Module 2 (823917), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

расстояние от точки до началакоординат (полярный радиус). Так же как и декартовы координаты, полярные координатызадают точку на плоскости взаимнооднозначно.Рис. 1. Полярные координаты точки на плоскости.Положительным направлением отсчета полярного угла считается направление противчасовой стрелки.Для того, чтобы установить связь полярных координат с декартовыми, направим осьабсцисс вдоль полярной оси. Тогда полярный угол – это угол, составляемый радиусвектором точки с осью абсцисс (рис.

2).Рис. 2. Связь полярных координат с декартовыми.Из прямоугольного треугольника ONM нетрудно видеть, что полярные и декартовыкоординаты связаны следующими формулами:x   cos  , y   sin  .Кривая в полярных координатах задается уравнением  R( ) ,   [ ,  ] .Ниже приведены наиболее часто используемые кривые в полярных координатах. В рядеслучаев, указано также их уравнение в декартовых координатах.Кривые в полярных координатах1) x 2  y 2  a 2 a612) ( x  a )2  y 2  a 2  2a cos 3) x 2  ( y  a) 2  a 2  2a sin 4) x  aacos 5) y  aasin 6)  a (1  cos  )10) 2  a 2 cos 2II.

В пространстве.1) Кривая в пространстве может быть задана, как линия пересечения двух поверхностей: z  f1 ( x, y ). z  f 2 ( x, y )2) Параметрически:62 x  1 (t ) y  2 (t ) , t  [ ,  ] . z   (t )3Пример. Уравнения x  cos t y  sin t , t  0z  tзадают круговую спираль, вьющуюся вокруг оси Oz . Действительно, первая парауравнений задает окружность на плоскости xOy , но переменная z монотонно возрастаетс ростом t .§2. Дифференциал длины дуги кривой.Пусть задана гладкая кривая на плоскости, ограниченная точками A и B.

Введемопределение длины этой кривой. Для этого разобьем кривую точками M 1 , M 2 ,…, M n намножество частей и построим ломаную AM1M 2 ...M n B .Рис. 3. Приближение дуги ломаной.Очевидно, что чем мельче будет разбиение – тем больше ломаная будет сливаться скривой и тем меньше периметр ломаной (т.е. сумма длин ее звеньев) будет отличаться отдлины дуги.Опр. Длиной дуги гладкой кривой l называется предельное значение периметра Lломаной AM1M 2 ...M n B при стремлении длины максимального из ее звеньев к нулю:l  lim L .d 0Аналогично определяется и длина дуги пространственной кривой.Теорема.

Предел отношения длины дуги гладкой кривой l к длине стягивающейее хорды s (рис. 4) при стремлении последней к нулю равен единице:llim1s  0 sРис. 4. Иллюстрация к теореме об эквивалентности дины дуги длине стягивающейее хорды.Другими словами, l ~ s при s  0 .Рассмотрим кривую на плоскости, заданную уравнением y  f ( x ) .63Рис.

5. Длина дуги кривой, как функция переменной x .Пусть А – фиксированная точка этой кривой: A( x0 , y0 ) , а точка B( x, y ) может свободноперемещаться вдоль кривой (рис. 5). Тогда длина дуги кривой AB является функциейабсциссы x точки В:l  l ( x) .Поставим задачу вычисления производной и дифференциала этой функции. Рассмотрим,для начала случай, когда кривая задана параметрически: x   (t ),t  [ ,  ] . y   (t )dlТогда длина дуги является функцией параметра t . Найдем производную.

Т.к. длинаdtдуги дуги кривой эквивалентна длине стягивающей ее хорды, при стремлении последней кнулю: l ~ s при s  0 ,dlls lim lim.dt t  0 t  t 0 tРис. 6. Иллюстрация к вычислению производной длины дуги.Из прямоугольного ABC на рис. 6 видим, чтоs  (x) 2  (y )2 ,следовательно22( x ) 2  ( y ) 2dl x   y  lim lim      .t0t0dtt t   t По теореме о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, получим искомуюформулу для производной длины дуги:dl xt 2  yt 2 ,dtгде точками обозначены производные функций x(t ) и y (t ) по переменной t . Формула длядифференциала длины дуги имеет видdl  xt 2  yt 2 dt .Внося dt под знак корня и сокращая на dt 2 , можно записать также эту формулу в видеdl  dx 2  dy 2 .64Вернемся теперь к случаю, когда кривая является графиком функции y  f ( x ) .Полагая t  x , получим: xt  1 , yt  f '( x) ,dl2 1   f '( x )  .dx2dl  1   f '( x)  dx .Наконец, рассмотрим случай, когда кривая задана в полярных координатах:  r ( ) .Декартовы координаты произвольной точки на кривой задаются равенствами: x  r ( ) cos . y  r ( ) sin Эти равенства можно рассматривать как параметрические уравнения кривой с параметромt   .

Имеем:dl  ( x ')2  ( y ')2 d ,x '  r 'cos   r sin   ( x ')2  r '2 cos 2   2r ' r cos  sin   r 2 sin 2 y '  r 'sin   r cos   ( y ')2  r '2 sin 2   2r ' r cos  sin   r 2 cos 2  .Отсюда получим:( x ')2  ( y ')2  (r ') 2  r 2Таким образом,dl  r 2  (r ')2 d ,аdl r 2  (r ')2 .dЕсли пространственная кривая задана параметрически уравнениями x   (t )t  [ ,  ] , y   (t ) z   (t )то дифференциал длины дуги такой кривой задается формулойdl  ( xt ')2  ( yt ')2  ( zt ') 2 dtилиdl  (dx) 2  (dy )2  (dz )2 ,а производная:l '(t )   '2 (t )  '2 (t )   '2 (t ) .§3. Кривизна плоской кривой.Кривизна кривой есть количественная мера ее искривленности. Пусть на плоскостиимеется кривая L . Построим к ней касательные в 2-х точках: A и B .

Обозначим длинудуги кривой AB через l (рис. 7).Опр. Угол  , на который поворачивается касательная к кривой L приперемещении из точки A в точку B , называется углом смежности.Опр. Средней кривизной кривой L на участке AB называется отношение модуляугла смежности к длине дуги AB :65K cp |  |.lРис. 7. Кривизна кривой.Пример. Найдем среднюю кривизну окружности радиусом R . С учетом того, чтодлина дуги части окружности с углом раствора  равна l  R (   0 ),|  |1K cp  .R |  | RКак и следовало ожидать, кривизна окружности постоянна и обратно-пропорциональнарадиусу.Пример.

Поскольку для любого участка прямой  =0, средняя кривизна прямойтоже постоянная и равна нулю: Кср=0.Подобно тому, как средняя скорость позволяет определить мгновенную скорость,Кср позволяет определить кривизну в точке.Опр. Кривизной кривой в точке А называется предел отношения модуля угласмежности к длине дуги AB при стремлении последней к нулю:|  |K  lim K cp  lim.l  0l 0 lДругими словами, кривизна кривой определяется формулой:dK.dlПусть гладкая кривая L задана уравнением y  f ( x ) .

Найдем кривизну этой кривой.Т.к. кривая гладкая, При l  0   0 . Дифференциал длины дуги dl  1  ( y ') 2 dx .Тангенс угла наклона касательной tg  y ' , поэтому   arctg ( y ') иy ''d dx .1  y '2Таким образом,K ( x) dy ''y ''.dl(1  y '2 )3/ 2(1  y '2 ) 1  y '2Итак, мы получили следующую формулу вычисления кривизны плоской кривой:| y '' |K ( x) .(1  y '2 )3/ 2Пусть теперь кривая задана параметрически: x   (t ). y   (t )Тогдаy 'y '' x ' y ' x ''y x '  t , y x ''  t t 3t t ,xt '( xt ')66откудаK (t ) | yt '' xt ' yt ' xt '' |  y '( xt ')3  1   t   xt ' 232| yt '' xt ' yt ' xt '' |232 2.( xt '  yt ' )Итак,K| yt '' xt ' yt ' xt '' |232 2( xt '  yt ' )§4. Радиус, центр и круг кривизны, эволюта и эвольвента.Рассмотрим снова гладкую кривую L на плоскости.

Выберем произвольную точкуM на этой кривой и построим нормаль к кривой в этой точке. Отложим вдоль нормаливеличину1RKв сторону, противоположную направлению выпуклости кривой. В результате получимточку O . Если теперь построить окружность с центром в точке O радиусом R , токривизна этой окружности будет равна кривизне кривой в точке M (поскольку кривизна1окружности равна K  ), а потому малый участок кривой по обе стороны от точки MRможно хорошо приблизить участком окружности (рис. 8).1Опр. Точка O называется центром кривизны кривой L , величина R –Kрадиусом кривизны, а круг с центром в точке O радиусом R – кругом кривизны.Рис.

8. Радиус, центр и круг кривизны кривой.Очевидно, каждой точке кривой L отвечает свой центр кривизны.Опр. Геометрическое место центров кривизны кривой L называется эволютойэтой кривой, а сама кривая L по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.Пример. В качестве примера, на рис. 9 представлена эволюта параболы y 2  2 px( p  0 ).Свойства эволюты и эвольвенты.Теорема. Нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте.Теорема. Если на некотором участке кривой M 1M 2 радиус кривизны изменяетсямонотонно, приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (поабсолютной величине) соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.67Рис. 9.

Эволюта параболы.Лекция 21§1. Векторная функция скалярного аргумента.Рассмотрим вектор в пространстве: r  xi  yj  zk .Пусть координаты этого вектора являются функциями независимой переменной t :x  f1 (t ) ; y  f 2 (t ) ; z  f 3  t  ,тогда и сам вектор меняется с изменением t : r  r t   x t  i  y t  j  z t  k(1)Такой вектор r (t ) называется векторной функциейскалярного аргумента t (вектор-функцией). Заданиевекторной функции r (t ) эквивалентно заданию трехобычных ( R  R ) функций: x(t ), y (t ), z (t ) .Рис.

1. Годограф векторной функции.Векторная функция – однозначное соответствие R  R 3 (значению t ставится всоответствие значение трех переменныхx, y, z ). Поместим начало вектора r (t ) в начало координат, тогда с изменением tконец вектора r будет описывать некоторую линию L в пространстве. Эта линия(рис. 1) называется годографом векторной функции r (t ) . Уравнение (1) называетсявекторным уравнением кривой L (годографа). Если x, y, z а – координатыматериальной точки в пространстве, а t – время, то годограф представляет собойтраекторию движения материальной точки, а уравнение (1) – это уравнениедвижения.Выделим следующие частные случаи.681) Если с изменением t меняется только длина вектора r (t ) , а направление неменяется, то годограф – луч исходящий из начала координат (рис.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий