Module 1 (823916), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Итак, по определению{ f ( x)  C ( x0 )}  df {lim f ( x)  f ( x0 )} .x  x02Так функция y  x является непрерывной в точке x  0 (как и во всех другихточках вещественной оси), рис. 1. Действительно, при x достаточно близких к нулю, этафункция будет сколь угодно близка к нулю, но y (0) =0.Функция, график которой представлен на рис. 2, не является непрерывной в точкеx0 . Действительно, эта функция имеет различные пределы при x  x0  и при x  x0 ( f ( x0  ) и f ( x0 ) , соответственно).

Поэтому двустороннего предела при x  x0 несуществует.43Рис. 1. График функции y  x 2 .Рис. 2. Пример функции, не являющейся непрерывной.Для понимания смысла непрерывности, полезна следующая иллюстрация: функциянепрерывна, если ее график можно нарисовать, не отрывая ручки от листа.С учетом определения предела, определение непрерывности функции можно дать вболее развернутой (более подробной) форме:Опр. Функция f ( x ) , определенная в некоторой окрестности точки x0 называетсянепрерывной в этой точке, если в достаточно малой окрестности точки x0 значения этойфункции сколь угодно близки к f ( x0 ) : f ( x)  C ( x0 )  df   0   0 :x  u ( x0 ) | f ( x )  f ( x0 ) |   .С учетом теоремы о связи двустороннего предела с односторонними, определениенепрерывности функции в точке можно дать также в следующей (равносильнойпредыдущим) форме.Опр. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0 называетсянепрерывной в этой точке, если:441) существует limf (x) ;2) существует limf (x) ;x  x0 x  x0 3) limx  x0 f ( x )  limx  x0 f ( x )  f ( x0 ) .Ещеодну(эквивалентнуюпредыдущим)формулировкуопределениянепрерывности можно дать в терминах приращений.Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 .

Выберемкакое-нибудь значение x из этой окрестности и назовем разность x  x  x0приращением аргумента. Отметим, что приращение аргумента может быть какположительным, так и отрицательным. Соответствующую разность y  f ( x)  f ( x0 )назовем приращением функции (рис. 3).Рис. 3. Иллюстрация понятия приращения функции.Опр. Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0 если бесконечно маломуприращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращениефункции:{ f ( x)  C ( x0 )}  df {lim y  0} .x  0Эквивалентность этой формулировки определения непрерывности самой первойформулировке, очевидна из того факта, что x  0 тогда и только тогда, когда x  x0 , аy  0 тогда и только тогда, когда f ( x )  f ( x0 ) .Итак, в настоящем параграфе дано четыре равносильных формулировкиопределения непрерывности функции в точке.§ 2.

Понятие односторонней непрерывности.Рассмотрим функцию y  x . Бессмысленно говорить о том непрерывна ли она вточкеx=0, поскольку она определна только при x  0 . Однако можно ввести понятиеправосторонней непрерывности.Опр. Функция f ( x ) , определенная в правосторонней окрестности точки x0называется правосторонне-непрерывной в этой точке (непрерывной в точке x0 справа),если существует предел данной функции при x  x0  и он равен значению функции вточке x0 :lim f ( x )  f ( x0 ) .x  x0 Нетрудно видеть, что функция y  x является правосторонне-непрерывной в точке x0 .Аналогично определяется левосторонняя непрерывность.45Опр.

Функция f ( x ) , определенная в левосторонней окрестности точки x0называется левосторонне-непрерывной в этой точке (непрерывной в точке x0 слева), еслисуществует предел данной функции при x  x0  и он равен значению функции в точкеx0 :lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0 Теорема. Для того, чтобы функция f ( x ) была непрерывна в точке x0, необходимои достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке, как слева, так и справа.Справедливость этой теоремы очевидна из теоремы о связи двустороннего пределафункции с односторонними.§3. Арифметические операции над непрерывными функциями.Теорема. Сумма функций, непрерывных в точке x0, есть функция непрерывная вэтой точке.Доказательство. Пусть функции f ( x ) и g ( x) , определенные в некоторойокрестности точки x0 непрерывны в этой точке. По определению непрерывности (перваяформулировка) это означает, что lim f ( x)  f ( x0 ) и  lim g ( x)  g ( x0 ) .x  x0x x0Значение функции  ( x )  f ( x)  g ( x ) в точке x0 очевидно равно  ( x0 )  f ( x0 )  g ( x0 ) .В силу теоремы о пределе суммы, существуетlim  ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )   ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции  ( x ) в точке x0 .Теорема доказана.Очевидно, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Аналогично доказываются две следующие теоремы.Теорема.

Произведение функций, непрерывных в точке x0, есть функциянепрерывная в этой точке.Следствие. Произведение непрерывной функции на число – функция непрерывная.Действительно, число (т.е. постоянная) есть функция непрерывная на R .Теорема. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть функциянепрерывная в этой точке, при условии, что делитель (функция, стоящая в знаменателе) неравен нулю.§4. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложнойфункции (композиции функций).Теорема. Пусть функция z  g ( y ) непрерывна в точке y0 , а функция, y  f ( x )имеет конечный предел при x  x0 равный y0 : lim f ( x)  y0 .x x0Тогда lim g ( f ( x))  g ( lim f ( x))x  x0x  x0Доказательство.Поскольку g(y) непрерывна в точке y0,46 lim g ( y)  g ( y0 ) .y  y0По условию теоремы, существует такжеlim f ( x)  y0 .

Но, по теореме о пределе сложной функции, из этих двух фактов вытекает,x x0что lim g ( f ( x))  g ( y0 )  g lim f ( x) .x  x0x  x0Теорема доказана.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y  f ( x )непрерывна в точке x0 , а функция g ( y ) непрерывна в точке y0 , причем y0  f ( x0 ) . Тогдасложная функция F ( x )  g ( f ( x)) непрерывна в точке x0 .Доказательство. Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0Но, в силу предыдущей теоремы, lim F ( x)  lim g ( f ( x))  g lim f ( x)  g ( f ( x0 ))  F ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции F ( x )  g ( f ( x)) в точке x0 .Теорема доказана.§5.

Локальные свойства функции, непрерывной в точке.Теорема. Если функция f ( x ) непрерывна в точке x0 и f ( x0 )  0 , то существуетокрестность u ( x0 ) , в которой знак функции совпадает с ее знаком в точке x0 .Доказательство. . Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0В силу теоремы о сохранении функцией знака предела, существует окрестностьu ( x0 ) , в которой знак функции совпадает со знаком f ( x0 ) .Теорема доказана.Данная теорема проиллюстрирована на рис. 4. Очевидно, что раз непрерывная функцияположительна в точке x0 , то она останется положительной и в некоторой (хотя бы малой)окрестности этой точки.Рис. 4.

Иллюстрация сохранения знака непрерывной функцией.47Теорема. Функция, непрерывна в точке x0, локально ограничена в этой точке.Справедливость этой теоремы вытекает из теоремы о локальной ограниченности функции,имеющей предел и определения непрерывности. Доказательство опустим.Лекция 7§1. Непрерывность функции на промежутке.Опр. Функция f ( x ) , определенная на интервале (a, b) называется непрерывной наэтом интервале, если она непрерывна в каждой его точке.Опр. Функция f ( x ) , определенная на полуинтервале [a, b) , называетсянепрерывной на этом полуинтервале, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2.

правосторонне непрерывна в точке a .Опр. Функция f ( x ) , определенная на полуинтерваленепрерывной на этом полуинтервале, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. левосторонне непрерывна в точке b .( a, b] ,называетсяОпр. Функция f ( x ) , определенная на отрезке [a, b] , называется непрерывной наэтом отрезке, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. правосторонне непрерывна в точке a .3. левосторонне непрерывна в точке b .Пример. Функция y  1  x 2 непрерывна на отрезке x  [1,1] .Класс (множество) функций, непрерывных на промежутке X обозначается C ( X ) .Соответственно, факт непрерывности функции на промежутке X можно записать в виде:f ( x )  C ( X ) .

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий