korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

Изложение базируется на материалах работ (Артюхови др., 2005) и (Королев и др., 2005).Рассмотрим процесс получения спекулятивной прибыли более подробно. Основной закон образования спекулятивной прибыли известенс давних времен: надо сначала “дешево” купить какой-то товар, а затем4394409. Обобщенные процессы рискаего же “дорого” продать (так называемая стратегия игры на повышение). Спекулятивная прибыль в указанном случае будет определятьсяразницей курсов продажи и покупки соответствующего товара (маржей).

В связи с этим заметим, что явление спекуляции можно наблюдать в любой отрасли экономики. Рынок ценных бумаг обогатил теорию спекуляции еще одним законом образования спекулятивной прибыли: продать товар, пока он дорого стоит и снова купить этот жетовар, когда цена на него упадет (стратегия игры на понижение). Таким образом, все возможное разнообразие спекулятивных стратегий,фактически, сводится к тем или иным комбинациям указанных вышедвух основных “законов” извлечения прибыли при их диверсификациипо различным рынкам, видам финансовых инструментов и возможнымсочетаниям финансовых инструментов во времени и между собой.Одним из мест, в которых существует возможность проводить спекулятивные операции в обоих направлениях, то есть играть как на повышение, так на понижение, является пункт обмена валют.Предположим, что курс на валютном рынке остается неизменнымна рассматриваемом промежутке времени.

В этом случае существуетвозможность как купить, так и продать любое количество валюты поцене c∗ за единицу валюты. Назовем величину c∗ ценой обмена.Пусть в начальный момент времени пункт обмена валют обладаетнекоторой суммой денег. Часть денег обменивается на валюту по ценеобмена c∗ на валютном рынке.

Затем обменный пункт выставляет своицены на покупку и продажу, которые соответственно меньше и больше,чем c∗ . При этом цены покупки и продажи пункта обмена валют должны быть определены таким образом, чтобы к концу отчетного периодаполучить максимально возможную прибыль от проведенных операций.Опишем формально рассматриваемую модель. Определим при τ ≥0 случайные процессыN − (τ )N + (τ )M (τ ) = u + c+XXj+−c−N + (τ )G(τ ) = v −Xj=1PXj−(9.5.5)j=1j=1иXN − (τ )Xj++XXj− ,(9.5.6)j=1(как и ранее, считаем, что 0j=1 (·) = 0).

Здесь u ≥ 0 имеет смысл начального капитала пункта обмена валют, величина v ≥ 0 определяетначальный объем имеющейся валюты, положительные числа c+ и c−имеют смысл цены продажи и цены покупки валюты обменным пунктом соответственно, неотрицательные случайные величины Xk+ и Xl−9.5. Классические процессы риска со случайными премиями– это количество валюты, проданной k-тому клиенту и купленной уl-того клиента соответственно, а целочисленные случайные процессыN + (τ ) и N − (τ ) соответственно определяют количество клиентов, пришедших в пункт обмена валют для того, чтобы купить или продатьвалюту.

Везде далее предполагается, что все перечисленные случайныевеличины и процессы являются независимыми в совокупности, а каждая из последовательностей {Xn+ }n≥1 и {Xn− }n≥1 состоит из одинаковораспределенных случайных величин. Таким образом, процессы M (τ ) иG(τ ) характеризуют капитал компании и объем имеющейся валюты внекоторый момент времени.В дальнейшем нас будут интересовать капитал компании и валютный резерв в некоторый фиксированный момент времени t. Пусть+M ≡ M (t) = u + c+NX−Xj+−−cj=1+G ≡ G(t) = v −NXj=1NXXj− ,(9.5.7)j=1−Xj+ +NXXj− ,(9.5.8)j=1где N + и N − – проекции (значения) процессов N + (τ ) и N − (τ ) в моментвремени t. Везде далее нам будет удобно представлять числа c+ и c− ввидеc+ = c∗ + δ + , c− = c∗ − δ − ,где δ + ≥ 0 и δ − ≥ 0 – величины, на которые цена обмена c∗ отличаетсяот цен продажи и покупки, выставленных обменным пунктом, дающиекомпании возможность получать прибыль за счет спекуляции.

Цельюкомпании является определение δ + и δ − таким образом, чтобы прибыльот деятельности была максимальной.Чтобы формализовать зависимость между спросом и предложением, заметим, что при увеличении цены продажи c+ количество клиентов, желающих купить у обменного пункта валюту, в среднем заединицу времени уменьшается: желающих купить валюту по большей цене меньше, естественно, меньше, чем желающих купить валютупо меньшей цене. Другими словами, интенсивность потока клиентовпокупателей уменьшается с ростом c+ . С другой стороны, очевидно,при приближении цены продажи к цене обмена c∗ , интенсивность потока клиентов должна увеличиться. Таким образом, вполне разумнымпредположением является обратная (монотонно убывающая) зависимость интенсивности потока клиентов, покупающих валюту, от разницы δ + между ценой продажи и ценой обмена.

Аналогичные рассуждения относятся и к зависимости среднего за единицу времени числа4414429. Обобщенные процессы рискаклиентов, продающих валюту обменному пункту, от маржи δ − : интенсивность потока клиентов, продающих валюту, от разницы δ − междуценой продажи и ценой обмена монотонно убывает с ростом δ − .9.5.4Постановка задачи оптимизации спекулятивной прибылиВыше мы предположили, что обменный пункт имеет возможность влюбой момент времени обменять валюту на рубли по цене c∗ . В этомслучае суммарные активы компании к некоторому моменту времени(см. (9.5.7) и (9.5.8) можно представить в рублевом эквиваленте в следующем виде:+∗∗M +c G=u+c v+δNX+−Xj++δ−j=1NXXj− .j=1Нашей дальнейшей целью будет являться описание распределения случайной величины+R=δ+NX−Xj++δ−j=1NXXj− ,(9.5.9)j=1характеризующей прибыль компании в ситуации, когда случайные величины N + и N − имеют пуассоновское распределение с параметрамиλ+ и λ− , которые, как уже отмечалось выше, являются убывающимифункциями от δ + и δ − соответственно.Рассмотрим характеристическую функцию случайной величины R.Поскольку все случайные величины, стоящие в правой части (9.5.9),являются независимыми, для всех s ∈ IR имеемn³´³´oEeisR = exp λ+ f+ (δ + s) − 1 + λ− f− (δ − s) − 1= exp(³+λ +λ−´Ã=!)λ−λ++f+ (δ s) + +f− (δ − s) − 1+−−λ +λλ +λ,где f+ (s) и f− (s) – характеристические функции случайных величинX1+ и X1− соответственно.

Таким образом, мы получаем, что (напомним,dчто символом = мы обозначаем равенство распределений)dR=NXj=1Yj ,(9.5.10)9.5. Классические процессы риска со случайными премиямигде N имеет распределение Пуассона с параметром λ+ + λ− , случайные величины N, Y1 , Y2 , . . . независимы и Y1 , Y2 , . . . имеют одинаковуюфункцию распределения (см., например, (Лукач, 1979), стр. 31)P (Y1 < x) =´´³³λ−λ++ +− −<x+<x, (9.5.11)PδXPδX11λ+ + λ−λ+ + λ−которая является не чем иным, как смесью функций распределенияF+ (x) = P(δ + X1+ < x) и F− (x) = P(δ − X1− < x).Из соотношений (9.5.10) и (9.5.11) вытекает общий вид функциираспределения случайной величины R.

Поскольку справедлива формулаnX(F1 + F2 )∗n (x) =³∗(n−k)Cnk F1∗k ∗ F2´(x),k=0где символ H ∗n (x) обозначает n-кратную свертку функции H(x) с самой собой:Z +∞H ∗n (x) =H ∗(n−1) (x − z)dH(z),−∞H ∗0 (x) – функция с единственным скачком в нуле, мы получаем−(λ+ +λ− )P (R < x) = e∞nX1 Xn=0n! k=0³∗(n−k)Cnk (λ+ )k (λ− )n−k F+∗k ∗ F−´(x).(9.5.12)Напомним, что целью компании является определение δ и δ такимобразом, чтобы прибыль от деятельности была в некотором смыслемаксимальной. Это требование можно сформулировать в виде следующих задач:Задача 1: определить δ + и δ − таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль:+ER → max;+ −δ ,δ−(9.5.13)Задача 2: найти значения δ + и δ − , обеспечивающие для некоторогоr ≥ 0 и близкой к единице величины γ соотношениеP(R ≥ r) ≥ γ,(9.5.14)то есть требуется найти курсы покупки и продажи валюты, которыедают возможность получить заданную прибыль с достаточно большойвероятностью. Кроме того, соотношение (9.5.14) дает возможность оценить величину прибыли при заданных значениях δ + и δ − .4434449.5.59.

Обобщенные процессы рискаРешение, основанное на нормальной аппроксимацииДля ожидаемой прибыли справедливо очевидное равенствоER = λ+ δ + EX1+ + λ− δ − EX1− .(9.5.15)Поскольку λ+ и λ− являются функциями от δ + и δ − соответственно,решение задачи (9.5.13) в общем случае (без дополнительных предположений о конкретном виде зависимости λ+ и λ− от δ + и δ − ) непредставляется возможным. Более того, при решении задачи (9.5.14)также возникают вполне очевидные затруднения, поскольку даже дляпростейших видов распределений случайных величин X1+ и X1− вычисление функции распределения пуассоновской случайной суммы R вявном виде по формуле (9.5.12) крайне затруднительно.

Поэтому имеет смысл каким-либо образом оценить функцию распределения R ирешить задачу (9.5.14) с помощью полученной оценки. В частности,мы можем воспользоваться аналогом неравенства Берри–Эссеена дляпуассоновских случайных сумм, для чего нам понадобится следующееутверждение.Будем обозначать через Φ(x) и uq функцию стандартного нормального распределения и q-квантиль стандартного нормального распределения соответственно.Лемма 9.5.1. Предположим, что E|Y1 |3 < ∞. Тогда¯¯ ¯¯+−¯¯C0 L3R − (λ + λ )EY1¯qsup ¯P< x − Φ(x)¯¯ ≤ √ + 1 − ,x ¯¯λ +λ(λ+ + λ− )EY12где C0 – постоянная из неравенства Берри–Эссеена (0.4097 < C0 ≤0.7056), а L31 – нецентральная ляпуновская дробь:L31 =E|Y1 |3.(EY12 )3/2Д о к а з а т е л ь с т в о см.

раздел 2.4.−− k+ kВведем обозначения: µ+k = E(X1 ) и µk = E(X1 ) . Предположим,−что µ+3 < ∞ и µ3 < ∞. Используя Лемму 9.5.1, неотрицательностьслучайной величины Y1 и очевидное соотношениеEY1k =− − k −λ+ (δ + )k µ+k + λ (δ ) µk,λ+ + λ−9.5. Классические процессы риска со случайными премиямисправедливое для любого k, получаем следующую равномерную оценку:¯¯ ¯¯+ + +− − −¯¯R−(λδµ+λδµ)11¯sup ¯P q< x − Φ(x)¯¯ ≤+−x ¯¯λ+ (δ + )2 µ2 + λ− (δ − )2 µ2≤ C0 ³− − 3 −λ+ (δ + )3 µ+3 + λ (δ ) µ3− − 2 −λ+ (δ + )2 µ+2 + λ (δ ) µ2´3/2 .(9.5.16)Соотношение (9.5.16) дает возможность выписать двустороннююоценку распределения прибыли для задачи (9.5.14). Предположим, требуется оценить величину r прибыли компании с вероятностью γ, близкой к единице, то естьP(R ≥ r) = γ.(9.5.17)Из (9.5.16) следует, что− − 3 −− − −λ+ (δ + )3 µ+r − (λ+ δ + µ+3 + λ (δ ) µ31 + λ δ µ1 ) − C0 ³Φ q´3/2 ≤− − 2 −− (δ − )2 µ−λ+ (δ + )2 µ+λ+ (δ + )2 µ++λ2 + λ (δ ) µ222≤ 1−γ ≤− − −− − 3 −r − (λ+ δ + µ+λ+ (δ + )3 µ+1 + λ δ µ1 ) 3 + λ (δ ) µ3≤Φ q+ C0 ³´3/2 .− − 2 −− (δ − )2 µ−λ+ (δ + )2 µ+λ+ (δ + )2 µ++λ2 + λ (δ ) µ222Предположим, что− − 3 −λ+ (δ + )3 µ+3 + λ (δ ) µ3C0 ³´3/2 − γ < 0− (δ − )2 µ−λ+ (δ + )2 µ++λ22и1 − γ − C0 ³− − 3 −λ+ (δ + )3 µ+3 + λ (δ ) µ3− − 2 −λ+ (δ + )2 µ+2 + λ (δ ) µ2´3/2 > 0.(9.5.18)(9.5.19)Тогда, для удобства полагая uq = u(q), q ∈ (0, 1), мы получаемµu 1 − γ − C0 ³µ− − 3 −λ+ (δ + )3 µ+3 + λ (δ ) µ3λ+ (δ + )2 µ+2+¶q´3/2λ− (δ − )2 µ−2− − 2 −λ+ (δ + )2 µ+2 + λ (δ ) µ2 +− − −+ + +− − −+λ+ δ + µ+1 + λ δ µ1 ≤ r ≤ λ δ µ1 + λ δ µ1 ++u 1 − γ + C0 ³− − 3 −λ+ (δ + )3 µ+3 + λ (δ ) µ3λ+ (δ + )2 µ+2+´3/2λ− (δ − )2 µ−2¶q− − 2 −λ+ (δ + )2 µ+2 + λ (δ ) µ2 .(9.5.20)4454469.

Обобщенные процессы рискаЭтот результат дает возможность определить пределы будущей−прибыли при установленных δ + и δ − и известных моментах µ+k и µk(1 ≤ k ≤ 3), которые могут быть оценены статистически. Заметим также, что неравенство (9.5.20) можно уточнить, имея дополнительную−информацию о моментах µ+k и µk (k ≥ 4).Соотношение (9.5.16) также дает возможность оценить оптимальные (в смысле задачи (9.5.14) или (9.5.17) значения курсов продажи ипокупки валюты, основанные на нормальной аппроксимации− − −r − (λ+ δ + µ+1 + λ δ µ1 )q− − 2 −λ+ (δ + )2 µ+2 + λ (δ ) µ2≈ u1−γ .(9.5.21)Так же, как и при решении задачи (9.5.13), определение оптимальныхзначений δ + и δ − требует дополнительных предположений о виде зависимости среднего количества клиентов компании от маржи.

Рассмотрим некоторые виды такой зависимости, но прежде всего, опишем наиболее значимые ее черты. Во-первых, как уже отмечалось ранее, согласно закону спроса, при изменении цены товара спрос на него меняется в противоположном направлении, поэтому λ+ и λ− должны бытьсвязаны с δ + и δ − обратно монотонной зависимостью. Второй важнойчертой, характеризующей зависимость спроса на товар от его ценыявляется эластичность товара (чувствительность спроса на товар к изменению его цены). Товар является совершенно неэластичным, еслидаже сильное изменение цены товара не приводит к изменению спросана него.

Характеристики

Список файлов книги