korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 80

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 80)

. . θr ) = Eθ X k .Идея метода моментов заключается в приравнивании теоретическихмоментов µk (θ1 , . . . θr ) эмпирическим моментам n1 (xk1 + . . . + xkn ):µk (θ1 , . . . θr ) =1 k(x + . . . + xkn ),n 1k = 1, 2, . . . , r(11.1.5)и разрешении системы уравнений (11.1.5) относительно θ1 , . . . θr . Полученные таким образом оценки, как правило, являются состоятельными.Метод максимального правдоподобия заключается в отыскании такого значения θ, которое при фиксированной выборке x1 , . . . , xn доставляет максимум функции правдоподобияL(θ; x1 , .

. . , xn ) =nYf (xj ; θ).j=1Идею метода максимального правдоподобия наглядно иллюстрируетситуация, когда X – дискретная случайная величина. В этом случаеL(θ; x1 , . . . , xn ) – это вероятность того, что будут наблюдаться именно значения x1 , . . . , xn . Интуитивно ясно, что чаще других происходятсобытия, вероятность которых велика. Коль скоро мы знаем выборку48011. Статистика страховой деятельностиx1 , .

. . , xn , то событие, результатом которого она стала, произошло, араз так, то есть все основания считать, что вероятность этого события велика. Таким образом, надо искать те значения θ, при которыхфункция правдоподобия L(θ; x1 , . . . , xn ) велика. Оценки, полученныепо методу наибольшего правдоподобия, как правило, состоятельны ипри больших n почти оптимальны.11.1.4Наиболее часто употребляемые дискретныераспределения и оценки их параметровТеперь мы приступаем к описанию банка моделей и оценок соответствующих параметров.Биномиальное распределение.Функция частоты имеет видx xf (x; θ) = Cmp (1 − p)m−x ,x = 0, 1, .

. . , m.Параметры: m ∈ IN, p ∈ (0, 1).Если случайная величина X имеет биномиальное распределение спараметрами m и p, тоEX = mp,EX 3 = mp(1 − p)(1 − 2p).DX = mp(1 − p),Случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами m и p, может быть интерпретирована как число появленийнекоторого события в последовательности из m независимых испытаний, когда вероятность появления этого события в каждом испытанииравна p.Если θ = (m, p), то есть неизвестны оба параметра, то оценки методамоментов для m и p имеют вид·f=mгде¸(x)2,x − s2n1Xx=xj ,n j=1pe = 1 −s2,xn1 Xs =(xj − x)2 ,n − 1 j=12а символ [a] обозначает целую часть числа a.Если θ = p, то есть неизвестен только параметр p, то оптимальнойоценкой параметра p являетсяpb =x.m11.1.4.

Дискретные распределения481Отрицательное биномиальное распределение.Функция частоты имеет видx−1f (x; θ) = Cm+x−1pm (1 − p)x−1 ,x = 1, 2, . . .Параметры: m ∈ IN, p ∈ (0, 1).Если случайная величина X имеет отрицательное биномиальноераспределение с параметрами m и p, тоEX =m(1 − p),pDX =m(1 − p),p2EX 3 =m(1 − p)(2 − p).p3Случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение с параметрами m и p, может быть интерпретирована как единица плюс число появлений некоторого события в последовательностинезависимых испытаний, когда вероятность появления этого события вкаждом испытании равна p, до m-го испытания, закончившегося непоявлением рассматриваемого события.Если θ = (m, p), то есть неизвестны оба параметра, то оценки методамоментов для m и p имеют вид·f=m¸(x − 1)2,s2 − x + 1pe = 1 −x−1.s2(11.1.6)Если θ = p, то есть неизвестен только параметр p, то оптимальнойоценкой параметра p являетсяpb =x.x + m − n1(11.1.7)Иногда под отрицательным биномиальным распределением понимают распределение, задаваемое частотойxf (x; θ) = Cm+x−1pm (1 − p)x ,x = 0, 1, 2, .

. .(11.1.8)x = m, m + 1, . . .(11.1.9)или частотойm−1 mp (1 − p)m−x ,f (x; θ) = Cx−1Ни в одном из этих случаев оценки (11.1.6) или (11.1.7) не применимы.Чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо предварительнопреобразовать выборку, прибавив к каждому ее элементу единицу вслучае (11.1.8) или уменьшив каждый ее элемент на m − 1 в случае(11.1.9).48211.

Статистика страховой деятельностиГеометрическое распределение.Функция частоты имеет видf (x; p) = p(1 − p)x−1 ,x = 1, 2, . . .Параметр: p ∈ (0, 1).Если случайная величина X имеет геометрическое распределение спараметром p, тоEX =1−p,pDX =1−p,p2EX 3 =(1 − p)(2 − p).p3Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального с m = 1. Геометрическое распределение являетсядискретным аналогом показательного распределения (см. ниже).Наилучшая несмещенная оценка параметра p имеет видpb =1 − n1.x + 1 − n1Распределение Пуассона.Функция частоты имеет видf (x; λ) = e−λλx,x!x = 0, 1, 2, . . .Параметр: λ > 0.Если случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ, тоEX = DX = λ.Оптимальная оценка параметра λ имеет видb = x.λ11.1.5Наиболее часто употребляемые непрерывныераспределения размера страховой выплаты иоценки их параметровРавномерное распределение.Соответствующая плотность имеет видf (x; θ) =11x ([a, b]),b−aX ∈ IR.11.1.5.

Непрерывные распределенияПараметры −∞ < a < b < ∞.Если случайная величина X имеет равномерное распределение спараметрами a и b, тоEX =EX k =a+b,2DX =bk+1 − ak+1,(k + 1)(b − a)(b − a)2,12k = 1, 2, . . .Если θ = (a, b), то есть неизвестны оба параметра, то наилучшиминесмещенными оценками параметров a и b являютсяab =i1 hn min xj − max xj ,1≤j≤nn − 1 1≤j≤nbb=i1 hn max xj − min xj .1≤j≤nn − 1 1≤j≤nЕсли a = 0 и θ = b, то наилучшей оценкой параметра b являетсяn+1bb=max xj .n1≤j≤nГамма-распределение.Соответствующая плотность имеет вид 0,f (x; θ) = λαΓ(α)если x < 0,xα−1 e−λx , если x > 0,где Γ(α) – эйлерова гамма-функция:Z∞tα−1 e−t dt.Γ(α) =0Параметры: λ > 0 (параметр масштаба); α > 0 (параметр формы).Если случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами α и λ, тоααEX = , DX = 2 ,λλEX k =α(α + 1) · . .

. · (α + k − 1),λkk = 1, 2, . . .48348411. Статистика страховой деятельностиЕсли θ = (α, λ), то есть неизвестны оба параметра, то оценки методамоментов для α и λ имеют видe =α(x)2,s2e=λx.s2Если θ = λ, то есть неизвестен только параметр λ, то наилучшая несмещенная оценка параметра λ имеет видα − n1.xb=λПоказательное (экспоненциальное) распределение.Соответствующая плотность имеет вид(f (x; λ) =0,λeесли x < 0,−λx, если x ≥ 0.Параметр: λ > 0.Показательное распределение является частным случаем гаммараспределения, соответствующим значению α = 1.Если случайная величина X имеет показательное распределение спараметром λ, то11EX = , DX = 2 ,λλEX k =(k − 1)!,λkk = 1, 2, . . .Наилучшая несмещенная оценка параметра λ имеет видb=λ1 − n1.xРаспределение Эрланга.Соответствующая плотность имеет вид 0,f (x; θ) = (µm)m m−1 −µmxxe,(m−1)!если x < 0,если x > 0.Параметры: m ∈ IN (параметр формы); µ > 0 (параметр масштаба).11.1.5.

Непрерывные распределения485Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения, соответствующим значениям α = m, λ = µm. Если случайнаявеличина X имеет распределение Эрланга с параметрами m и µ, то1,µEX =EX k =DX =(m − k + 1)!,(m − 1)!(µm)k1,mµ2k = 1, 2, . . .Если θ = (m, µ), то есть неизвестны оба параметра, то оценки метода моментов для m и µ имеют вид·¸(x)2+ 1,s2f=mµe =1.xЕсли θ = µ, то есть неизвестен только параметр µ, то наилучшая несмещенная оценка параметра µ имеет видµb =m − n1.mxГиперэкспоненциальное распределение.Соответствующая плотность имеет вид(f (x; θ) =0,если x < 0,Pmk=1pk λk e−λk x , если x > 0.Параметры: m ∈ IN; pk ≥ 0, k = 1, .

. . , m (p1 + . . . + pm = 1); λk > 0,k = 1, . . . , m.Гиперэкспоненциальное распределение представляет собой конечную смесь показательных законов.Если случайная величина X имеет гиперэкспоненциальное распределение, тоEX k = k!mXpj,kj=1 λjDX = 2mXpjj=1λ2j−·Xmpjj=1 λj¸2.Оценки параметров гиперэкспоненциального распределенияищутся с помощью численной максимизации функции правдоподобия.48611. Статистика страховой деятельностиРаспределение Вейбулла.Соответствующая плотность имеет вид(f (x; θ) =0,если x < 0,λαxα−1 e−λxα, если x > 0.Параметры: λ > 0 (параметр масштаба); α > 0 (параметр формы).Если случайная величина X имеет распределение Вейбулла с параметрами α и λ, то³1EX = λ−1/α Γα´+1 ,DX = λ−2/α³kn2 ³2´αΓα−1 h ³ 1 ´i2 oΓ,α2α´EX k = λ−k/α Γk = 1, 2, .

. .αПри α = 1 распределение Вейбулла переходит в показательное распределение.Оценка параметра α ищется (см. (Гумбель, 1965), c. 349) как решение уравнения³κ3 =Γ 1+3α´³− 3Γ 1 +n ³Γ 1+2α´+1 ,2α´ ³Γ 1+h ³1α− Γ 1+´1αh ³+2 Γ 1+´i2 o3/21α´i3,где κ3 – выборочный коэффициент асимметрии,n1 Xκ3 = 3(xj − x)3 .ns j=1При известном значении параметра α и nα > 1 наилучшая несмещенная оценка параметра λ имеет вид (см. (Воинов и Никулин, 1989), с.326)e = ³ Γ(n)´λ,Γ n − α1 T 1/αгдеT =nXxαj .j=1Распределение Вейбулла, наряду с гамма-распределением, по мнению многих авторов является наиболее разумной моделью распределения страховых выплат.11.1.5. Непрерывные распределенияЛогнормальное распределение.Соответствующая плотность имеет видf (x; θ) = 0,1√xσ 2πnexp −o2(ln x−m)2σ 2если x < 0,, если x > 0.Параметры: σ > 0 (параметр масштаба); m ∈ IR (параметр формы).Если случайная величина X имеет логнормальное распределение спараметрами σ и m, тоEX = expn σ22EX k = expo+m ,n k2σ2DX = eσ2 +2m2(eσ − 1),ok = 1, 2, .

. .2Если случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами m и σ 2 , то случайная величина X = eY имеет логнормальноераспределение с параметрами σ и m.Наилучшей несмещенной оценкой для параметра m являетсяf=m+ km ,n1Xln xj ,n j=1наилучшей несмещенной оценкой для параметра σ 2 являетсяµnn1 X1Xσe =ln xj −ln xjn − 1 j=1n j=12¶2.Хи-распределение.Плотность хи-распределения с m степенями свободы имеет видf (x; θ, m) = m m−1exp{−(θx)2 /2}θ x2m/2−1 Γ(m/2)0,, x > 0,x ≤ 0.Если случайная величина X имеет хи-распределение с m степенямисвободы, то2k/2 Γ((m + k)/2)EX k =,θk Γ(m/2)√ √·¸m2( 2 − 1) Γ((m + 1)/2) 2DX = 2 +.θθ2Γ(m/2)48748811. Статистика страховой деятельностиОценки метода моментов параметров θ и m ищутся как решение системы уравнений√2Γ((m + 1)/2)x =θΓ(m/2)√ h Γ((m + 1)/2) i22 2. θ s = m + (2 − 2)Γ(m/2)Распределение Рэлея–Райса.Хи-распределение с двумя степенями свободы (m = 2) называется распределением Рэлея–Райса.

Его плотность имеет вид(f (x; θ) =θ2 x exp{−(θx)2 /2}, x > 0,0,x ≤ 0.Для распределения Рэлея–Райса простейшая оценка параметра θ пометоду моментов имеет вид√2πθen =.x11.1.6Критерий согласия хи-квадрат.Степень адекватности математической модели, описывающей ту илииную стохастическую ситуацию, можно проверить с помощью так называемых критериев согласия. В данном разделе мы рассмотрим дватаких критерия – критерий согласия хи-квадрат и критерий согласияКолмогорова.Критерий согласия хи-квадрат использует сгруппированные данные подобно тому, как это было сделано при рассмотрении гистограммы в разделе 11.1.1.Пусть имеется независимая однородная выборка X1 , .

Характеристики

Список файлов книги