Module 1 (823916), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Однако, этой теоремой можно воспользоваться последеления числителя и знаменателя дроби на x 2 , равно как и теоремой о пределе суммы.Окончательный результат получаем с учетом того, что11 0 и 2  0 при x  xx(по теореме о связи б.б. и б.м. функций),а постоянную можно выносить за знак предела.Здесь имеет место неопределенность§7. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.Теорема (о сохранении функцией знака предела).

Если при x  * функцияимеет предел отличный от нуля, то существует проколотая окрестность u () , внутрикоторой знак функции совпадает со знаком ее предела.Рис. 2. Иллюстрация теоремы о сохранении функцией знака предела.Доказательство. Докажем эту теорему для случая положительного предела. Дляслучая отрицательного предела доказательство аналогично.|a|Пусть lim f ( x)  a  0 .

Положим  .x *2|a|По определению предела, u () : x  u ()  | f ( x )  a |2Раскрывая модуль, получим:a|a||a| f ( x)  a 2231При a  0 имеем | a | a иa3 f ( x)  a .22a 0.2Таким образом, существует u (*) , внутри которой f ( x )  0 .При a  0 имеем | a | a иИз левого неравенства видим, что f ( x ) 3aa  f ( x)  .22a0.2Таким образом, существует u (*) , внутри которой f ( x)  0 .Теорема доказана.Из правого неравенства видим, что f ( x ) На рис. 2 представлена иллюстрация этой теоремы для случая конечно-удаленнойпредельной точки (   x0 ) и a  0 .Рис. 3. Иллюстрация следствия теоремы о сохранении функцией знака предела.Следствие. Еслиlim f ( x)  a , то a  0 .f ( x)  0в некоторой окрестностиu ()и существуетx *Действительно, если бы выполнялось неравенство a  0 , то из доказанной теоремыследовало бы, что u 1 (*) , внутри которой f ( x)  0 , что противоречит условию(существованию окрестности, в которой f ( x)  0 ).Рис.

3 иллюстрирует данное следствие для случая   x0  .Теорема (о переходе к пределу в неравенстве). Пусть в некоторой окрестностиu () выполняется неравенство f ( x)  g ( x ) , и пусть существуют пределы функций f ( x )и g ( x) при x  * : lim f ( x)  a , lim g ( x)  b .x *x *Тогда имеет место неравенство: a  b .32Рис. 4. Иллюстрация теоремы о переходе к пределу в неравенстве.Доказательство.Внутриu () ,вкоторой ( x )  g ( x)  f ( x)  0 , но в силу следствия теоремы lim( g ( x)  f ( x))  0 .g ( x)  f ( x) ,функция1 это значит, чтоx *Используя арифметические свойства предела, получим: lim( g ( x)  f ( x))  lim g ( x)  lim f ( x )  0 ,x *x *x *следовательноlim g ( x)  lim f ( x) ,x *x *т.е.ab.Теорема доказана.Рис.

4 иллюстрирует данную теорему для случая   x0  .Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестностиu 0 (*) выполняется неравенство f ( x )   ( x)  g ( x ) и пусть существуют пределы функцийf ( x ) и g ( x) при x  * , причем они равны:lim f ( x)  lim g ( x)  ax *x *Тогда существует lim  ( x) и он равен a .x *Доказательство. Зададим произвольное число   0 .lim f ( x)  a    0 : x  ulim g ( x)  a    0 : x  ux *x *(*) | f ( x )  a |   ,1122(*) | g ( x )  a |  Обозначим u (*)  u1 (*)  u 2 (*) .

Видим, что, при x  u () ,| f ( x)  a |  a    f ( x)  a  | g ( x)  a |  a    g ( x)  a  33Рис. 5. Иллюстрация теоремы о пределе промежуточной функции.Имеем:a    f ( x )   ( x)  g ( x)  a   .Таким образом, внутри окрестности u () выполняется неравенство a     ( x )  a   .Итак, мы показали, что  0   0 : x  u (*) |  ( x)  a |  ,но это и означает, что существует lim  ( x)  a .x *Теорема доказана.Рис. 5 иллюстрирует данную теорему для случая   x0 .§8. Предел сложной функции.Теорема (о пределе сложной функции).

Пусть y  f ( x ) , z  g ( y ) и пустьсуществуют пределы lim f ( x)  a и lim g ( y )  b . Тогда существует предел сложнойx *y aфункции g ( f ( x )) при x   и этот предел равен b :lim g ( f ( x))  b .x *Доказательство. Выберем произвольное   0 . Т.к. lim g ( y )  b , тоy a  0 : | y  a |  | g ( y )  b |  ,но т.к.lim f ( x)  a , то   0 : x  u (*) | f ( x)  a |  .x *Итак  0  : x  u () | f ( x )  a |  | g ( y )  b |  ,т.е.lim g ( f ( x))  b .x *Теорема доказана.34n 1Пример. Известно, что lim  1    e отсюда следует, чтоn  nknn 1 1lim  1    e k .

При этом роль внутренней функции играет y  f (n)   1   , а рольn  n nkвнешней функции – g ( y )  y . Теорема о пределе сложной функции позволяетиспользовать при вычислении пределов метод, называемый заменой переменной:kn 1lim  1    lim y k  e k ,n y e nn 1где y  1   , при n   y  e . nЗдесь n – старая переменная, а y – новая переменная. Замена переменной описана вфигурных скобках.Пример. Пределlim 2x 0 1x0,1  при x  0  , а внешняя функция g ( y )  2 y  0xпри y   (представьте себе график функции y  2 x ).т.к.

внутренняя функция y  Лекция 5§1. Первый замечательный предел и его следствия.sin xТеорема (о первом замечательном пределе). Предел lim1.x0xsin xДоказательство. Т.к. функция y четная, тоxдостаточно ограничиться случаем, когда x  0  ( x  0 ).Очевидно, что характер стремления y при x  0  тот жесамый.На рис. 1 представлен тригонометрический круг радиусом R=1.x - это угол, отрезок BC – линия синуса ( BC  sin x ), отрезокAD – линия тангенса ( AD  tgx ). Сравним площадиРис. 1. Иллюстрация к теоремео первом замечательном пределе.треугольника AOB, кругового сектора AOB и треугольника AOD. Очевидно,S AOB  SсектораAOB  SAOD .Подставляя в это неравенство выражения для площадей:11S AOB  OA  BC  sin x22351 21R x x2211 OA  AD  tgx ,22SсектораAOB S AODполучимsin x  x  tgx .Или, после деления на sin x :x1sin x1, т.е.

cos x 1.sin x cos xxТ.к. lim cos x  1 и lim1  1 , то на основании теоремы о пределе промежуточной функцииx0x 0заключаем, чтоsin xlim 1.x 0 xВ силу четности функцииsin x, очевидно, что двусторонний пределxsin x1.x0xТеорема доказана.limПределsin x1x0xназывается первым замечательным пределом.Рассмотрим ряд следствий доказанной теоремы.sin(ax)Следствие 1. Предел lim a.x0xДействительно, выполнив замену переменной y  ax (при x  0 y  0 ), получим:sin(ax )sin ylim a lim a,x0y 0xytgxСледствие 2. Предел lim1.x0 xtgxsin xsin x1Действительно, lim lim lim lim1x0 xx  0 x cos xx0x x 0 cos x(поскольку оба последних предела равны единице).

При доказательстве использованатеорема о пределе произведения функций.arcsin xСледствие 3. Предел lim 1.x0xДействительно, после замены переменной y  arcsin x (при x  0 y  0 ),рассматриваемый предел преобразуется к видуlim1arcsin xy1lim lim lim y 01x0y  0 sin yy 0  sin y sin yx y  limy 0y(поскольку и предел числителя, и предел знаменателя равны единице). Здесьиспользовалась теорема о пределе отношения двух функций.arctgxСледствие 4.

Предел lim1x0xlim36Доказывается аналогично предыдущему.1  cos x 1Следствие 5. Предел lim .x0x22Действительно,2xxx2  sin sinsin1  cos x22  lim2  2 1  1  1 .lim lim  2   2lim2x0x0x0xxx x 0 x2 2 2Здесь использовано следствие 1.§2. Второй замечательный предел.n 1Как известно, предел последовательности lim 1    e  2.718 .

Это равенствоn  nсправедливо и для соответствующего предела функции R  R .x 1Теорема (о втором замечательном пределе). Предел lim  1    e .x  xx 1Предел lim  1    e называют вторым замечательным пределом.x  xДокажем ряд следствий сформулированной теоремы.1Следствие 1. Предел lim 1  x  x  e .x011( x  , при x  0 y   ),xyрассматриваемый предел преобразуется ко второму замечательному:11lim(1  x) x  lim(1  ) y  e .x0y yДействительно, после замены переменной y Отметим, что предел lim(1  x)1xx0также называют вторым замечательным пределом.ln(1  x ) 1.x0xСледствие 2. Предел limДействительно,1ln(1  x )1lim lim ln(1  x )  lim ln(1  x) x  lim ln y  ln e  1 .x0x0 xx 0y ex1Здесь использовано свойство логарифма: k ln t  ln t k и замена переменной y  (1  x) x(при x  0 y  e ).ex 1Следствие 3.

Предел lim1.x0xДействительно, путем замены переменной y  e x  1 (при x  0 y  0 ) ииспользования теоремы о пределе отношения, данный предел сводится к предыдущему.x aСледствие 4. Предел lim  1    e a .x  xДействительно, введя замену переменной y aa( x  , при x  0 y  0 ),xyполучим37axa1 alim  1    lim 1  y  y  lim 1  y  y   ea ,x y0y0xв силу следствия 1 и теоремы о пределе сложной функции.§3. Сравнение функций при данном стремлении аргумента.Пусть две б.м. (две б.б.) функции f ( x ) и g ( x) определены в окрестности u (*) , иf ( x)пусть существует конечный или бесконечный предел lim.x * g ( x )f ( x) 0 , говорят, что б.м. f ( x ) имеет высший порядок малостиОпр. Если limx * g ( x )(в.п.м.) по сравнению с б.м.

g ( x) при x   (б.б. g ( x) имеет высший порядок роста(в.п.р.) по сравнению с б.б. f ( x ) при x   ). При этом используется следующееобозначение:f ( x)  o( g ( x)), x   .Примеры.(sin x) 2  o( x) при x  0 .Действительно,(sin x) 2sin xlim limsin x  0 ,x0x0xxт.к. первый сомножитель под знаком предела стремится к единице, а второй – кнулю.11 o   при x   ,2xxно1 1  o  2  при x  0xx (докажите самостоятельно).f ( x)g ( x)  , очевидно, это означает, что lim 0 (поЗамечание. Если limx * g ( x)x * f ( x )теореме о связи между б.м.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий