korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пеpеписав уpавнение (10.3.9) относительно нового неизвестного z, получим√Φ(A T (δ1 − z − 1)) = z.(10.3.11)10.3. Оценки для оптимального начального капиталаЛевая часть (10.3.11), будучи значением функции pаспpеделения, заключена между нулем и единицей. Поэтому из (10.3.11) вытекает, что0 ≤ z ≤ 1, и, следовательно,√z ≤ Φ(A T (δ1 − 1)),то есть√x1 ≥ T (δ1 − Φ(−A T (1 − δ1 ))),откудаu0 ≥ u1 ≥ m1 λx1 ≥ÃÃ!!#√2L312L31≥ m1 λT δ − √−+− Φ −A T 1 − δ + √=2A2 T2A2 TλTλT"h2L3µ2−−= m1 λT δ 1 − √2δλT m21δ λTs1 ³λT ³µ22L3 ´´i√− Φ − m1.1−δ++δµ22λT m21λT(10.3.12)Рассмотpим уpавнение (10.3.10). Для отыскания веpхней оценки дляu2 оценим J+ (T ; T ).
ИмеемZ1J+ (T ; T ) =0Z1√√z ´Φ −A T√dz < Φ( − A T z)dz =1−z³0√ 1/2A T Z= Φ(−A T ) + √exp{−A2 T z}dz =2π 0√√= Φ(−A T ) +hn1A2 T oi√1 − exp −≤2A 2πTn A2 T o√1111√ φ(A T )+ √= √− √exp −. (10.3.13)2A TA 2πT A 2πTA 2πTПоэтому u2 ≤ m1 λx2 ≤ m1 λx∗2 , где x∗2 – pешение уpавнения≤x12L3=δ+ √+√ .TA 2πTλTЭто уpавнение pешается элементаpно:Ãx∗212L3=T δ+ √+√A 2πTλT!,46746810. Стоимостной подходоткудаÃu0 ≤ u2 ≤m1 λx∗22L31= m1 λT δ 1 + √+δm1δ λTrµ22πλT!.(10.3.14)С учетом неотpицательности u0 из соотношений (10.3.12) и (10.3.14) мыполучаем нужное утвеpждение.
Для случая m > α теоpема доказана.Тепеpь pассмотpим случай m < α. Мы будем искать оценки дляpешений u1 и u2 соответственно уpавнений (10.3.3) и (10.3.4), используяуже полученные pезультаты. Снова положимsu= x,m1 λm1λ= A.µ2На сей pаз A < 0, поэтому!!ÃÃTT1Zu − m1 λt1Zx−t√Φdt =Φ −|A| √dt ≡ J− (x; T ).TTµ2 λtt00Несложно убедиться, чтоJ− (x; T ) = 1 − J+ (x; T ).Поэтому с учетом оценок (10.3.5), (10.3.6) и (10.3.13) мы имеемÃ!x−tx1x1√1 − Φ |A| √− −≤ J− (x; T ) ≤ 1 − +,2T2T ATt|A| 2πTоткудаÃ!T√µ2u − m1 λt1Zu√√Φ+dt ≤ 1 +T|m1 |λTµ2 λt|m1 | 2πλT0(10.3.15)иÃ!Ã!Tµ21Zu − m1 λtuu − m1 λT√√Φ−. (10.3.16)dt ≥ 1−Φ−Tm1 λT 2m21 λTµ2 λtµ2 λT0Таким обpазом, u1 ≤ u0 ≤ u02 , где u1 – pешение уpавнения√µ2u2L3√1+++√= δ,|m1 |λT|m1 | 2πλTλT(10.3.17)10.4. Нижняя оценка для оптимального начального капиталаa u02 – pешение уpавненияÃu − m1 λT√1−Φµ2 λT!−µ22L3u−−√= δ.2m1 λT2m1 λTλT(10.3.18)Решение уpавнения (10.3.17) находится элементаpно:"1u1 = −|m1 |(1 − δ)λT 1 +(1 − δ)|m1 |r#µ22L3√.+2πλT(1 − δ) λTОтметим, что u1 ≤ 0.
С учетом сказанного в п. 2 мы пpиходим к выводу,что в pассматpиваемом случае нижней оценкой для u0 является нуль.Решение u02 уpавнения (10.3.18) будем искать в виде u02 = m1 λT (δ1∗ −z), где δ1∗ = 1−δ − √2LλT3 − 2mµ22λT . В новых пеpеменных уpавнение (10.3.18)1запишется так:sÃ!λT ∗Φ m1(δ − z − 1) = z,(10.3.19)µ2 1откуда мы заключаем, что 0 ≤ z ≤ 1. Поэтому из (10.3.19) вытекаетнеpавенствоsÃ!λT ∗z ≥ Φ m1(δ − 1) .µ2 1Возвpащаясь к исходному неизвестному u02 , мы окончательно получаем"u02≤ u2 = m1 λTÃδ1∗"= −|m1 |λT (1 − δ) 1 −ÃsλT1Φ −|m1 |−1−δµ2Теоpема доказана.10.4− Φ m1sλT ∗(δ − 1)µ2 1!#=µ22L3√−−2(1 − δ)m21 λT(1 − δ) λTÃ2L3µ21−δ− √−2m21 λTλT!!#.Нижняя оценка для оптимальногоначального капитала в условияхравномерно ограниченныхстраховых выплатВ предыдущем разделе для оценки функции распределения случайной величины S(t) использовалось неравенство Берри–Эссеена. Другой путь оценки вероятности P(S(t) < u) основывается на применении46947010.
Стоимостной подходоценок больших уклонений для функции распределения пуассоновскихслучайных сумм. Ниже будет использована верхняя оценка для “хвоста” этой функции распределения, предложенная в (Шоргин, 1998), наоснове которой будет получена нижняя оценка для u0 .Следует отметить, что данная оценка, имеющая гораздо более простой и наглядный вид, чем аналогичная оценка из предыдущего раздела, доказывается в рамках некоторого дополнительного условия: предполагается, что случайная величина, равная страховой выплате, равномерно ограничена. Это условие на первый взгляд представляется достаточно серьезным ограничением общности.
Однако нужно отметить,что с точки зрения изучения реального страхового дела это не так.При страховании имущества ответственность страховщика ограничена страховой стоимостью объекта страхования. А так как в страховойпортфель включаются достаточно однородные объекты страхования,то, как правило, нетрудно достаточно точно заранее оценить максимальную стоимость объекта страхования и, следовательно, максимальную величину выплаты, которая может возникнуть в данном страховом портфеле. Кроме того, предположение о равномерной ограниченности страховых выплат может быть обосновано, аналогично (Beard,Pentikainen and Pesonen, 1978) тем, что на практике риски страховщикаобычно ограничиваются за счет перестрахования.В (Шоргин, 1998) доказан результат, который в наших обозначенияхможет быть записан так.Лемма 10.4.1.
Если все Xi равномерно ограничены, т.е. |Xi | ≤ H,то при u + (α − m)λt ≥ 0P(S(t) < u) ≥ 1 − exp{−λtµ2 F (x/H 2 },где x = [u + (α − m)λt]H/(λtµ2 ), F (x) = (1 + x) ln(1 + x0 ) − x0 , x0 == min{x, e − 1}.Теорема 10.4.1. Предположим, что существует конечная положительная постоянная H такая, что Xi ≤ H иH log³ 1 ´ ewλT − 1δwλT≥ (m − α)+ λT,(10.4.1)где w = (e − 2)µ2 H −2 − (α − m)H −1 . Тогдаu0 ≥ u1 = H log³ 1 ´ ewλT − 1δwλT.Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся простейшей нижней оценкойфункции F (x):F (x) ≥ x − e + 2.10.4. Нижняя оценка для оптимального начального капиталаБудем рассматривать только u, удовлетворяющие условиюu ≥ H ln(1/δ)[(ewT − 1)/(wλT )].(10.4.2)Из (10.4.1) вытекает, что для таких u при всех t выполняется условие u+(α−m)λt > 0, и можно применить лемму 1.
Из леммы 1 следует,чтоP(S(t) < u) ≥ 1 − exp{(e − 2)λtµ2 /H 2 − (α − m)λt/H − u/H}.Значит, уравнение (10.3.4) для u1 может быть заменено на следующее:T1Zexp{(e − 2)λtµ2 /H 2 − (α − m)λt/H − u1 /H} dt = 1 − δ.T0Это уравнение легко решается в явном виде, и решение его таково:u1 = H ln(1/(1 − δ))[(ewλT − 1)/(wλT )].(10.4.3)Очевидно, что это значение u1 “допустимо”, так как удовлетворяетусловию (10.4.2). Тем самым теорема доказана.Отметим, что условие³ 1 ´ ewλT − 1≥ (m − α)+ λTδwλTвыполняется, в частности, при −m1 = α − m ≥ 0 (именно данная ситуация — ситуация “неотрицательной нагрузки безопасности” — являетсянаиболее распространенной).
При достаточно большой по абсолютнойвеличине отрицательной нагрузке безопасности соотношение (10.4.1) невыполняется и, следовательно, формулой (10.4.3) пользоваться нельзя.Кроме того, заметим, что при достаточно большой положительнойнагрузке безопасности, а именно при α − m > (e − 2)µ2 /H, величина w отрицательна, и (10.4.3) можно записать следующим образом:H logu1 = H ln(1/δ)[(1 − e−|w|λT )/(|w|λT )],откуда следует, что в этих условиях при неограниченно возрастающеминтервале времени T нижняя оценка для оптимального начального капитала убывает как 1/T . Достаточно простой вид правой части (10.4.3)дает возможность исследования поведения нижней оценки оптимального начального капитала u1 при различном характере изменения параметров случайных величин Xi , величин H, δ, λ и T .(Попутно отметим, что для справедливости результата леммы нетребуется, чтобы случайные величины Xi были неотрицательными.
Однако для рассматриваемого в настоящем разделе вопроса это не имеетзначения.)47147210. Стоимостной подходГлава 11Статистическое оцениваниепараметров страховойдеятельности11.1Проблема статистического оцениванияраспределения страховых выплатПредположим, что в нашем распоряжении имеются данныеX1 , X2 , . . . , Xn , представляющие собой размеры страховых выплат, осуществленных за определенный период времени. Выводы ораспределении страховых выплат необходимо сделать на основе этихданных.Многие приближенные формулы для вероятности разорения, приведенные в предыдущих разделах, зависят только от первых моментовслучайных величин Xi . Как известно, наилучшими статистическимиоценками моментов являются выборочные моменты:EX1k ≈n1XX k,n j=1 jk = 1, 2, .
. . ,n1 X(Xj − X)2 ,DX1 ≈n − 1 j=1n1XX=Xj .n j=1Однако для уточнения выводов нужна более полная информация ораспределениях страховых выплат. Другими словами, необходима статистическая идентификация распределений.Принято говорить, что моменты осуществления страховых выплатобразуют поток выплат на временно́й оси. С теоретической точки зре47347411. Статистика страховой деятельностиния задача статистической идентификации распределений является частью задачи статистической идентификации потоков страховых выплат.Целью задачи идентификации распределений является подбор такого распределения из заранее выделенного достаточно широкого наборачаще всего употребляемых законов, которое наиболее точно описывает распределение экспериментальных данных.
Подгонка распределенийсостоит из двух этапов. Первый этап – это этап статистического оценивания распределений, второй этап – это этап проверки согласия экспериментальных данных с оцененными распределениями и выбор наилучшей модели.Задача идентификации потоков страховых выплат сложнее, чем задача идентификации распределений, так как помимо последней включает в себя задачи проверки однородности наблюдений и проверки ихнезависимости.Ниже упомянутые задачи будут рассмотрены подробно.11.1.1Подгонка распределенийВ качестве исходных данных для решения задачи идентификации распределений страховых выплат используется выборка x1 , x2 , .
. . , xn – набор n чисел, где каждое xi представляет собой реализацию (то естьнаблюдаемое значение) случайной величины Xi . В данном пункте мыбудем предполагать, что случайные величины X1 , X2 , . . . , Xn независимы и имеют одинаковое распределение. В таком случае иногда говорят о независимой и однородной выборке, но мы для краткости будем говорить просто о выборке, по умолчанию подразумевая наличиеу случайных величин X1 , X2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
