Module 1 (823916), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

– односторонними. Число  называется радиусомокрестности.7§ 6. Ограниченные и неограниченные числовые множества.Рассмотрим произвольное числовое множество X (X R).Опр. Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое числоM, что все элементы этого множества меньше либо равны M:M  R : x  X  x  M .

Число М называется верхней гранью множества Х.Аналогично определяется множество ограниченное снизу и нижняя грань.Опр. Множество, ограниченное как сверху – так и снизу, называется ограниченным.Очевидно, что у любого ограниченного множества существует бесконечное множествоверхних и нижних граней. Например, множество X={3,5,8}, состоящее из трех элементов,ограничено. При этом, в качестве верхней грани можно рассматривать число M=100(поскольку любой элемент множества X меньше 100), а можно – M=1000.Опр.

Наименьшая из всех верхних граней множества Х называется его точнойверхней гранью (супремумом) и обозначаетсяx  sup X(от лат. supremum - наивысшая).Опр. Наибольшая из всех нижних граней множества Х называется его точнойнижней гранью (инфинимумом) и обозначаетсяx  inf X(от лат. infinimum - наинизшая).Так, для рассмотренного выше множества X={3,5,8}, sup X  8 , а inf X  3 .Теорема. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент иограничено сверху (снизу), то существует вещественное число x ( x ), которое являетсяточной верхней (нижней) гранью этого множества.Доказательство.

Не ограничивая общности, проведем доказательство длямножества ограниченного сверху (для множества ограниченного снизу теоремадоказывается аналогично). Итак, пусть множество Х ограничено сверху. ОбозначимВ={b} множество всех его верхних граней:x  X , b  B : x  b .В силу аксиомы полноты R: c : x  X , b  B : x  c  b .Поскольку x  X x  c , то c - верхняя грань множества X. Но, поскольку, b  B c  b ,c - наименьшая из всех верхних граней, т.е.

точная верхняя грань множества X.Таким образом, точная верхняя грань существует.Теорема доказана.§7. Понятие функции. Обратная и сложная функция.Пусть даны два множества произвольной природы: D={x} и E={y}.Опр. Говорят, что задана функция f, определенная на D со значениями в E илизадано отображение D в E, если указан закон по которому любому элементуx  D ставится в соответствие единственный элемент y  E .Итак, задать функцию означает указать 3 множества:D={x}, E={y}, F={(x,y)}.Пример. Функция y=x². D=R, E  R  [0, ) , F={(x,x²)| x  R }.Используются следующие основные обозначения:у=f(x) или f:D→E.8D называется областью определения функции f, E – областью значений, x – аргументомили независимой переменной, у – значением функции.

Если A  D , то f(A)={f(x)| x  A }называется образом множества A.Опр. Отображение множества D в множество E называется взаимно однозначным(биективным), если любому x  D соответствует единственное y  E , а разным xотвечают (обязательно) различные y (или, что то же самое, любому y  E отвечаетединственное x  D ).Если отображение D в Е взаимно однозначно, очевидно определено обратное отображение(обратное однозначное соответствие) E  D , т.е. обратная функция. Если «прямая»функция (функция D  E ) – есть y  f ( x ) , то обратную функцию обычно обозначаютx  f 1 ( y ) .Примеры.1. Для функции у=х³, обратной функцией является x  3 y . Как для прямой, так дляобратной функции и область определения и область значений есть R .2.

Для функции y  a x (для определенности, будем считать a  1 ) обратнойфункцией является x  log a y . Область определения прямой функции, в данном случае,x  R , область значений y  (0, ) . Область определения обратной функции y  (0, ) ,область значений x  R .3. Для функции y  tgx обратной является x  arctgy .

Здесь ситуация сложнее.Прямая функция определена всюду на R , за исключением точек xn  (2n  1) , n  Z .2Область значений прямой функции - R . Область определения обратной функции (см. рис.  10 б) - R , а область значений – интервал   ,  . Другими словами, для определения 2 2обратной функции выбирается только одна ветвь тангенса (представленная на рис. 10 а),иначе обратное соответствие не было бы однозначным (т.е. не было бы функцией):а) График «основной» ветви функции y  tgx .9б) График функции y  arctgx .Рис. 10. График «Основная» ветвь графика функции y  tgx и график обратной функцииy  arctgx .каждому значению y отвечало бы бесконечное множествозначений x (соответствующих различным ветвям тангенса).Аналогичнымобразом(сучетомтребованияоднозначности),вводятсядругиеобратныетригонометрические функции:y  arcsin x ,y  arccos x ,y  arcctgx .

Так, на рис. 11 представлен график функцииy  arcsin x . Область определения функции: D=[-1,1], областьзначений: E=[-π/2,π/2].Рис. 11. График функции y  arcsin x .Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений). Пусть даны тримножества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новоеотображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложнойфункцией (рис. 12).Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.Рис. 12. Иллюстрация к понятию сложной функции.Функция f ( x ) при этом называется внутренней функцией, а функция g ( y ) - внешнейфункцией.Примеры.1. Внутренняя функция f(x)= x², внешняя g ( y )  sin y .

Сложная функцияz= g(f(x))=sin(x²)2. Теперь наоборот. Внутренняя функция f(x)= sin x , внешняя g ( y )  y 2 .u=f(g(x))=sin²(x)10§8. Основные элементарные функции. Класс элементарных функций.В курсе математического анализа 1-ого семестра мы ограничимся изучениемотображений R→R. Важнейшими из этих отображений являются элементарные функции.Для построения класса элементарных функций определим сначала основныеэлементарные функции. К основным элементарным функциям относятся:Степенные функции: y  xПоказательные функции: y  a xЛогарифмические функции y  log a xТригонометрические функции y  sin x , y  cos x y  tgx , y  ctgxОбратные тригонометрические функции y  arcsin x, y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgxОпр.

Элементарной функцией называется функция, построенная из основныхэлементарных функций и постоянных с помощью операций сложения, умножения иделения, а также композиции (построения сложной функции).5sin x 214Пример. Функции y  2e, y  arctgx являются элементарными функциями.Отображения R→R не ограничиваются элементарными функциями.Приведем также примеры функций, не являющихся элементарными.Пример. Функция y  sign( x ) , определенная равенством 1, x  0;,sign( x )  1,x0Рис.13. График функции y  signx .называемая сигнатурой (рис. 13).

Она является отображением R→R, но не относится кклассу элементарных функций.Пример. Другим примером неэлементарной функции служит функция «целаячасть» y  [ x] – отображение, ставящее в соответствие вещественному числу результатего округления до ближайшего целого в меньшую сторону. Так[10.8] =10, а [2.7]  3 .§9. Понятие числовой последовательности.Рассмотрим бесконечное упорядоченное множество вещественных чисел, элементыкоторого пронумерованы натуральными числами (индексами n  1, 2, 3,... ):{xn }  x1 , x2 ,..., xn ,...11Такое множество называется числовой последовательностью, а его элементы xi – членамичисловой последовательности (Рис.

14).Примеры.1) {3n}=3, 6, 9, 12, 15…2) {2n } =2, 4, 8, 16…3) {1}=1, 1, 1, 1, 1…4) {}=1, -1, 1, -1, 1…Рис. 14. Числовая последовательность.Отметим, что последовательность – частный вид функции, а именно – функция N→R, т.е.отображение с областью определения на множестве натуральных чисел и областьюзначений на множестве вещественных чисел: x=f(n).Задать последовательность – значит указать правило, позволяющее по номеру n находитьзначение . Обычно последовательность задается формулой вида xn  f (n) .

Например,1xn  n . Можно также задать последовательность с помощью рекуррентной формулы.2Простейшаярекуррентнаяформулавыражаеткаждыйследующийчленпоследовательности через предыдущий: xn1  f ( xn ) . При этом нужно дополнительнозадать первый член последовательности x1 . Например, условияx1  1 , xn1  2 xn , n  1, 2,3,...задают последовательность 1,2,4,8,… .Понятие ограниченной (сверху или снизу) числовой последовательности вводится такжекак для числового множества (поскольку последовательность – частный случаймножества).Лекция 2§1. Предел числовой последовательности.Говорят, что числовая последовательность {xn } имеет предел, равный a :lim xn  a ,n если все члены этой последовательности с достаточно большими номерами сколь угодноблизки к числу a .В качестве примера, рассмотрим последовательность, представленную на рис.

1.Первый элемент последовательности x1 выбирается произвольно. Второй элемент x2выбирается делением отрезка [ x1 , a ] пополам. Третий элемент – делением отрезка [ x2 , a]пополам и т.д.Рис. 1. Предел числовой последовательности.Дадим теперь точное определение предела.12Опр. Число a называется пределом числовой последовательности {xn } при n   ,если для любого, сколь угодно малого, положительного числа  найдется такое,достаточно большое, натуральное число N , что при n  N выполняется неравенство| xn  a |  :{lim xn  a}  df {  0 N : n  N | xn  a |  } .n Рис. 2.

Предел числовой последовательности.Так, на рис. 2 показано, что если выбрать   0.1 , все члены рассмотренной вышепоследовательности с номерами n  N  3 отличаются от a меньше, чем на  (т.е.| xn  a |  ). Если же выбрать  в сто раз меньше, чем показано на рис. 2, то, все-равно,найдется такое значение номера члена последовательности N (например, N  500 ), чтовсе последующие члены отличаются от a меньше чем и на это  .

И.т.д.Если последовательность имеет предел a , то говорят, что она сходится (к a ). Впротивном случае, говорят, что последовательность расходится. Для обозначениясходимости последовательности к числу a используется также формы записиn xn  a, при n   , или xn a .Примеры.11. lim  0 .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий