korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Прибольших значениях t имеет место следующие приближенные равенствапо распределению:R(t) ≈ −b(t)t1/α Yα + (c − a)Λ(t) ≈ b(t)t1/α (V − Yα ) + (c − a)t,причем слагаемые в правой части независимы. Другими словами, еслиобозначить Ft (x) = P(Λ(t) < x), Q(x) = P(V < x), то при каждомx ∈ IRh³P(R(t) < x) ≈ 1 − Gα −h³≈ 1 − Gα −³ x ´x ´i∗F≈tb(t)t1/αc−a³ x − (c − a)t ´x − (c − a)t ´i∗Q,b(t)t1/αb(t)t1/αгде ∗ – символ свертки функций распределения.Замечание 9.3.1.
Теорема 9.3.1 верна не только для ситуации, вкоторой N (t) – процесс Кокса. Она остается верной для любой ситуации, в которой страховые требования поступают в соответствии с точечным процессом N (t) = K(Λ(t)), где K(t) – произвольный считающий процесс, независимый от Λ(t), и удовлетворяющий условиямK(t)=⇒ 1tипри t → ∞.K(t) − t=⇒ 0b(t)t1/α4349. Обобщенные процессы риска9.4Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требованийВ качестве примера применения теоремы 9.3.1 рассмотрим ситуацию,в которой управляющий процесс Λ(t) имеет видN10 (t)Λ(t) =XΛj ,t ≥ 0,j=1где Λ1 , Λ2 , .
. . – независимые одинаково распределенные случайные величины, а N10 (t) – стандартный пуассоновский процесс, независимый отслучайных величин Λ1 , Λ2 , . . . Такой выбор процесса Λ(t) означает, чтостраховые премии увеличиваются скачкообразно в моменты t1 , t2 , . . .скачков процесса N10 (t), причем в момент ti реализуется случайная величина Λi и прирост премий составляет Λi . Одновременно возникает пакет, состоящий из случайного числа Mi страховых требованийXM1 +...+Mi−1 +1 , .
. . , XM1 +...+Mi . При этом условное распределение случайной величины Mi при фиксированном значении Λi является пуассоновским с параметром Λi :P(Mi = n|Λi ) = P(N1 (Λi ) = n|Λi ) =e−Λi Λni,n!n = 0, 1, 2, . . . ,в то время как ее безусловное распределение является смешанным пуассоновским:Z∞P(Mi = n) = P(N1 (Λi ) = n) =exp{−λ}0Z∞=0λnexp{−λ} dP(Λ1 < λ),n!λndP(Λi < λ) =n!n = 0, 1, 2, .
. .В силу независимости случайных величин Λ1 , Λ2 , . . . и независимостиприращений процесса N1 (t) случайные величины M1 , M2 , . . . независимы.В отношении случайных величин Λ1 , Λ2 , . . . мы будем предполагать,что EΛ1 = 1 и выполнено условие, аналогичное (9.3.1):PnΛj − n=⇒ Yeαb(n)n1/αj=1(n → ∞),9.4. Пакетное поступление страховых требований435где Yeα – устойчивая случайная величина с характеристической функциейe³´one α 1 + iβs tan πα , s ∈ IR.fYeα (s) = exp iγe s − d|s||s|2Тогда можно показать (см.
Кашаев и Королев, 2004), что выполненоусловиеΛ(t) − t=⇒ Yeα (t → ∞).b(t)t1/αПри этом, применяя теорему 9.3.1, мы получаем, чтоR(t) − (c − a)t=⇒ Yα∗b(t)t1/αпри t → ∞, где Yα∗ – устойчивая случайная величина с характеристической функциейn³fYα∗ (s) = exp iγ ∗ s − d∗ |s|α 1 +πα ´oiβ ∗ stan,|s|2s ∈ IR,а параметры γ ∗ , d∗ и β ∗ имеют видγ ∗ = (c − a)γe − γ,d∗ = |c − a|α de + d,β∗ =e − a|α−1 β(ce − a) − dβd|c.e − a|αd + d|cБолее того, теорема 9.3.1 позволяет нам описать взаимосвязь характеристик “тяжести” хвостов распределений случайных величин X1и Λ1 в описанной выше модели (см.
соотношение (9.3.3)) с выбором констант, нормирующих соответствующий обобщенный процесс риска. Аименно, предположим, что при n → ∞ случайные величины X1 , X2 , . . .удовлетворяют условиюPnXj − na=⇒ YαX ,b(n)n1/αXj=1а случайные величины Λ1 , Λ2 , . . . – условиюPnΛj − n=⇒ YeαΛb(n)n1/αΛj=1с некоторыми αX ∈ (1, 2] и αΛ ∈ (1, 2]. Мы по-прежнему интересуемсяасимптотическим поведением случайных величин Z(t), определяемыхсоотношением (9.3.4) с некоторым α ∈ (1, 2]. Теорема 9.3.1 позволяетполностью описать предельное поведение случайных величин Z(t) взависимости от соотношения между α, αX и αΛ .4369. Обобщенные процессы рискаА именно, если 1 < αX < αΛ ≤ 2, то(dZ(t) =⇒ Z =0,если 1 < α < αX ,−YαX , если α = αX ,и Z(t) не имеет собственного предельного распределения при αX < α ≤2.Если 1 < αX = αΛ ≤ 2, то(dZ(t) =⇒ Z =0,если 1 < α < αX ,(c − a)YeαΛ − YαX , если α = αX ,где YeαΛ и YαX независимы, причем остальные параметры устойчивыхслучайных величин YeαΛ и YαX (γ, d и β) могут и не совпадать, и Z(t)не имеет собственного предельного распределения при αX < α ≤ 2.Наконец, если 1 < αΛ < αX ≤ 2, то(dZ(t) =⇒ Z =0,если 1 < α < αΛ ,(c − a)YαΛ , если α = αΛ ,и Z(t) не имеет собственного предельного распределения при αΛ < α ≤2.Другими словами, чтобы получить невырожденное предельное распределение, нормировка должна соответствовать более “тяжелому”хвосту, который и определяет вид предельного закона для обобщенного процесса риска с пакетным поступлением страховых требований.9.59.5.1Классические процессы риска со случайными премиямиОпределение и простейшие свойстваВ данном разделе мы рассмотрим еще одну модель процесса риска сослучайными премиями, обобщающую классический процесс рискаNλ (t)R0 (t) = u + ct −XXjt ≥ 0.j=1А именно, предположим, что процесс поступления премий страховойкомпании описывается не линейной функцией ct, но обобщенным пуассоновским процессом, так что процесс риска имеет видN + (t)R(t) = u +Xj=1N − (t)Zj −Xj=1Xj ,t ≥ 0,(9.5.1)9.5.
Классические процессы риска со случайными премиями437где u > 0, Z1 , Z2 , . . . – одинаково распределенные положительные случайные величины, X1 , X2 , . . . – одинаково распределенные положительные случайные величины, N + (t) и N − (t) – однородные пуассоновскиепроцессы с интенсивностями λ+ и λ− соответственно. Предположим,что все случайные величины, вовлеченные в модель (9.5.1), независимы в совокупности.Процесс риска (9.5.1) называется классическим процессом риска сослучайными премиями. При этом, как и ранее, параметр u > 0 интерпретируется как начальный капитал страховой компании, Zj – размер страховой премии по j-му контракту, Xj – размер j-ой страховойвыплаты.
Таким образом, процесс риска (9.5.1) имеет смысл резервастраховой компании в момент времени t.Характеристическая функция случайной величины R(t), очевидно,имеет видE exp{isR(t)} = eisu exp{λ+ [fZ (s) − 1]} exp{λ+ [fX (−s) − 1]},(9.5.2)s ∈ IR, где fZ (s) и fX (s) – характеристические функции случайныхвеличин Z1 и X1 соответственно.
Продолжая (9.5.2), получимE exp{isR(t)} =½·µ= eisu exp (λ+ + λ− )¶λ+λ−f(s)+fX (−s) − 1Zλ+ + λ−λ+ + λ−¸¾,s ∈ IR, откуда вытекает возможность представленияdR(t) = u +N (t)XVj ,t ≥ 0,j=1где N (t) – пуассоновский процесс с интенсивностью λ+ + λ− , V1 , V2 , . . .– независимые одинаково распределенные случайные величины,P(V1 < x) =λ−λ+P(Z<x)+P(−X1 < x),1λ+ + λ−λ+ + λ−причем величины V1 , V2 , . . . и процесс N (t) – независимы. Другими словами, классический процесс риска со случайными премиями являетсяобобщенным пуассоновским процессом, сдвинутым на u. Поэтому процесс риска (9.5.1) обладает всеми асимптотическими свойствами, присущими обобщенным пуассоновским процессам.4389.
Обобщенные процессы риска9.5.2Вероятность разоренияКак и ранее, под вероятностью неразорения будем понимать величину³´φ(u) = P inf R(t) ≥ 0t≥0и интерпретировать ее как меру платежеспособности страховой компании. Соответственно, величина³´ψ(u) = 1 − φ(u) = P inf R(t) < 0t≥0называется вероятностью разорения.Используя математический аппарат анализа случайных блужданий, можно показать, что, если λ+ EZ1 ≤ λ− EX1 , то ψ(u) = 1 для любогоu > 0.
Условиеλ+ EZ1 > λ− EX1(9.5.3)называют условием неразорения в среднем. Всюду далее в этом разделемы предполагаем, что условие (9.5.3) выполнено.Функции распределения случайных величин Z1 и X1 обозначимFZ (x) и FX (x) соответственно.В работе (Бойков, 2003) доказаны следующие утверждения.Теорема 9.5.1. Вероятность неразорения φ(u) удовлетворяет интегральному уравнениюZ∞+−(λ + λ )φ(u) = λ+Zu−φ(u + x)dFZ (x) + λ0φ(u − x)dFZ (x).0Пусть R – показатель Крамера–Лундберга для модели (9.5.1), тоесть R – положительное решение уравненияλ− [Ee−RZ1 − 1] + λ+ [EeRX1 − 1] = 0или, что эквивалентно, положительное решение уравненияZ∞Z∞λ−Rx−Ee0dFZ (x) + λEeRx dFX (x) = λ+ + λ− .+0В рамках модели классического процесса риска со случайными премиями справедлив следующий аналог неравенства Лундберга для вероятности разорения.Теорема 9.5.2. Вероятность разорения ψ(u) удовлетворяет неравенствуψ(u) ≤ e−Ru .9.5.
Классические процессы риска со случайными премиямиВ некоторых конкретных случаях удается получить явное представление вероятности разорения в модели классического процесса риска сослучайными премиями. В частности, в работе (Бойков, 2003) показано,что, если FZ (x) = 1 − e−βx и FX (x) = 1 − e−αx , x ≥ 0, тоnλ+ α − λ− β o(α + β)λ−exp −·u .ψ(u) = −(λ + λ+ )αλ− + λ+(9.5.4)Заметим, что условие (9.5.3) в данном случае приобретает вид λ+ α −λ− β > 0.В работе (Темнов, 2004) получен аналог представления Поллачека–Хинчина–Беекмана для вероятности разорения в модели классическогопроцесса риска со случайными премиями.В заключение этого раздела заметим, что, динамические моделистрахования со случайными премиями (классические процессы рискасо случайными премиями) представляют собой не что иное как вариации на тему хорошо знакомой со школьных времен задачи о бассейне, вкоторый вода вливается и из которого она выливается случайными порциями в случайные моменты времени.
Такие модели хорошо известныи изучены, тем не менее, адекватность таких моделей применительно к страховым задачам представляется весьма сомнительной вследствие постулируемой стохастической независимости процессов премийи выплат, существенно облегчающей их математическое исследование.Действительно, реально эти процессы никак не могут быть независимыми хотя бы потому, что моментов выплат не может быть больше, чеммоментов поступления премий (заключения договоров). Однако такиемодели оказываются весьма реалистичными инструментами, позволяющими описать процесс спекуляции, основанный на использовании возможности арбитража.
Это применение классических процессов рискасо случайными премиями рассматривается в следующем разделе.9.5.3Описание модели спекулятивной деятельности пункта обмена валютВ данном разделе процессы риска со случайными премиями используются в качестве математической модели процесса извлечения спекулятивной прибыли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
