1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (824277), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Строки матрицы BA являются линейными комбинациями строк матрицы A, а столбцыматрицы BA являются линейными комбинациями столбцов матрицы B.bbC Для матрицы X∈ Mm×n (K) обозначим через X1 , . . . , Xm её строки, а через X1 , . . . , Xn — еёX1b1 . . . Xbn . Распишем (∗) по строкам и по столбцам:столбцы. Тогда X = .
. . = XXmCi = bi1 A1 + bi2 A2 при i = 1, 2, 3, 4;bk = Bb1 a1k + Bb2 a2k при k = 1, 2, 3. BC2. Следствие. rk BA 6 rk A, rk B для любых матриц согласованных размеров.3. Если строки матрицы B (столбцы матрицы A) удовлетворяют какому-то линейному соотношению, то тому же соотношению удовлетворяют строки (столбцы) с теми же номерами матрицыBA. В частности, если i-я строка матрицы B нулевая, то i-я строка матрицы BA тоже нулевая.4. (AB)t = B t At для любых матриц согласованных размеров.5. Если матрицы A, B ∈ Mn (K) коммутируют, т. е.
AB = BA, то справедливы формулы:n(A + B) =nXk=0Cnk Ak B n−k ,nnA − B = (A − B)n−1XAk B n−1−k .k=06. Произведение верхнетреугольных матриц — верхнетреугольная матрица, аналогично — длянижнетреугольных.Упражненияa b c7. Умножьте матрицуc подходящей стороны:d e f 0 0 10 0 01 00 00 0 а) на матричные единицы,,, 0 0 0, 0 0 0;0 01 00 10 1 00 0 0 d1 0 0d1 0б) на диагональные матрицы, 0 d2 0 и, в частности, на скалярные матрицы;0 d20 0 d3в) на матрицы элементарных преобразований: 1 0 0 1 0 01 0 01 λ 0 1 λ 0 , 0 1 0 (I тип),, 0 0 1 (II тип),, 0 λ 0 (III тип);0 11 00 1λ 0 10 1 0 0 0 1 0 1 00 0 11 00 1 г) на матрицы перестановок,, 0 0 1 , 0 1 0.0 11 01 0 01 0 08.
Убедитесь в правиле умножения матричных единиц (согласованных размеров):((eil при j = k,1 при j = k,eij ekl = δjk eil =где δjk =— символ Кронекера.0при j 6= k,0 при j 6= k9. Познакомьтесь с матричной записью квадратичных и билинейных форм, вычислив a11 . . . a1ny1 a bx .. .
...а) (x y); б) (x1 . . . xn ) .. .. .. .c dyan1 . . . annyn10. Обобщите вычисления задачи 7 на случай матриц любых размеров.а) Пусть eij — квадратная матричная единица. Как из матрицы A получается матрица eij A?б) Выпишите матрицы, отвечающие за элементарные преобразования строк, а именно, такиематрицы Uij (λ), Pij , Ci (λ) ∈ Mm (K), что для любой матрицы A ∈ Mm×n (K):• матрица Uij (λ)A получается из A прибавлением к i-й строке j-й, умноженной на λ;• матрица Pij A получается из A перестановкой i-й и j-й строк;• матрица Ci (λ)A получается из A умножением i-й строки на λ.0 1 0 0 0λ 1 0 0 01 0 0 0 0 0 λ 1 0 011. Вычислите степени матриц: а) 0 0 0 1 0; б) 0 0 λ 1 0 .0 0 0 0 1 0 0 0 λ 10 0 1 0 00 0 0 0 λa0 a1 a2 · · ·b0 b1.
. . 0 a0 a1 0 b012. Перемножьте треугольные ленточные матрицы: .0 0 a0 0..0.. .. .. . ... .... . .. .2 1 013. Вычислите f (A): а) A = 0 2 1, f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 2; б) A =0 0 23f (x) = x − 3x + 2.b2 · · ·. b1 . .
. .b0 . . .. . ...2 1 11 2 1,1 1 214. Опишите матрицы из Mn (K), коммутирующие а) с e22 ; б) с e23 ; в) со всеми eij , а тогда —со всеми матрицами из Mn (K).Обратная матрицаМатрицы A, B ∈ Mn (K) над полем K, для которых AB = E = BA, называются (взаимно)обратными, обозначение: B = A−1 . Обратная матрица задаёт обратное линейное отображение.Изоморфизм колец: Mn (K) ∼= L(K n ),Mn (K) 3 A ↔ (A : X 7→ AX)— биекция, «уважающая» операции: A ↔ A, B ↔ B ⇒ A+B ↔ A+B, AB ↔ AB; 0 ↔ O, E ↔ E.∀A, B ∈ Mn (K) : AB = E =⇒ BA = E.C Пусть AB = E для A, B ∈ L(K n ) и e1 , . .
. , en — любой базис в K n . Так как B — инъекция, то векторыBe1 , . . . Ben линейно независимы, а значит, образуют базис (их n штук). Для этих базисных векторов верноравенство BAx = x. Значит, оно верно для всех x ∈ K n , т. е. BA = E. BАлгоритм обращения матрицы. Матричное уравнение AX = E, где A, X, E ∈ Mn (K) равноci = Eci (i = 1, . . .
, n) на столбцы матрицы X.сильно системе из n систем линейных уравнений AXБудем решать их одновременно — приведём матрицу (A|E) к главному ступенчатому виду. Еслиrk A = n, то получим (E|A−1 ), иначе A необратима. Разберём пример:1000a1000a101(1)−a(2) 0−→ 000 10 0a 0100100001001000010010 00 010a 0 0 11 a 0 00 1 0 00 0 10−a a2 −a31 a0 11 −a a2 ⇒0 001−a 0010 001(3)−a(4) 00 −→ 001001000a100 01(2)−a(3) 00 0 −→ 01 −a0 10−1 01 −a a20 = 0 1 −a0 0a110 00a1000 10 00 010−a3a2 (см.−a 100100 001 −a a2 →0 1 −a0 01также задачу 5).Алгоритм обобщается на матричные уравнения AX = B, где A ∈ Mn (K), B, X ∈ Mn×m (K).1 −3 0 112 −32 7 1 .2 −4 X = 10Пример.
Решим матричное уравнение 3107 8 12 −101 −30112 −312 −3 1 −3 0 132 −4 101 −1 −1 −2 −1 −1 →2 7 1 → 02 −10 100 −567 8 18 138 −131231 0 −11 0 0 6 4 5 −36 4 5 −3→ 0 1 −1 −1 −2 −1 −1 → 0 1 0 2 1 2 −7. Ответ: X = 2 1 2 −7.0 01333 −60 0 1 3 3 3 −63 3 3 −61.
Пусть AB = E для A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×m (K). Обязательно ли BA = E?Ненулевой элемент a кольца R называется левым (правым) делителем нуля, если ab = 0(ba = 0) для некоторого 0 6= b ∈ R.2. Теорема. Для матрицы A ∈ Mn (K) имеем: A обратима ⇔ A обратима слева ⇔ A обратима справа ⇔ A не левый делитель нуля ⇔ A не правый делитель нуля ⇔ rk A = n.Такие матрицы называются невырожденными.
Они образуют группу, обозначаемую GLn (K).3. Для A, B ∈ GLn (K): а) (AB)−1 = B −1 A−1 (правило рубашки и пиджака); б) (At )−1 = (A−1 )t .Ненулевой элемент a кольца R называется нильпотентным, если an = 0 для некоторого n ∈ N.4. Для верхнетреугольной матрицы A ∈ Mn (K) имеем:а) A нильпотентна ⇔ все диагональные элементы у A нулевые ⇔ An = 0;б) A обратима ⇔ элементы на диагонали в A ненулевые, и тогда A−1 тоже верхнетреугольная.5.
Если A нильпотентна, то E − A обратима.6∗. Пусть матрица A ∈ Mn (K) нильпотентна. Докажите, что An = 0.Перестановки1. Вычислите: а) (1234)(7458);б) (123)(234);26в) (372)−1 (1254)2 (56) .2. Вставьте вместо ∗ по цифре: а) (52413) = (1∗)(1∗)(1∗)(1∗); б) (123) = (4∗)(4∗)(4∗)(4∗).3. Докажите, что всякий цикл длины 10 а) является кубом некоторой перестановки иб) не является квадратом никакой перестановки.4. Верно ли, что всякая чётная перестановка является квадратом некоторой перестановки?5.
Пусть σ — цикл длины m. Определите цикловое строение перестановки σ d в каждом изслучаев: а) d | m; б) (d, m) = 1; в) d, m любые.6. Пустьσ ∈ Sm , τ ∈ Sn . Выразите через sgn σ иsgn τ знаки перестановок:1 ... m m + 1 ... m + n1...mm + 1 ... m + nа) ξ =; б) χ =.σ1 . . . σm m + τ1 . . . m + τnn + σ1 . .
