Module 2 (823917), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Геометрический смысл дифференциала.Как известно, уравнение касательной к графику функции f ( x ) в точке ( x0 , y0 ) , гдеy0  f ( x0 ) , имеет вид:y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) .Не трудно заметить, что правая часть этого уравнения равна дифференциалу функцииf ( x ) в точке x0 : f '( x0 )( x  x0 )  f '( x0 )x  dy .

Таким образом,dy  y  y0 ,т.е. дифференциал функции f ( x) равен приращению ординаты касательной к кривой y= f ( x) в точке x0 , соответствующему приращению независимого аргумента x (см. рис.2). В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.Рис. 2. Геометрический смысл дифференциала.§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала.Формулу (3) иногда называют формой первого дифференциала.

Мы получили ее впредположении, что x – независимая переменная. Докажем, что она останетсясправедливой и в случае, если x – функция некоторой независимой переменной t .Теорема. Форма первого дифференциала (3) не зависит от того, является аргумент xнезависимой переменной или функцией другого аргумента.Доказательство. Пусть y  f ( x) , x   (t ) , т.е. y – сложная функция независимойпеременной t :y  f ( x)  f ( (t ))  F (t ) .По формуле вычисления дифференциала, имеем:dy  F '(t )dt .С другой стороны, по теореме о производной сложной функции,F '(t )  f '( x ) '(t ) ,Значитdy  f '( x) '(t )dt  f '( x)dx,поскольку '(t )dt  dx .Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой имел бы втом случае, если бы промежуточный аргумент x был независимой переменной.

Форма (3)не изменилась.20Теорема доказана.§ 10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.Как говорилось выше, если функция дифференцируема в точке x0 , то ееприращение в этой точке представимо в видеy  f '( x0 )x  o(x) при x  0 ,и если f '( x0 )  0 , тоy ~ f '( x0 )x ,т.е.y ~ dy при x  0 .yyЭквивалентность означает, что lim 1 ,т.е. при достаточно малых x отношениеx  0 dydyбудет сколь угодно близко к единице :y 1   , для сколь угодно малого  , если только x достаточно мало (поdyабсолютной величине).

Иными словами, при малых по модулю x , можно приближеннозаменить y на dy :y  dy  f '( x0 )x .(4)Причем, чем меньше x , тем выше точность этого приближения.Последнее позволяет использовать дифференциал для приближённых вычисленийначений различных функций. Действительно, пусть нам известны значения функцииf ( x0 ) и её производной f ( x0 ) в точке x0 , и требуется найти приближённое значениефункции f ( x) в достаточно близкой к x0 точке x  x0  x : f ( x0  x )  ? Т.к., поопределению приращения функции,y  f ( x0  x )  f ( x0 ) ,то f ( x0  x)  f ( x0 )  y и, с учетом (4),f ( x0  x )  f ( x0 )  dy  f ( x0 )  f ( x0 )x .(5)Точность этой приближенной формулы тем выше, чем меньше x .Поскольку, дифференциал, как известно, равен приращению ординаты касательной кграфику функции f ( x ) в точке x0 , приближение (5) есть приближение графика функцииучастком касательной в малой окрестности точки x0 (рис.

3).Примеры. В достаточно малой окрестности точки x0 справедливы следующиеформулы:1)sin( x0  x )  sin x0  cos x0  x2)ln( x0  x)  ln x0 3)x0  x  x0 xx0x2 x021Рис. 3. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.Найдем, для более конкретного примера, приближенное значение ln(1.1) .Используя вторую из приведенных формул, получим:0.1ln(1.1)  ln(1  0.1)  ln1  0.11Здесь x0  1 , а x  0.1 .§ 11.

Правила вычисления дифференциала.Используя формулу вычисления дифференциала и правила дифференцирования, нетрудно получить следующие формулы:1) d (const )  02) d (u  v)  du  dv3) d (uv)  udv  vdu u  udu  vdv4) d   b2vЗдесь имеется в виду, что u и v в – некоторые функции независимой переменнойx.Выведем, для примера, 2-ю и 4-ю формулы:d  u  v    u  v  ' dx   u ' v ' dx  u ' dx  v ' dx  du  dv'u ' v  uv 'vu ' dx  uv ' dx vdu  udvu ud      dx dx 2vv2v2v vОстальные формулы выводятся аналогично.§ 12.

Дифференциалы высших порядков.Пусть функция y  f ( x ) определена и дифференцируема на сегменте  a, b . Тогда вкаждой точке этого сегмента существует дифференциал.22dy  f ( x) dx.При этом, очевидно, дифференциал можно рассматривать как функцию переменной x :dy  dy ( x), x  [a, b].Отметим, что приращение dx  x не является функцией от x , поэтому дифференциалзависит от x только через f ( x ). Раз дифференциал – это функция, то можно вычислитьдифференциал этой функции (дифференциал дифференциала).Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции y  f ( x )называется дифференциал от дифференциала этой функции:d 2 y  d (dy )Аналогично, третьим дифференциалом (дифференциалом 3-го порядка) функцииy  f ( x ) называется дифференциал от второго дифференциала этой функции:d 3 y  d (d 2 y )В общем случае введем следующее определение.Опр.

n – ымдифференциалом или дифференциалом n - го порядка функцииy  f ( x ) называется дифференциал от (n-1) – го дифференциала этой функции:d n y  d (d n1 y ), n  2,3,... .Используя формулу вычисления первого дифференциала, найдем явные выражениядля дифференциалов высших порядков. Для второго дифференциала имеем:d 2 y  d (dy )  d ( ydx)  ( y dx) ' dx  y (dx)2  ydx 2 ,Итак:d 2 y  ydx 2 ,Следует подчеркнуть, что под dx 2 здесь подразумевается квадрат дифференциала, а недифференциал квадрата: dx 2  (dx )2 .Аналогично, для третьего дифференциала имеем:d 3 y  d (d 2 y )  d ( ydx 2 )  ( y dx 2 )dx  ydx 3 ,где использовано обозначение: dx3  (dx)3 .В общем случае, для дифференциала n -го порядка, найдем:d n y  d (d n1 y )  d ( y ( n 1) dx n1 )  ( y ( n1) dx n 1 ) ' dx  y ( n ) (dx) n  y dx n ,где использовано обозначение: dx n  (dx )n .

Итак, мы получили формулу вычисленияn -го дифференциала:d n y  y ( n) dx n ; n  1, 2,... .Очевидно, что из полученной формулы следует формула для производной n -гопорядка:dnyy(n)  ndx(читается: d n y по dx n ). В частности:y  d2yd3y,ydx 2dx3и т.д.Замечание. Свойством инвариантности формы дифференциалов высших порядков необладают. Поэтому полученные формулы связи дифференциала с производной приn  1 верны только в том случае, если x – независимая переменная.23Лекция №10§1.

Теорема Ферма.Теорема. Пусть функция y  f ( x) определена и непрерывна в некоторойокрестности т. x0 и пусть в точке x0 она достигает своего наибольшего или наименьшегозначения. Тогда, если в точке x0 существует производная этой функции, то она равнанулю.Доказательство. Пусть функция f ( x ) достигает своего наибольшего значения вточке x0 . Тогда для любого (как положительного, так и отрицательного) xf ( x0  x)  f ( x0 )и приращение функции в точке x0y  f ( x0  x )  f ( x0 )  0 .yy1) Пусть x>0 , тогда 0 . Следовательно, lim y '( x0  )  0 ;x0xxyy2) Пусть x<0 , тогда 0 .

Следовательно, lim y '( x0 )  0 .x 0  xxПоскольку, по условию теоремы, функция f ( x ) имеет (конечную) производную в точкеx0 , то существует двусторонний пределyy '( x0 )  lim,x  0  xно, как известно, это возможно только в том случае, если существуют обасоответствующих односторонних предела и они равны. При этом двусторонний пределравен односторонним:yyylim lim lim.x  0   xx  0   xx 0 xОднако, из полученных неравенств для односторонних пределов, очевидно, что они могутбыть равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю. Следовательно, нулю равени двусторонний предел, т.е. y '( x0 ) :yy '( x0 )  lim 0.x 0 xВ случае, когда функция достигает в точке x0 своего наименьшего значения,доказательство проводится аналогично.Теорема доказана.Эта теорема имеет наглядный геометрический смысл (рис.

1). Касательная кгладкому графику в точке максимума или минимума (наибольшего или наименьшегозначения) параллельна оси абсцисс.Теорема. Пусть функция y  f ( x) удовлетворяет следующим условиям:1) Непрерывна на отрезке [ a , b ] ;2) Дифференцируема на интервале (a , b) ;3) Принимает одинаковые значения на границах сегмента [ a , b ] : f ( a )  f (b)Тогда найдется точка с  ( a , b ) такая, что f '(c )  0 .24Рис.

1. Иллюстрация к теореме Ферма.§2.Теорема Ролля.Доказательство. Так как функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] , онапринимает на этом сегменте свое наибольшее ( M ) и свое наименьшее ( W ) значения(одно из свойств функции, непрерывной на отрезке):c  [ a , b ] : f ( c )  Mc '  [a , b] : f (c ')  W1) Допустим, для начала, что наибольшее и наименьшее значения равны: W  M .Очевидно, что в этом случае на отрезке [ a , b ] f ( x )  const .

Действительно, так как W иM а – наименьшее и наибольшее значения функции, тоW  f ( x)  M , x  [ a, b ].Но, с учетом того, чтоW  M,M  f ( x)  M .Следовательно,f ( x )  M  const , x  [ a , b ].Производная постоянной равна нулю в любой точке и утверждение теоремы в этомпростейшем случае выполняется.2) Допустим теперь, что W  M . В этом случае, одно из этих чисел не совпадает созначением функции на границах сегмента f ( a )  f (b) . Пусть, для определённости, этоM . Тогда функция f ( x ) принимает свое наибольшее значение не на границе сегмента, а внекоторой внутренней точке c интервала (a , b) :f (c )  M , c  ( a , b ) .Рассмотрим произвольную окрестность u ( c) точки c , лежащую внутри интервала (a , b) :u ( c)  ( a , b ) .В этой окрестности функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Ферма, а значитf '(c)  0.Действительно,Теорема доказана.На рис.

2 представлена иллюстрация теоремы Ролля. В точке с касательная кграфику параллельна оси абсцисс.Замечание. Если функция y  f ( x) дифференцируема не во всех точках интервала(a , b) , то утверждение теоремы может оказаться неверным, т.е. на ( a , b ) может неоказаться точки c , в которой f '(c )  0 . Так на рис. 3 представлен график функцииy  1  3 x2на сегменте x  [1,1] .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий