системы с матрицей (xij )ij и каждое решение из найденной ФСР записать как набор коэффициентов уравнения.Пример. Зададим подпространство h(1, −1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)i ⊆ Q4 как пространстворешений системы линейных уравнений:1 −1 1 01 −11 0201111 0 1 → 02 −1 1 →ФСР: (−1, 1, 2, 0), (−1, −1, 0, 2).0 2 −1 120 1 102 −1 1((!x1 − x2 − 2x3 = 0x 1 − x3 − x4 = 0Ответ:⇔для ФСР: (1, 0, −1, −1), (0, 1, 1, −1) .x1 + x2 − 2x4 = 0x2 + x3 − x4 = 0Пересечение и сумма подпространств. Согласованные базисыПусть V — конечномерное пространство над некоторым полем K (можно считать, что V = K n ).Для любых подпространств U, W ⊆ V их сумма U +W := {u+w | u ∈ U, w ∈ W } и пересечениеU ∩ W являются, как легко понять, подпространствами в V .1.

Теорема-определение. Следующие условия на подпространства U, W ⊆ V равносильны:(1) ∀v ∈ U + W ∃!u ∈ U ∃!w ∈ W v = u + w;(2) U ∩ W = {0};(3) для любых линейно независимых систем (u1 , . . . , uk ) в U и (w1 , . . . , wl ) в W система(u1 , . . . , uk , w1 , . . . , wl ) линейно независима;(4) для любых базисов (u1 , . . . , uk ) в U и (w1 , . . . , wl ) в W система (u1 , . .

. , uk , w1 , . . . , wl ) является базисом в U + W ;(5) dim(U + W ) = dim U + dim W .При выполнении этих условий сумма U + W называется прямой и обозначается U ⊕ W .2. В общем случае для подпространств U, W ⊆ V верна формула включений и исключений:dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).Она доказывается построением в U + W базиса, согласованного с U и W , т. е. базиса видабазис в Uzu1u01Uбазис в W{}|{}|zu1 , . . . , up , z1 , . . . , zk , w1 , . . . , wq .| {z }z1U + W = hu1 , z1 , w1 i == hu01 , z1 , w10 i = . . .U ∩Ww10Ww1базис в U ∩W3. Обобщите понятие прямой суммы на любое число подпространств.4. Верна ли формула включений и исключений для трёх подпространств (аналогичная теоретикомножественной формуле для |A ∪ B ∪ C|)?Пример.

Найдём согласованный базис суммы линейных оболочек ha1 , a2 , a3 i и hb1 , b2 , b3 i в Q3 , гдеa1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 1, −1), a3 = (1, 3, 3), b1 = (1, 2, 2), b2 = (2, 3, −1), b3 = (1, 1, −3).1. Сначалаa1 : 1 2a2 : 1 1a3 : 1 3зададим данные линейные оболочки системами линейных уравнений:p1 = 3p31 0 −31 211p2 = −2p3−1 → 0 −1 −2 → 0 1 23x1 − 2x2 + x3 = 0 (a)0 123ФСР:(3, −2, 1)p1 = 8p31 0 −81 22b1 : 1 2 2p2 = −5p3b2 : 2 3 −1 → 0 −1 −5 → 0 1 58x1 − 5x2 + x3 = 0 (b)0 −1 −5b3 : 1 1 −3ФСР:(8, −5, 1)2.

Базис в ha1 , a2 , a3 i ∩ hb1 , b2 , b3 i — это ФСР системы {(а) и (b)}, т. е. системы с матрицей3 −2 13 −2 1 3(1)−2(2) −1 0 3→→ФСР: c := (3, 5, 1).5 −3 08 −5 15 −3 03. Дополним вектор c до базисов обеих линейных оболочек, для чего запишем все семь векторов постолбцам матрицы (c | a1 a2 a3 | b1 b2 b3 ) и будем одновременно приводить матрицы (c | a1 a2 a3 ) и(c | b1 b2 b3 ) к ступенчатому виду:  3 2 −1 −311 1 −13 1 1 1 1 21 1 −1 3 2 −1 −35 2 1 3 2 31→ 0 −3 6 −12 −8 8 16 →0 1 −2 4 1 −1 −20 −2 4−8 −5 5 101 1 −1 3 2 −1 −3(мы убрали 3-ю строку и разделили элементы 2-й строки на 2,3,4 местах на −3, а элементы на 5,6,7 местахна −8.

Это законно, поскольку мы отдельно работаем с матрицами (c | a1 a2 a3 ) и (c | b1 b2 b3 ).)Теперь ясно, что dimha1 , a2 , a3 i = dimhb1 , b2 , b3 i = 2 и, поскольку c 6k ai , bi при любом i = 1, 2, 3, тоha1 , a2 , a3 i = hc, ai i = hc, bi i при любом i = 1, 2, 3.Ответ: например, c, a1 , b1 , где c = (3, 5, 1) (верен любой ответ вида c, ai , bj , где i, j ∈ {1, 2, 3}).Кольцо вычетовДля a ∈ Z и n ∈ N обозначим [a]n = a + nZ — класс вычетов числа a по модулю n. Ясно, что[a]n = [b]n ⇔ a ≡ b (mod n) ⇔ n | a − b. (Иногда вместо [a]n пишут a или просто a.) МножествоZn = {[0]n , [1]n , [2]n , . . . , [n − 1]n }с операциями [a]n + [b]n = [a + b]n и [a]n [b]n = [ab]n называется кольцом вычетов по модулю n.1. Сложение и умножение в Zn определены корректно, т.

е. если [a]n = [a0 ]n и [b]n = [b0 ]n , то[a + b]n = [a0 + b0 ]n и [ab]n = [a0 b0 ]n .• Ненулевые вычеты [a]n и [b]n , для которых [a]n [b]n = [0]n , называются делителями нуля.• Вычеты [a]n и [b]n , для которых [a]n [b]n = [1]n , называются (взаимно) обратными.2. Найдите обратные вычеты или докажите, что их не существует:а) к 5 в Z64 ; б) к 700 в Z1001 ; в) к n − 1 в Zn ; г) к 17 в Z56 ; д) к 25 в Z113 .3. Теорема. Для всех натуральных n > 2 и всех целых a имеем:[a]n обратим в Zn ⇐⇒ [a]n — неделитель нуля в Zn ⇐⇒ (a, n) = 1.(5x + 3y = 14.

Решите системув кольцах а) Z2 ; б) Z3 ; в) Z5 ; г) Z6 ; д) Z8 .7x + 9y = −1(ax + by = e5. Найдите критерий определённости системыпри любых e, f ∈ Zn .cx + dy = f6. Решите уравнения (1) x2 = x и (2) x2 − 4x + 1 = 0 в кольцах из задачи 4.Поле вычетов по простому модулю7. Следствие из теоремы 3. Для всех n ∈ N справедливы равносильности:Zn — поле⇐⇒в Zn нет делителей нуля⇐⇒ n — простое число.Далее p — простое число, Z∗p := Zp \ {0} — множество ненулевых вычетов поля Zp .8.

Докажите, что все вычеты из Z∗p , кроме ±1, разбиваются на пары взаимно обратных.9. Теорема Вильсона. Для всех натуральных n > 2: (n − 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ n — простое.Y(a − k).б) ap − a =10. Докажите тождества в Zp : а) (a + b)p = ap + bp ;k∈Zp11. Малая теорема Ферма. ap ≡ a (mod p)илиp - a ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p).12. Пусть столбцыA1 = (a11 , . . . , am1 )t , . . . , An = (a1n , . . . , amn )t ∈ Zmлинейно зависимы над Q. Докажите, что столбцы A1 , . . . , An ∈ Zmp , полученные из них редукциейпо модулю p (заменяем aij ∈ Z на [aij ]p ∈ Zp ), линейно зависимы над Zp ,13. Следствие.

Ранг целочисленной матрицы над Q при редукции по простому модулю можетразве лишь уменьшиться: ∀A ∈ Mm×n (Z) rkZp A 6 rkQ A.Ранг матрицы1. Предложение-определение. Ранг системы столбцов любой матрицы A над полем равенрангу системы её строк, называется рангом матрицы A и обозначается rk A.C Оба ранга не меняются при элементарных преобразованиях строк (почему?), а в ступенчатыхматрицах — равны числу ненулевых строк (почему?). BГеометрически ранг матрицы A — это размерность образа линейного отображения с матрицейA, т.

е. отображения A : K n → K m , X 7→ AX, где A ∈ Mm×n (K); rk A = dim Im A.2. Докажите, что столбцы и строки квадратной матрицы одновременно а) линейно зависимы;б) пропорциональны.A 03. Докажите: а) rk= rk A + rk B для любых матриц A и B;0 Bб) rk(A|B) 6 rk A + rk B для матриц A и B с одинаковым числом строк;в) rk(AB для матриц A и B одного размера; + B) 6 rkA + rka ∗ ··· ∗a 0 ··· 0(0∗rk Aпри a = 0г) rk  .. = rk  ..=..rk A + 1 при a 6= 0.0∗AA4. Как может измениться ранг матрицы, если ко всем её элементам прибавить единицу?5. Докажите, что матрицы ранга 6 1 — это в точности матрицы вида (ai bj )ij .6.

Докажите, что ранг матрицы не меняется при расширении поля, например, rkQ A = rkR Aдля любой матрицы A ∈ Mm×n (Q).a1 a2 a3 . . . a n0 1 1 ... 1 0 a1 a2 . . . an−1 1 0 1 . . . 1 0 0 a1 . . . an−2 7. Вычислите ранги матриц из Mn (R): а)  б) 1 1 0 . . . 1. .. .. .. . . .. .. .. . . .. .. . . .. . ... .. 0 0 0 . . . a11 1 1 ... 011231 2 − λ2 23  в зависимости от λ ∈ R.Пример. Найдём ранг матрицы A = 2315 231 9 − λ211230 1 − λ2 00 ,Вычтем из 2-й строки 1-ю, из 3-й — две 1-х, а из 4-й — 3-ю: A0 = 01−3−1 000 4 − λ20rk A = rk A . Теперь дважды применим 3г): (1 − λ2 00rk B + 1 при λ 6= ±1−3−1  =rk A0 = rk  1rk Bпри λ = ±1,00 4 − λ2(2−3−1где B =и rk B =0 4 − λ21при λ 6= ±2при λ = ±2.Ответ: 3 при λ = ±1, ±2, иначе — 4.Умножение матрицПусть K — поле.

Рассмотрим линейные отображения A : K 3 → K 2 и B : K 2 → K 4 с матрицамиA = (ajk ) ∈ M2×3 (K) и B = (bij ) ∈ M4×2 (K) соответственно:  by+by111122 x x1b21 y1 + b22 y2 a11 a12 a13  1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3y1x2 =A : x2 7→и B:7→ b31 y1 + b32 y2  .a21 a22 a23a21 x1 + a22 x2 + a23 x3y2x3x3b41 y1 + b42 y2Тогда их композиция BA : K 3 → K 4 имеет вид b11 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + b12 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 )x1x2  7→ b21 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + b22 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ) =b31 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + b32 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 )x3b41 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + b42 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ) b11 a11 + b12 a21 b11 a12 + b12 a22 b11 a13 + b12 a23  x1b21 a11 + b22 a21 b21 a12 + b22 a22 b21 a13 + b22 a23  x1x2 =: C x2  .=b31 a11 + b32 a21 b31 a12 + b32 a22 b31 a13 + b32 a23 x3x3b41 a11 + b42 a21 b41 a12 + b42 a22 b41 a13 + b42 a23Полученная матрица C = (cik ) ∈ M4×3 (K), где cik = bi1 a1k + bi2 a2k (i = 1, 2, 3, 4, k = 1, 2, 3),является матрицей композиции BA : K 3 → K 4 и называется произведением BA матриц B и A:b11b21b31b41b12 b11 a11 + b12 a21b22  a11 a12 a13b21 a11 + b22 a21=b31 a11 + b32 a21b32  a21 a22 a23b42b41 a11 + b42 a21b11 a12 + b12 a22b21 a12 + b22 a22b31 a12 + b32 a22b41 a12 + b42 a22b11 a13 + b12 a23b21 a13 + b22 a23 b31 a13 + b32 a23 b41 a13 + b42 a23(∗)Теоретические задачи1.

Характеристики

Список файлов семинаров