. n + σmτ1...τn7. Выразите через sgn τ знаки перестановок ρ и ζ из Sn :а) ρ(i) = n + 1 − τ (i); б) ζ(i) = n + 1 − τ (n + 1 − i), i = 1, . . . , n.8. Сколько существует перестановок с цикловым типом [1k1 2k2 . . . mkm ] (ki циклов длины i)?9. Решите уравнения: а) σ 2 = (345) в S5 ; б) σ 3 = (12)(34)(56) в S6 ; в) (123)σ 3 = σ(12) в S3 ;г) σ(12)(34)σ −1 = (134) в S4 ; д) σ(12) = (12)σ в S5 .10. На отделение математики мехмата МГУ поступили триста человек. Сколькими способами их можно поровну распределить по двенадцати группам, если два распределения считаютсяодинаковыми, когда у каждого студента в обоих распределениях одни и те же одногруппники?11. Докажите, что для любых перестановок σ, τ ∈ Sn перестановки στ и τ σ имеюта) одинаковый порядок и, более того, б)∗ одинаковое цикловое строение.Геометрия определителя 3 × 3Обозначим через u ∧ v ∧ w ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на векторыu, v, w ∈ R3 , — он также называется тривектором или внешним произведением векторов u, v, w.Несложное упражнение по геометрии:тривектор полилинеен и кососимметричен.(∗)Пусть e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) и e3 = (0, 0, 1) — стандартный базис в R3 .
Распишем по немувекторы u = (a11 , a21 , a31 ), v = (a12 , a22 , a32 ), w = (a13 , a23 , a33 ). Используя (∗), получим:u ∧ v ∧ w = (a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 ) ∧ (a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 ) ∧ (a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 ) == (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ) e1 ∧ e2 ∧ e3 = |A|.|{z } | {z }1a11 a12 a13 Psgn σ a1σ(1) a2σ(2) a3σ(3) =a21 a22 a23 =|A|σ∈S3a31 a32 a33 1. Запишите уравнение плоскости, натянутой на неколлинеарные векторы (x1 , y1 , z1 ) и (x2 , y2 , z2 ).2. Найдите объём тетраэдра с вершинами (0, 0, 0), (a1i , a2i , a3i ), i = 1, 2, 3.3. Докажите, что для всех x1 , . .
. , z3 ∈ R верно неравенствоx1 x2 x3 2 y1 y2 y3 6 (x21 + x22 + x23 )(y12 + y22 + y32 )(z12 + z22 + z32 ), z 1 z2 z3 и найдите критерий его обращения в равенство.Вычисление определителей 0 . . . d1 0 A .... через |A| и |B|, где A ∈ Mm (K), B ∈ Mn (K)... . б) Выразите 4. а) Вычислите . . .B C dn . . . ∗ 5. Пусть A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×m (K) и m > n. Докажите, что |AB| = 0.A6. Как связаны |A| и | | для матрицы A порядка n?7. Для матриц A = (aij ) ∈ Mm (K) и B ∈ Mn (K) определим матрицуa11 B . . . a1m B.. ∈ M (K)...A ⊗ B := ....mn.
am1 B . . . amm BВыразите |A ⊗ B| через |A| и |B|.8∗. Для A, B, C, D ∈ Mn (K) докажите: (−1A B 6 0, = |AD − BD CD|, если |D| =а) (формулы Шура);−1C D|AD − ACA B|, если |A| =6 0 (A B = |AD − BC|, если CD = DC,б) C D|AD − CB|, если AC = CA.Основные методы вычисления определителей2n−1 1xx...x n−1x1x . . . xn−2 n−2 n−1x1 . . . xn−3 .1. Приведение к треугольному виду.
x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx 2 x3 . . .1 Вычитаем из каждой строчки, кроме последней, следующую, умноженную на x. Определительпри этом не меняется, а матрица становится нижнетреугольной с диагональными элементами1 − xn , .
. . , 1 − xn , 1.|{z}n−1Ответ: (1 − xn )n−1 .a 0 . . . 0 b 0 a . . . b 02. Приведение к блочно-треугольному виду. . . . . . . . . . . . . . . . .0 b . . . a 0 b 0 . . . 0 a{z}|2na bПереставив строки и столбцы, получим блочно-диагональную матрицу с блоками: снаb aчала переставим строки и столбцы по циклу (2 3 . . . 2n−1 2n) (определитель не изменится), в новомопределителе — по циклу (4 5 . . . 2n − 1 2n) и т. д.Ответ: (a2 − b2 )n . 1 + a1 + b 1a1 + b 2...a1 + bn a + b11 + a2 + b 2 . . .a2 + bn 3.
Использование полилинейности. 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an + b 1an + b 2. . . 1 + an + b n Матрица имеет вид C+E, где C = (ai +bj )ij . Заметим, что при n > 3 любые три строки матрицыC линейно зависимы: если вычесть одну строку из двух других, получатся пропорциональныестроки. Поэтому любой определитель, три строки которого взяты из C, равен нулю. Представимнаш определитель в виде суммы определителей 2n матриц, i-я строка каждой из которых есть i-ястрока либо матрицы C, либо матрицы E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
