korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 75
Текст из файла (страница 75)
График функции спроса на совершенно неэластичный товарпредставляет собой линию, параллельную оси ординат. Товар является совершенно эластичным, если даже бесконечно малое изменение егоцены приводит к бесконечно большому изменению спроса на него. График функции спроса в этом случае имеет вид линии, параллельной осиабсцисс. Таким образом, эластичность товара определяет угол наклона графика функции спроса к оси абсцисс, а также скорость убыванияфункции спроса. Если в качестве товара выступает валюта, то невозможно определить в общем случае, является ли она эластичным илинеэластичным товаром. Для установления этого свойства необходиморассматривать конкретную валюту в условиях конкретной страны.
Например, в России, где доллар почти является национальной валютой,спрос на него будет неэластичным, в то время как во Франции спрос нате же доллары будет почти совершенно эластичным ввиду особого отношения французов к данной валюте. Несомненно, что показатель эластичности может меняться со временем. Так, в России после введенияевро спрос на доллары стал менее неэластичным, поскольку появиласьальтернативная валюта, в которой можно хранить свои сбережения. Из9.5. Классические процессы риска со случайными премиямиобщих соображений по поводу изменения спроса на товар при изменении его цены можно высказать предположение о том, что, чем больше относительное изменение величины маржи обменного пункта, тембольше изменение величины спроса. Поскольку в различных условияхфункция спроса на товар имеет разный вид, мы рассмотрим нескольконаиболее характерных видов зависимостей интенсивности потока клиентов от надбавок δ + и δ − обменного пункта.
Везде далее мы будемпредполагать, что δ + = δ − = δ, то есть ситуация на валютном рынкедостаточно стабильна.9.5.6ПримерыВ данном разделе мы рассмотрим несколько модельных примеров зависимости интенсивностей потоков клиентов λ+ и λ− от величины δ. Напрактике подобные виды зависимостей могут быть получены, исходяиз статистических соображений. Нашей целью будет являться решениезадач (9.5.13) и (9.5.14) при заданной взаимосвязи интенсивности потока клиентов и маржи. Мы будем предполагать, что при значенияхδ, больших некоторого критического уровня δ0 ≤ c∗ , поток клиентовиссякает (то есть λ+ = λ− = 0 при δ > δ0 ). При этом, величина δ0может определяться как из чисто математических соображений, так ииз экономических, связанных, прежде всего, с эластичностью валюты.Во всех нижеследующих примерах значения рассматриваемых параметров выбирались из соображения наибольшей наглядности рисунков.Пример 9.5.1.
Предположим, что λ+ и λ− линейно зависят от δ:λ+ (δ) = b+ − a+ δ ,λ− (δ) = b− − a− δ ,(9.5.22)где a+ , a− , b+ , b− – некоторые положительные константы. Данная зависимость представляет собой аналитическое выражение классическойкривой спроса. Ее основным свойством является то, что величина изменения спроса зависит только от величины изменения маржи и независит от текущего уровня спроса.
То есть эластичность спроса поцене является одинаковой для каждой точки рассматриваемого видакривой спроса.В этом случае для ожидаемой прибыли справедливо равенство (ср.(9.5.15))³³´ ´− −+ +− −ER = δ · b+ µ+1 + b µ1 − a µ1 + a µ1 δ .Правая часть этого равенства представляет собой квадратическуюфункцию от δ, поэтому максимум ожидаемой прибыли существует и4474489. Обобщенные процессы рискадостигается приδ1 =− −b + µ+1 + b µ1,− −2(a+ µ+1 + a µ1 )а для величины δ0 при этом справедливо равенствоδ0 =− −b + µ+1 + b µ1.− −a+ µ+1 + a µ1Соотношение (9.5.21) при заданных в (9.5.22) зависимостях λ+ и λ−от δ принимает вид:r≈δ·r+u1−γ ·h³´³´i−−−b+ − a+ δ µ+1 + b − a δ µ1 +hi−−−δ 2 · (b+ − a+ δ) µ+2 + (b − a δ) µ2 .(9.5.23)С помощью соотношения (9.5.23) легко (например, численно) найтизначение оптимальной (в смысле (9.5.14)) маржи δ2 , максимизирующей с заданной близкой к единице вероятностью γ гарантированнуюприбыль r.Примеры 9.5.2 и 9.5.3 иллюстрируют задачи, рассмотренные в примере 9.5.1, для других видов зависимости λ+ и λ− от δ.
В отличиеот зависимости, рассмотренной выше, в нижеследующих случаях величина изменения спроса зависит не только от величины изменениямаржи, но и от текущего значения спроса. Это предположение является более реалистичным: если величина изменения маржи составляет существенную часть цены покупки (продажи), то естественно, чтоспрос изменится сильнее, чем если величина изменения маржи составляет незначительную часть существующего уровня цены покупки (продажи).
Таким образом, эластичность спроса по цене при таких видахзависимости определятся текущим уровнем цены покупки (продажи):при разных значениях цены спрос может быть как эластичным, так инеэластичным, что соответствует реальной ситуации на рынке обменавалют. По своей сути, виды зависимостей, рассмотренные в примерах9.5.2, 9.5.3 и 9.5.4, отличаются друг от друга только точкой, в которойхарактеристика валюты меняется с эластичной на неэластичную.Пример 9.5.2. Пустьλ+ (δ) =b+δиλ− (δ) =b−,δ(9.5.24)то есть среднее количество клиентов, обратившихся в пункт обменавалют, обратно пропорционально марже.9.5.
Классические процессы риска со случайными премиямиВ данном случае для ожидаемой прибыли компании будет иметьместь равенство− −ER = b+ µ+1 + b µ1 .Таким образом, если между интенсивностью потока клиентов и маржейнаблюдается зависимость (9.5.24), то компания никак не может влиятьна ожидаемую прибыль.Из соотношений (9.5.21) и (9.5.24) имеем:q√+ +− −− −r ≈ b µ1 + b µ1 + u1−γ b+ µ+δ.(9.5.25)2 + b µ2 ·Заметим, что при γ ≥ 1/2 квантиль u1−γ будет неположительной. Таким образом, соотношение (9.5.25) имеет смысл лишь при условии− −r ≤ b + µ+1 + b µ1 .(9.5.26)Ограничение (9.5.26) возникает в силу приближения распределенияприбыли, сосредоточенного на неотрицательной полуоси, нормальнымраспределением, симметричным, относительно нуля.Очевидно, что в этом случае обменному пункту выгодно выбиратьнаименьшую из приемлемых для него маржей.Пример 9.5.3.
Пусть λ+ и λ− экспоненциально убывают по δ:+−λ+ (δ) = α+ e−κ δ ,λ− (δ) = α− e−κ δ ,(9.5.27)где α+ , α− , κ+ и κ− – некоторые положительные числа.Ожидаемая прибыль компании равняется в этом случае³+´−− −κ δ −ER = δ · α+ e−κ δ µ+µ1 .1 +α eСоотношение (9.5.21) при условии (9.5.27) имеет вид³++−−´r ≈ δ · α+ e−κ δ µ1 + α+ e−κ δ µ1 +q+u1−γ δ ·+−α+ e−κ+ δ µ2 + α− e−κ− δ µ2 .Заметим, что, вообще говоря, оптимальная (в том или ином смысле)маржа может не являться единственной. Так, например, мы можем назначить цену покупки и продажи валюты таким образом, чтобы получить необходимую прибыль за счет притока дополнительных клиентов,а можем, наоборот, увеличить маржу и получить прибыль за счет выгодной разницы курсов.
Простейшей иллюстрацией этого утвержденияявляется пример 9.5.2.Возможны и иные виды зависимостей, удовлетворяющих основномуусловию, при котором λ+ и λ− убывают как функции δ.4494509. Обобщенные процессы риска9.5.7Решение, основанное на экспоненциальныхоценках вероятностей больших уклоненийпуассоновских случайных суммВведем обозначения EY1 = a, EY12 = b, тогда ER = (λ+ + λ− )a,G2 = DR = (λ+ + λ− )b. Для решения задачи 2 (см. (9.5.14)) можноиспользовать следующий результат.Теорема 9.5.3. Пусть P(Y1 ≤ C) = 1.
Тогда для всех x ≥ 0 справедливо неравенство(+−P(R − (λ + λ )a ≥ Gx) ≤ exp −x2 (1)+ ζ) ln(1 + ζ 0 ) − ζ 0,ζ2гдеxC, ζ 0 = min{e − 1, ζ}.GД о к а з а т е л ь с т в о сходно с доказательством Теоремы 5.8.3.Как и ранее, мы будем использовать обозначения µ+=k+ k−− kE(X1 ) , µk = E(X1 ) . В терминах случайных величин Yj , введенныхв (9.5.10) и (9.5.11), мы можем записатьζ=P(R < r) = PÃNX!Yi − (λ+ + λ− )a < r − (λ+ + λ− )a =i=1=PÃNX!+−+−Zi + (λ + λ )a > −r + (λ + λ )a =i=1( PN=Pi=1)−r + (λ+ + λ− )aZi + (λ+ + λ− )a>,GG(9.5.28)где Zi = −Yi , EZi = −a. Очевидно, что |Zi | = |Yi | ≤ .
Пустьx=−r + (λ+ + λ− )a.G(9.5.29)Используя Теорему 9.5.3, неотрицательность случайной величины Y1 исоотношение− − k −λ+ (δ + )k µ+k + λ (δ ) µkE(Y1 )k =,λ+ + λ−− − −справедливое для любого k, для всех r ≤ ER = δ + λ+ µ+1 + δ λ µ1получаем()002 (1 + ζ) ln(1 + ζ ) − ζP(R < r) < exp −xζ29.5. Классические процессы риска со случайными премиямиУчитывая соотношениеx=− − −δ + λ + µ+1 + δ λ µ1 − rGи обозначенияxC 0, ζ = min{e − 1, ζ},G− − −+ + +− − −для всех r ≤ δ + λ+ µ+1 + δ λ µ1 получим: если r ≤ δ λ µ1 + δ λ µ1 −(e−1)G2, тоCζ=)(G2P(R < r) < exp − 2 [(1 + ζ) ln(1 + ζ) − ζ] ;C− − −если δ + λ+ µ+1 + δ λ µ1 −(e−1)G2C< r, то()G2P(R < r) < exp − 2 (ζ + 2 − e) .C(9.5.30)При этом справедливо представлениеζ=− − −(δ + λ+ µ+1 + δ λ µ1 − r)C.G2Напомним, что нашей целью было получить некоторую оценку распределения прибыли R, в частности решить задачу (9.5.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
