Module 2 (823917), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

8).Обозначим через x приращение аргумента в точке x0 , а через y - соответствующееприращение функции.Рассмотрим два случая.1) Пусть x  0 . Т.к. x0 – точка максимума, то f ( x0  x)  f ( x0 ) иyyy  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x0xx2) Пусть x  0 . Т.к. x0 – точка максимума, то по-прежнемуyyf ( x0  x)  f ( x0 )  y  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x 0  xxПоскольку, по условию теоремы, функция f ( x ) имеет (конечную) производную в точкеx0 , то существует двусторонний пределyy '( x0 )  lim,x  0  xно, как известно, это возможно только в том случае, если существуют обасоответствующих односторонних предела и они равны. При этом двусторонний пределравен односторонним:yyylim lim lim.x  0   xx  0   xx 0 xОднако, из полученных неравенств для односторонних пределов очевидно, что они могутбыть равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю.

Следовательно, нулю равени двусторонний предел, т.е. y '( x0 ) :yy '( x0 )  lim 0.x 0 xВ случае, когда x0 – точка минимума, доказательство проводится аналогично.Теорема доказана.Пример. Рассмотрим функцию y  x 2 . Очевидно, точка x  0 является точкойминимума данной функции (рис. 9). При этом y '  2 x и y '(0)  0 .45Рис. 9. График функции y  x 2 .Замечание.

Доказанная теорема является необходимым, но не достаточным условиемэкстремума дифференцируемой функции: из того что f ( x0 )  0 еще не следует, что x0 –точка экстремума.Пример. y  x3 , y   3 x 2 ; y (0)  0 , но точка x  0 , очевидно не является точкойэкстремума данной функции (рис. 10).Рис.

10. График функции y  x3 .Опр. Точки, в которых производная функции обращается в ноль называютсястационарными точками данной функции (для данной функции).§11. Экстремумы функции в точках недифференцируемости.Итак, дифференцируемая в точке x0 функция может иметь в этой точке экстремумтолько в том случае, если f ( x0 )  0 . Однако, функция может иметь экстремум в точке x046и в том случае, если она недифференцируема в этой точке (т.е.

не имеет в нейпроизводной).Пример. Рассмотрим функцию y  x . График этой функции представлен на рис. 11.Очевидно, что точка x  0 – точка минимума. Однако, в этой точке не существует никонечной, ни бесконечной производной функции y '(0)  1 , y '(0)  1 , т.е.y '(0)  y '(0) .Рис. 11. График функции y  x .Пример. Функция y  x 2 /3 , очевидно, имеет минимум в точке x  0 (рис. 12).2Производная этой функции y '  x 1/3 и y '(0)   .3Рис. 12.

График функции y  x 2 /3 .Итак, функция y  f ( x) может иметь экстремум в точке x0 только в 2-х случаях:1) f ( x0 )  02) f ( x0 )   (в частности, f ( x0 )   ).В первом случае, график функции в точке экстремума гладкий (рис. 9) и касательная кнему параллельна оси абсцисс, либо совпадает с ней (гладкий экстремум).

Во втором47случае (рис. 11, 12), график в точке экстремума не гладкий (острый экстремум), причем,если f ( x0 )   , то касательная к нему параллельна оси ординат, либо совпадает с ней(рис. 12).Однако выполнение одного из приведенных условий еще не значит, что в точке x0имеется экстремум (это необходимые условия, а не достаточные). Пример отсутствияэкстремума для случая f ( x0 )  0 был рассмотрен выше (рис.

10). Рассмотрим примеротсутствия экстремума в случае, когда f ( x0 )   .Рис. 13. График функции y  3 x .Пример. Функция y  3 x , очевидно, не имеет экстремума в точке x  0 (рис. 13).1Однако ее производная в этой точке не существует: y '  x 2 /3 , y '(0)   .3Опр. Точки, в которых производная функции f ( x ) равна нулю или не существует,называется критическим точками этой функции.§12. Первый достаточный признак локального экстремума.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) дифференцируема в проколотой окрестностиu ( x0 ) точки x0 и непрерывна в u ( x0 ) . Тогда, если производная данной функции меняетзнак при прохождении через точку x0 , то x0 – точка экстремума, причем:1) если при x  x0 f '( x)  0 , а при x  x0 f '( x)  0 , то x0 – точка максимума;2) если при x  x0 f '( x)  0 , а при x  x0 f '( x)  0 , то x0 – точка минимума.Доказательство.

Проведем доказательство для точки максимума. В случае точкиминимума оно аналогично. Рассмотрим два случая.1) Пусть x  x0 (рис. 14).48Рис. 14. Диаграмма знакопостоянства производной f '( x) .На  x0 , x выполняются условия теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжаc   x0 , x  : f ( x )  f ( x0 )  f (c)  ( x  x0 )Т.к.x  x0  0 и f ( x )  0 x  ( x0 , x) , а значит f (c)  0 ,тоf ( x )  f ( x0 )  0 и f ( x)  f ( x0 ) .2) Пусть x  x0 (рис. 15).Рис.

15. Диаграмма знакопостоянства производной f '( x) .На  x, x0  f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжаc  ( x, x0 ) : f ( x0 )  f ( x)  f (c)  ( x0  x) .Т.к. x0  x  0 , и f ( x )  0 x  ( x, x0 ) , а значит f (c)  0 ,тоf ( x0 )  f ( x )  0 и f ( x)  f ( x0 ) .Таким образом, как в левосторонней, так и в правосторонней окрестности точки x0выполняется неравенствоf ( x)  f ( x0 ) .Следовательно, x0 – точка максимума.Теорема доказана.49§13.

Второй достаточный признак локального экстремума.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) имеет непрерывную вторую производную внекоторой окрестности u( x0 ) точки x0 и пусть f '( x0 )  0 . Тогда1) Если f ''( x0 )  0 , то x0 - точка максимума.2) Если f ''( x0 )  0 , то x0 - точка минимума.Доказательство. Представим функцию f ( x ) по формуле Тейлора 2-го порядка вокрестности точки x0 :f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 )  ( x  x0 ) 2  f ''( x0 )  ( x  x0 ) 2  o(( x  x0 ) 2 )Так как f '( x0 )  0 , тоf ( x )  f ( x0 )  f ''( x0 )  ( x  x0 ) 2  o(( x  x0 ) 2 )В достаточно малой окрестности точки x0 остаточный член пренебрежимо мал посравнению с первым слагаемым в правой части равенства и знак правой части равенстваопределяется первым слагаемым, поэтому :1) Если f ''( x0 )  0, то f ( x )  f ( x0 )  0 в достаточно малой окрестности u( x0 ) иf ( x )  f ( x0 ) x  u ( x0 ).

Следовательно, x0 – точка локального максимума.2) Если f ''( x0 )  0, то f ( x )  f ( x0 )  0 в достаточно малой окрестности u( x0 ) иf ( x )  f ( x0 ) x  u ( x0 ) и x0 – точка минимума.Теорема доказана.Замечание. Если f ''( x0 )  0 , то второй достаточный признак не позволяетисследовать функцию на экстремум.§14.

Схема исследования функций на возрастание и убывание.Для нахождения экстремумов функции и исследования функции на возрастание иубывание, необходимо выполнить следующую последовательность действий.1. Найдем f '( x) .2. Найдем точки x0 , в которых производная функции обращается в ноль:f '( x0 )  0 . Такие точки называются стационарными точками.3.

Найдем точки x0 , в которых производная функции не существует (в частности,равна бесконечности): f '( x0 )   . Такие точки, как и стационарные точки называютсякритическими точками. Критические точки – это потенциальные точки экстремума (приусловии, что сама функция в них определена).4. Разобьем область определения функции y  f ( x ) на интервалы критическимиточками и точками разрыва (изображаются пустыми кружочками) и определим знакпервой производной на каждом интервале (рис. 16).Рис.

16. Интервалы знакопостоянства производной.5. Используя первый достаточный признак экстремума, выясним, какие изкритических точек являются точками экстремума.6. Найдем значения функции в точках экстремума.Пример. Исследуем на экстремум функцию y  x  3 ( x  1) 2 .50Производная равна35 x  5y '  3.3 x 1Критические точки:3x( y '  0), x  1 ( y '  ).5Ниже приведена диаграмма знакопостоянства производной (рис. 17). При больших xпроизводная, очевидно, положительна, при прохождении через точку x=1 она меняет знакза счет знаменателя, при прохождении через точку x=3/5 – за счет числителя.Рис. 17. Интервалы знакопостоянства производной функцииy  x  3 ( x  1) 2 .3– точка гладкого максимума, а x  1 в – точка острого минимума.5Т.к. y '(1)   , график функции входит и выходит из этой точке по касательной к прямойx  1 , параллельной оси ординат.3 3 4Значения функции в точках экстремума: y    3, y (1)  0 . 5  5 25Таким образом, x На рис.

18 представлен эскиз графика функции y  x  3 ( x  1) 2 .Рис. 18. Эскиз графика функции y  x  3 ( x  1) 2 .Лекция 13§1. Направления выпуклости графика функции.Вспомним, что кривая называется гладкой, если она в каждой точке имееткасательную. Если функция y  f ( x ) дифференцируема на интервале ( a , b) , то ее графикявляется гладкой кривой на этом интервале.Опр. Говорят, что график функции, дифференцируемой на ( a , b) , является выпуклым(выпуклым вверх) на интервале ( a , b) , если касательная к нему в любой точке из этогоинтервала лежит выше графика.51Опр. Говорят, что график функции, дифференцируемой на ( a , b) , является вогнутым(выпуклым вниз) на интервале ( a , b) , если касательная к нему в любой точке из этогоинтервала лежит ниже графика.Так, график, представленный на рис.

1, является выпуклым.Рис. 1. Пример выпуклого графика.Опр. Точкой перегиба называется точка графика функции, при прохождении черезкоторую меняется направление выпуклости графика (с выпуклости на вогнутость, илинаоборот).Пример точки перегиба представлен на рис. 2.Рис.

2. Точка перегиба графика функции.В точке пергиба касательная пересекает график.§2. Достаточное условие выпуклости графика функции.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) дважды дифференцируема на ( a , b) (т.е.x  ( a , b )f ''( x ) ). Тогда1) Если x  ( a , b ) : f ''( x )  0 , то график функции y  f ( x ) выпуклый на ( a , b) .2) Если x  ( a , b ) : f ''( x )  0 , то график функции y  f ( x ) вогнутый на ( a , b) .Доказательство. Покажем, что при f ''( x)  0 x  (a, b) касательная лежит вышеграфика функции, т.е. ордината любой точки касательной y больше ординатысоответствующей точки графика f ( x ) : y  f ( x ) , а при f ''( x)  0 – наоборот.52Запишем уравнение касательной к графику функции y  f ( x ) в произвольнойточке x0  (a, b) :y  f ( x0 )  f '( x0 )  ( x  x0 ) ,илиy  f ( x0 )  f '( x0 )  ( x  x0 ) .Разность ординат точки касательной и точки графика равна:y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x)  f '( x0 )  ( x  x0 )Пусть, для определенности, x  x0 .

Функция f ( x ) на [ x0 , x ] удовлетворяет условиямтеоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа, c  ( x0 , x) : f ( x)  f ( x0 )  f '(c)  ( x  x0 ) .Следовательно,y  f ( x )   f '(c )  ( x  x0 )  f '( x0 )  ( x  x0 ) ,илиy  f ( x )  ( x  x0 )  ( f '( x0 )  f '(c )) .Поскольку x  x0 и c  ( x0 , x) , то c  x0 . Функция f '( x ) на [ x0 , c ] удовлетворяет условиямтеоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа c1  ( x0 , c ) : f '(c)  f '( x0 )  f ''(c1 )  (c  x0 ) y  f ( x )   ( x  x0 )  (c  x0 ) f ''( c1 )Поскольку x  x0 и c  x0 , то ( x  x0 )  (c  x0 )  0 .К тому же результату придем и в случае x  x0 и(использовав теорему Лагранжа насегменте [ x, x0 ] ).Теперь рассмотрим по отдельности два случая.1) Если, f ''( x)  0 x  (a, b), то y  f ( x)  0 , т.е. y  f ( x ) , т.е.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий