Module 2 (823917)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

А.В. ГласкоЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУАНАЛИЗУМОДУЛЬ 2«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙПЕРЕМЕННОЙ»Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана20131Лекция 8§1. Понятие производной.Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности точки x0 . Пусть x –некоторая точка изэтойокрестности.Обозначим,какобычно, черезxприращениеаргумента:x  x  x0 ,ачерезy–соответствующееприращение функции(рис. 1):y  f ( x)  f ( x0 ) .Рис. 1. Приращение аргумента и приращение функции.Опр. Производной функции y  f ( x ) в точке x0 называется предел отношенияприращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, пристремлении последнего к нулю:yf '( x0 )  lim.x  0 xЕслиylim,x  0 xговорят что функция f ( x ) имеет в точке х0 бесконечную производную:f '( x0 )   .Если говорят, что функция имеет производную в точке x0 , обычно (если не оговоренообратное) подразумевают, что эта производная конечна.Производная функции в точке есть число.

Однако, если производная функции f ( x )существует в любой точке некоторого интервала (в частности, на R ), она определяетнекоторую новую функцию R  R  ( x )  f '( x ) . Нахождение производной заданнойфункции называется дифференцированием.Примеры.1. Найдем производную функции y  e x . Выбрав любую точку x  R и обозначивчерез x и y приращения аргумента и функции в этой точке, имеем:yf ( x  x )  f ( x )e x x  e xe x  1 xxy '  lim lim lim e lime ,x  0  xx  0x 0x  0xxx2et  1 1 , или соответствующегоt 0tотношения эквивалентности: et  1 ~ t при t  0 .

Таким образом, производная экспонентыравна экспоненте.2. Найдем производную функции y  ln x . x ln 1 yln( x  x)  ln xx 1x y '  lim lim lim  lim .x  0  xx  0x0x0xxxx xЗдесь использовано отношение эквивалентности ln(1  t ) ~ t при t  0 .2. Найдем производную функции y  sin x .xx 2 sincos  x ysin( x  x )  sin xx 22 y '  lim lim lim lim cos  x   cos xx  0  xx  0x0x0xx2 .Таким образом, производная синуса равна косинусу. Эта производная также определенана R . Аналогичным образом можно показать, что (cos x ) '   sin x . Рекомендуется сделатьэто в качестве упражнения.Поскольку функция f ( x ) , в общем случае, может быть определена только в правоили левосторонней окрестности точки x0 , целесообразно ввести понятие одностороннихпроизводных.Опр.

Правосторонней производной функции y  f ( x ) в точке x0 называетсяпредел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращениюаргумента, при стремлении последнего к нулю справа:yf '( x0  )  lim.x 0  xОпр. Левосторонней производной функции y  f ( x ) в точке x0 называется пределотношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращениюаргумента, при стремлении последнего к нулю слева:yf '( x0 )  lim.x  0 xОсновываясь на теореме о связи односторонних пределов с двусторонним,нетрудно доказать следующую теорему.Теорема.

Функция f ( x ) имеет в точке x0 конечную двустороннюю производнуютогда и только тогда, когда она имеет в этой точке обе конечных одностороннихпроизводных и они равны. При этом двусторонняя производная равна односторонним.в силу следствия второго замечательного предела lim§2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной инормали к графику функции.Выясним геометрический смысл производной f '( x0 ) . Пусть y0  f ( x0 ) , аy  f ( x)  f ( x0  x ) .

Построим секущую MN к графику функции f ( x ) в точке M ( x0 , y0 )– рис. 2.По мере убывания абсолютной величины x (на рис. 2 x положительна), точкаN движется вдоль графика функции по направлению к точке M , а прямая MNповорачивается вокруг точки M . В пределе x  0 точки M и N сольются в однуточку, так что прямая будет иметь единственную общую точку с графиком.3=Рис. 2.

Геометрический смысл производной.Опр. Предельное положение секущей MN графика функции f(x), при стремленииточки N к точке М вдоль графика называется касательной к графику в точке М.Очевидно, что тангенс угла между секущей MN и положительным направлениемоси Ox равенytg .xПерейдем в обеих частях этого равенства к пределу при x  0 . Посколькусекущая в этом пределе превращается в касательную, то tg  tg 0 , где  0 а – уголмежду касательной к графику функции f ( x ) в точке x0 и положительным направлениемyоси Ox .

Отношение жестремится к производной f '( x0 ) . Таким образом, производнаяxфункции f ( x ) в точке x0 равна тангенсу угла между касательной к графику даннойфункции в этой точке и положительным направлением оси абсцисс:f '( x0 )  tg 0 .Вспомним, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M ( x0 ; y0 ) ,может быть записано в видеy  y0  k  ( x  x0 ) .Постоянная k называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент равентангенсу угла между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс:k  tg . В частности, для того чтобы поучить уравнение касательной, выберем на нейпроизвольную точку P( x; y ) .

Из прямоугольного треугольника MQP на рис. 3 видим, чтоy  y0 tg 0  f '( x0 ) ,x  x04Рис. 3. Вывод уравнения касательной.илиy  y0  f '( x0 )  ( x  x0 ) .Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке M ( x0 ; y0 ) .Теперь мы можем окончательно сформулировать геометрический смыслпроизводной функции в точке: производная функции f ( x ) в точке x0 равна тангенсу угланаклона касательной к графику данной функции в этой точке по отношению кположительному направлению оси абсцисс,или, что то же самое, – угловомукоэффициенту касательной:f '( x0 )  tg 0  k .Опр.

Нормалью к графику функции f(x) в точке x0 называется прямая,перпендикулярная касательной к графику в этой точке.Из школьного курса известно, что угловые коэффициенты перпендикулярных1прямых связаны равенством k1   . Поэтому уравнение нормали имеет видk21y  y0   ( x  x0 ) .f '( x0 )5Отметим, что график функции необязательно имеет касательную в любой точке. Так нарис. 4, очевидно не существует касательной к графику в точке (с абсциссой) x0 .Рис. 4. Пример не гладкой кривой.Опр.

Кривая, имеющая касательную в любой точке (из рассматриваемогопромежутка), называется гладкой (на этом промежутке).Из геометрического смысла производной, очевидно, что если функция имеет конечнуюпроизводную в любой точке интервала (a, b) , то ее график является гладким на этоминтервале. Обратное утверждение неверно. Так на рис. 5 приведен график функции, неимеющей конечной производной в точке x0 , но тем не менее имеющий касательную вэтой точке, а значит – гладкий.Геометрический смысл бесконечной производной состоит в следующем: еслипроизводная f '( x0 )   , то касательная к графику функции f(x) в точке x0 параллельнаоси Oy и описываетсяуравнением х=х0 (рис. 5)Рис.

5.Геометрический смыслбесконечной производной.6§3. Механический смысл производной.Рассмотрим материальную точку, движущуюся прямолинейно и равномерно вдольоси Ox (рис. 6).Рис. 6. Механический смысл производной.Пусть в момент времени t материальная точка занимает положение x и за время tсовершает перемещение x .Как известно, скоростью движения такой материальной точки называется отношениеxv.tОбобщим понятие скорости на случай неравномерного движения. В этом случаеxотношениебудет зависеть от величины t . Введем понятие средней скоростиtдвижения точки за промежуток времени t :xvtи определим скорость движения в момент времени t , как предел средней скорости приt  0 .Опр.

Мгновенной скоростью движения материальной точки в момент времени tназывается предел отношения перемещения этой точки x за промежуток времени t кэтому промежутку времени при стремлении последнего к нулю:xv(t )  lim.t  0  tВ соответствии с определением производной, последнее означает, что скорость движенияматериальной точке равна производной перемещения этой точки, как функции времени:v(t )  x '(t ) .В этом и состоит механический смысл производной.Общий физический смысл производной состоит в следующем. Если x(t ) –некоторая характеристика физической системы (температура, концентрация вещества ипр.), то скорость изменения этой характеристики с течением времени равнаv(t )  x '(t ) .Аналогичным образом определяется скорость изменения характеристик объектов (систем)любой природы (химических, геологических, астрономических, психических, социальных,экономических и пр.), т.е.

скорость протекания любых процессов. Например, скоростьроста (изменения) численности населения равна производной этой численности повремени.§4. Дифференцируемость функции в точке.Опр. Функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 , если существуеттакая постоянная A , что приращение функции в этой точке при x  0 представимо ввидеy  Ax  o(x ) .7Отметим, что величина A называется постоянной в том смысле, что она не зависит от x .В то же время, она, вообще говоря, зависит от x0 .Теорема.

Функция f ( x ) дифференцируема в точке х0 тогда и только тогда, когдаона имеет в этой точке конечную производную. При этом A  f '( x0 ) .Доказательство. Покажем сначала, что если функция дифференцируема в точкеx0 , то она имеет в этой точке конечную производную, причем f '( x0 )  A . Для этогоразделим обе части равенстваy  Ax  o(x )на x . Имеем:yo(x ) A.xxПереходя к пределу при x  0 в обеих частях равенства и учитывая, что, поопределению б.м.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий