Module 1 (823916), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Например, если функция непрерывна на интервале (a, b) , то f ( x)  C (a, b) .§2. Непрерывность элементарных функций.Справедлива следующая теорема.Теорема. Основные элементарные функции непрерывны в области определения.Эта теорема доказывается для каждой из основных элементарных функций (степенной,показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических)по отдельности, на основе определения непрерывности функции в точке.В качестве примера, докажем, что функция y  sin x непрерывна на R . Очевидно,что она является непрерывной в точке x  0 : lim sin x  sin 0  0 , т.е. при x достаточноx0близких к нулю, значения этой функции будут сколь угодно близки к нулю.

Рассмотримпроизвольную точку x0  R . Приращению x аргумента в этой точке отвечаетприращение функции48y  sin( x0  x )  sin x0  2sinxx cos( x0  ) .22x) ограничена на R :2x| 2cos( x0  ) | 2 ,2xа функция sin– б.м. при x  0 , по теореме о пределе сложной функции и в силу2того, что lim sin x  0 . По теореме о произведении б.м. функции на локальноФункция 2cos( x0 x0ограниченную, y  0 при x  0 , а последнее и означает непрерывность функцииy  sin x в точке x0 . В силу произвольности выбора точки x0 , функция y  sin xнепрерывна на R .Как уже говорилось в лекции 2, элементарной функцией называется любаяфункция, полученная из основных элементарных функций и постоянных с помощьюарифметических операций (сложения, умножения и деления), а также композиции(построения сложной функции).Теорема.

Элементарные функции непрерывны в области определения.Справедливость этой теоремы очевидна из предыдущей теоремы и теорем онепрерывности суммы, произведения, отношения и композиции непрерывных функций. Вкачестве примера докажем непрерывность многочлена.Многочлен Pn ( x)  c0  c1 x  ...  cn x n определен на R . Покажем, что он непрерывен наR . Очевидно, что постоянная y  c есть непрерывная на R функция: для любого x  R идля любого xy  c  c  0 ,а следовательно при x  0 y  0 .(Впрочем, для того чтобы убедиться в непрерывности постоянной, достаточно изобразитьее график). Функция y  x тоже непрерывна на R :y  x , следовательно, при x  0 y  0 .Функция y  x 2  x  x непрерывна на R , как произведение непрерывных функций.Следовательно, непрерывна и функция y  x 3  x 2  x и т.д., вплоть до функцииy  x n  x n 1  x . Функции y  ck  x k ( k  0,1,..., n ) тоже непрерывны на R , какпроизведения двух непрерывных функций.

Наконец, многочлен Pn ( x) непрерывен на R ,как сумма непрерывных функций.Теорема о непрерывности элементарных функций играет важнейшую роль длявычисления пределов. Действительно, именно из нее по определению непрерывностиследует, что если элементарная функция y  f ( x ) определена в точке x0 , тоlim f ( x)  f ( x0 ) , чем мы постоянно пользуемся при вычислении пределов, заменяяx  x0предел функции на ее значение в предельной точке (см. лекцию 3). Например,tgxsin xsin x1lim lim lim lim 11  1 .x0 xx  0 x cos xx 0x0xcos xsin x1lim 1 , как первый замечательный предел, а lim 1 , поскольку значение этойx0x0xcos xфункции в предельной точке равно единице.49§3.

Классификация точек разрыва.Опр. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точкиx0 . И пусть она непрерывна в любой точке этой окрестности, но не является непрерывнойв самой точке x0 . В этом случае, точка x0 называется точкой разрыва функции f ( x ) .При классификации точек разрыва, будем отталкиваться от второй формулировкиопределения непрерывности функции в точке:функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если существуют оба одностороннихпредела данной функции в этой точке, причемlim f ( x )  lim f ( x )  f ( x 0 ) .x  x0 x  x0 Выделим несколько случаев нарушения указанных условий.Опр.

Если x0 – точка разрыва функции f ( x ) , но существуют (конечные) пределыlim f ( x )  f ( x 0  ) и lim f ( x)  f ( x0 ) ,x  x0 x  x0 точка x0 называется точкой разрыва первого рода.Можно выделить два подкласса таких точек разрыва.Опр. Если f ( x0  )  f ( x0 ) , точка разрыва первого рода x0 называется точкойконечного разрыва (точкой скачка). При этом разность   f ( x0  )  f ( x0 ) называетсяскачком функции в точке x0.Пример точки конечного разрыва представлен на рис. 2 лекции 6.Опр. Если f ( x0  )  f ( x0 )  f ( x0 ) , в частности, если f ( x0 ) не определено, точкаразрыва первого рода x0 называется точкой устранимого разрыва.Рис. 1. Пример точки устранимого разрыва.Пример.

Рассмотрим функцию f ( x ) sin x(рис. 1). Эта функция не определена вxточке x  0 . Но, как известно,sin xlim1x0x50sin xsin x lim 1 . По определению, x  0 – точка устранимогоx0xxразрыва для данной функции. Точка x  0 является точкой устранимого разрыва такжедля функциии, следовательно, limx 0 Рис. 2. Пример точки устранимого разрыва. sin x, x0f ( x)   x, 2, x  0график которой представлен на рис. 2.Разрыв называется устранимым, поскольку достаточно доопределить (переопределить)значение функции в одной точке и получится непрерывная функция (в случае точкиконечного разрыва, это невозможно). Так функция sin x, x0f ( x)   x 1, x  0является непрерывной.Опр.

Если хотя бы один из односторонних пределов lim f ( x )  f ( x 0  ) илиx  x0 lim f ( x)  f ( x0 ) не существует (в частности, равен ∞), то точка x0 называется точкойx  x0 разрыва второго рода.В частности, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности,точка x0 называется точкой бесконечного разрыва.11Так функции y  и y  2 имеют точку бесконечного разрыва x  0 (рис. 3, рис. 4).xxЗамечание. Точка разрыва второго рода не обязательно является точкой1бесконечного разрыва.

Так для функции y  sinне существуют ни конечные, ниxбесконечные односторонние пределы при x стремящемся к нулю (так как не существуетни конечный, ни бесконечный предел функции sin x при x   ), и точка x  0 являетсядля этой функции точкой разрыва второго рода, но не точкой бесконечного разрыва, рис.5 Частота колебаний возрастает по мере приближения к точке x  0 как справа так и слева51Рис.

3. Пример точки бесконечного разрыва.Рис. 4. Пример точки бесконечного разрыва.и стремится к бесконечности при x  0 . В результате, для того, чтобы достичь точкиx  0 , двигаясь вдоль графика (например, справа), пришлось бы преодолеть бесконечноечисло колебаний (пройти по бесконечно длинной кривой).Рассмотрим несколько примеров исследования функции на предмет наличия точекразрыва.Примеры. Найти точки разрыва функции y  f ( x ) , исследовать их характер ипостроить эскиз графика функции вблизи точек разрыва.| x  1|1. y .x 1Возможная точка разрыва: x  1 , так как функция не определена в этой точке.| x  1|x 1lim lim 1.x 1 x  1x 1 x  1Действительно, при x  1 (в правосторонней окрестности точки x  1 ) | x  1| x  1 .| x  1|x 1lim  lim 1 .x 1 x  1x 1 x  1Действительно, при x  1 (в левосторонней окрестности точки x  1 ) | x  1| ( x  1) .52Рис.

5. Пример точки разрыва второго рода, не являющейся точкой бесконечного разрыва.Таким образом, x  1 – точка разрыва 1-го рода, конечного разрыва. Эскиз графика вблизиточки разрыва представлен на рис. 6.Рис. 6. Эскиз графика функции y | x  1|вблизи точки разрыва.x 112.

y  e x .Возможная точка разрыва: x  0 , так как функция не определена в этой точке.1lim e x   .x 0 Действительно, при x  0 11  (при x  0  0 ), а et   при t   .xx1xlim e  0  .x 0 11  (при x  0 0 ), а et  0 при t  xxt(представьте себе график функции y  e ). Символ « 0  » означает, что функцияДействительно, приx 0531y  e x  0 больше нуля в малой левосторонней окрестности точки x  0 , т.е.

график1входит в точку (0, 0) сверху (очевидно, что функция y  e x  0 на всей областиопределения).1Рис. 7. Эскиз графика функции y  e x вблизи точки разрыва.Таким образом, x  0 – точка разрыва 2-го рода, бесконечного разрыва. Эскизграфика вблизи точки разрыва представлен на рис. 7.

Точка (0, 0) изображена в видепустого кружочка, чтобы подчеркнуть, что функция не определена в этой точке.§4. Свойства функции, непрерывной на отрезке.Теорема. Если функция непрерывна на отрезке x  [a, b] , то она ограничена наэтом отрезке.Справедливость этой теоремы иллюстрируется рис. 8: m  f ( x)  M . Рис. 9демонстрирует, что если функция не является непрерывной, то она не обязательноограничена (на этом рисунке x0 – точка бесконечного разрыва). Рис.

10 демонстрирует,что даже если функция непрерывна на интервале (a, b) , а не на отрезке, то она необязательно является ограниченной на этом интервале (на рисунке lim f ( x)   ).x b Теорема. Если функция непрерывна на отрезке x  [a, b] , то она достигает на этомотрезке своего наименьшего ( m ) и своего наибольшего ( M ) значений.Справедливость этой теоремы демонстрируется рис. 8. Рис.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий