mukhin-fizika-elementarnykh-chastits (810757), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это означает, что экспонеициальную часть волновой функции Се "' можно считать достаточно хорошим приближением для всей области изменения г (штриховая кривая на рис, 309). Это заключение можно подкрепить следующими дополнительными результатами, вытекающими из подробного анализа задачи о дейтроне. 1.
При замене одного потенциала другим вид функции и(е) меняется только в области г < а. Характер волновой функции и(е) в области г>а не зависит от формы потенциала. 2. Теория дейтрона допускает предельный переход а-+О, е'о со при условии, что а 1'о=сонэк При этом из-за Яв>а приближение нулевого радиуса достаточно хорошее. В этом варианте тео ии (с а=О) нормировка приводит к коэффициенту С= Зу/(4и) и волновая фушщия и(г) имеет вид и =,, 3 У 44,), --. (82.32) Она совпадает с точной волновой функцией при г.в»а.
Волновая функция дейтрона дается выражением Зте "' ф()=~— (82.33) Ч'4я г Другая возможная нормировка исходит из условия (рис. 311) ()ф(е) ~'ест=1. В этом случае )1ф(е)~ е1т=4я —,г й.ие4яС ) е ""дгт =1, г ~и(е)~ е а — е г 2яС о т о т. е. С= ~Я2к) и и(«)= ~ — е "'; че(е)= т/ 2я ~/2х (82.34) где у= /21 М4'/Ь. Заметим, что полученное решение совпадает с потенциалом Юкавы.
Полюс при г=О не опасен, так как в его области находится малая часть интеграла. 26 Глава ХЛ'. Нунлон-нунлонные вэаимооейегнвил нуи ниэних энеугилх 3. ОТСУТСТВИЕ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ У ДЕЙТРОНА Легко показать, что рассмотренное связанное состояние дейтрона является его единственным связанным состоянием. Рассмотрим сначала случай 1=0. На рис. З07 видно, что при заданных Ко и и окружность хг+угт)1г имеет только одно пересечение с кривой у= -хсгйх в первом квадранте. Глубина потенциальной ямы дейтрона недостаточна для существования возбужденного связанного состояния.
Оно могло бы появиться только при Я=Зя/2, когда окружность пересекает вторую ветвь кривой у= — хс1йх в точке х = Зк/2, у = О. Но это пересечение соответствует глубине потенциальной ямы гиг Рог'=9 — в=9)го1 =225 Мэв 8ра /для а=2 10 " см), что существенно больше глубины ямы реального дейтрона.
Случай 1эеО не требует отдельного рассмотрения, так как прн 1ФО возникает отталкивание из-за центробежного барьера 1'и=йг/11+1)/12нгег)„длЯ компенсации котоРого Яма должна бйть глубже, чем в случае 1=О. В заключение рассмотрения задачи о дейтроне любопытно отметить, что все приведенные выше результаты получены очень малой ценой, почти «из ничего» (если не считать квантовой механики). Однако для дальнейшего движения вперед нужны новые экспериментальные данные. Например, для того чтобы определить из уравнения (82.22) глубину ямы )'о, нужно кроме ЛИ' знать еще и величину а. Мы получим ее из рассмотрения 1Л~ — 1н')-взаимодействия при положительных энергиях 1Е~О), т.
е. из рассмотрения (1У вЂ” Ф)-рассеяния при низких (Та<20 МэВ) и высоких 1Тн>100 МэВ) энергиях. 9 83. Понятие о теории рассеяния Радиус действия ядерных снл а (и вообще характер ядерного взаимодействия) может быть исследован при помощи квантовомеханической интерпретации результатов опытов по изучению рассеяния нуклонов на нуклонах. Прежде чем перейти к описанию этих опытов, напомним основные погожения квантовой механикч, относящиеся к рассеянию частиц. Ках известно, в квантовой механике состояние частиц описывается с помощььэ волновой функции Чэ, являющейся 28 Глава Агг'зг.
Нуклон-нуклонные взаимодействия нри низких энергиях Действительно, по определению эффективное сечение е(ет равно доле ген(М первичного потока частиц Ф, рассеянной в данный телесный угол о(й. Положив плотность частиц в первичном пучке равной единице (1 ееы ~2 = 1), получим %= о, где о— скорость частиц, а и 2 г2Ф= 7'(О) — ог2гг'й. Отсюда е111 ЯО)~ г ое(зл (у(О) ~2 2П Л' г'о (скорость при упругом рассеянии не меняется). Характер зависимости у'(О) определяет угловое распределение рассеянных частиц. Для количественного анализа упругого рассеяния рассматриваются решения уравнений (83.1) и (83.3) в сферических координатах. Общее решение этих уравнений имеет вид А, зР= 2 — '«рг(г)Р,(сох О), (83.7) г=о " где <рг(г) — радиальная волновая функция; Р,(сохО) — полипом Лежандра; А, = (21+ 1)1 '/21 — коэффициент. Обычно при изучении процесса рассеяния нас интересуют его начальная и заключительная стадии, т.
е. поведение частиц вдали от рассеивающего центра. В этом случае (при больших г) радиальная функция ер2(г) для каждого 1 может быть представлена в виде двух парциальных сферических волн— сходящейся ехр ( — 2(/сг — И/2)) н расход~пцейся ехр ЯЬ вЂ” (к/2)). Для начальной стадии процесса, описываемои плоской падающей волной„обе сферические волны имеют равные амплитуды (для каждого 1): Ер (Г) Еюе-1кг2) Š— Пнг-гк(2) (83.8) так что плоская волна может быть представлена в форме оз г=о (83.9) (разложение по полиномам Лежандра).
Здесь каждая из парциальных сферических волн соответствует движению частиц с данным орбитальным моментом 1 и характеризуется опре- л 83, Политое о теории расселина 29 деленной угловой зависимостью Р,(соиО). Так, случай /=О соответствует сферически-симметричному угловому распределению; случай /=1 — закону Р, =солО; /=2 — закону Рг=(3соагО-1)/2 и т. д. Как уже упоминалось, процесс рассеяния сводится к появлению добавочной расходящейся сферической волны.
Поэтому заключительная стадия рассеяния уже не может быть описана выражениями вида (83.8) и (83.9), так как соотношение между сходящимися и расходящимися сферическими волнами должно измениться. Изменение соотношения парциальных волн формально можно учесть введением коэффициента Я, при расходящейся волне: (83.10) В случае отсутствия поглощения (когда происходит только упругое рассеяние) это изменение должно быть таким, чтобы для каждого / потоки в сходящейся и расходящейся волнах были равны, т.
е. чтобы ~ Я,~г т1. Поэтому множитель Я, может быть представлен в форме я,=ег" г, (83.11) где Ь, вещественно и называется ф а з о в ы м с д в и г о м *. Формализм фазового сдвига очень удобен и, как будет показано ниже, позволяет получить ряд важных результатов. Неформально появление фазового сдвига можно связать с различием скоростей распространения волны в области, занятой нуклоном, и вне этой области (ср. й 45).
С учетом выражения (83,11) парциальная волна после рассеяния выглядит так: (6 — ога,) -(6»- — ) е ' — е (83.12) а решение уравнения (83.1), описывающее заключительную стадию рассеяния, имеет вид . ",.га~ "= г ~";.„'~"е,~ .е)[е,. ~ -1 .-т-д1. (83.13) Нетрудно показать, что выражения (83.8) и (83.!2) пропорциональны соответственно ап(Ь-/х/2) и а(п(1сг — /х/2+86). ' Прн наличии поглощенна Я, = ч,е Иа', где О < и, <! — амплитуда расходнщейеи Ьй парпиальной аолим. 30 Глава Азю Нуклон-нуклоиные взаимодействия лри низких энергиях Таким образом, на больших расстояниях от рассеивающей частицы влияние ее поля настолько мало, что волновая функция практически сохраняет прежний вид (она будет решением волнового уравнения для свободной частицы), Единственным отличием может быть появление сдвига фазы Ь„ который и характеризует рассеяние*: вш(йе — (я/2+б~) (83.14) кг В частности, при 1=0 волновая функция з)п (кг+ бе) з(го згг (83.15) .()= Ф.()- в1п (lгг+ б о) (83.16) Так как фазам Ь, и Ь,+ня соответствует одно и то же значение волновой функции, то обычно фазу определяют в интервале — я/2<8<+я~2 (или О<8<я).
Можно показать, что амплитуда и фаза связаны следующим соотношением: О 2!э, 1(9)= ,'~ (21+1), Р,(сов9), е"'-1 ень где — = — з)пб, называется амплитудой рассеянной волны 2)зг /г с моментом количества движения 1. Подставив (83.17) в (83.6) и проинтегрировав по всему телесному углу, с учетом ор- тогональности полнномов Лежандра Р,(соа9) получим выраже- ние интегрального сечения упругого рассеяния через фазы О о=)1г(9)(зс(ьв=4яе.з 2, (21+1)ыпзб,.
(83.18) 2. ДЛ И НА РАССЕЯ Н ИЯ Рассмотрим два случая (1=0 и 1~0). а. Для волны: 1=0 (у-рассеяние) е'. 1 з (9) =.1 о = в)п Ь о = Й йсгбба — )зг' (83.19) в При наличии рассеяния сдвиг фазы (хотя бы у одной парпиальной волны) должен появиться обязательно, так как если все фазы равны нулю, то все парпнальные волны остаются неизменными и их суперпозипик будет давать только первичную волну (отсутствие рассеяния). 3 еЗ, Лоаетие о теории раесетшя ето=4кХ а)п Ьо= гЬ = г г г ' (83.20) 1-1-с18г 8 — 1ег+~гс18гЬ ° его'т = 4яХг (83.21) Зависимость фазы Ьо, а следовательно, и сечения по от энергии Т (длины волны Х или волнового числа Зе) можно найти из условия сшивки внешнего и внутреннего решений при г=а.
Согласно (83.16) внешнее решение при 1=О есть и(г) = гг(г(г) Логарифмическая производная этого выражения при г=а равна < — ) =йс18()еа-г-бо). (83.22) /е=а Выберем для определенности потенциальную яму с глубиной 1;, 'равной глубине ямы в дейтронной задаче. Тогда внутреннее решение задачи о рассеянии при малой. энергии (Е~ Ро) должно в первом приближении совпадать с внутренним решением дейтронной задачи (гг И' к )го), так как (го — гг И'и Уо+ Е (рис. 312).
Но для дейтронной задачи согласно (83.22) и' /2рМГ 1 (83.23) Приравняв (83.22) и (83,23) и учитывая, что 1еа к1 при Х-+со, получим 'летии ЬО = — 1/ЯВ =СОПа1, (83.24) откуда сгйгЬ = = — = — = = —, (83.25) г 1 тг 21га И' 21ггг И, о И' 1егДг гг Ьггг г Т где р — импульс нейтрона, а Т вЂ” относительная кинетическая энергия. Из постоянства кс188о следувт, что амплитудаХо [см. (83.19)) при /с-еО имеет вешественный предел, который мы обозначим ( — ао)-' 1 1нп~о = 11ш —.— = — ао (83.26) г-о ь-о /согкЬо-гУ Константа ао имеет размерность длины и называется длиной рассеяния. 32 Глгии ХГ'е'.
Огклои-иуилоииие взаимодегйеивии или ииэиие зпергиех и(г) ьгпх~ Рис. 312 Рис. 313 Длина рассеяния является важной характеристикой рассеяния. В рассмотренном приближении (использование простого решения задачи о дейтроне) длина рассеяния совпадает с радиусом дейтрона: — 1 1 по = 11п1 — =-= Ли (83.27) ь-о/ссгьбе т Напомним, что наше рас- 1 г=— = яо. Ге ськ б (83.29) смотрение теории рассеяния яе проводится е предположении, что взаимодействующие частицы не имеют спина (или что зависимостью взаимодействия от спина можно пренебречь).
В 8 84, п. 2 мы увидим, что это пренебрежение недопустимо. Поэтому полученное значение длины рассеяния соответствует (л — р)-рассеянию прн параллельных спинах (так как спин дейтрона равен единице). Это — так называемая триплетная длина рассеяния ам. по =Ма=432 1О 'з см. (83.28) Длина рассеяния ао имеет простой физический смысл.
На рис. 313, а изображены сшитые в точке гг и внутреннее и(г) япкг н внешнее я(г) яп(Ь+Ьь) решения задачи о рассеянии для потенциальной ямы дейтронного типа. В этом случае согласно (82.27) ха>л/2, т. е. з~пхг переходит в спускающуюся ветвь ь1п(Ь+Ьи). Но прн малых энергиях ып(lсг+бь)мы)ггсоьби+ьт бисов)его)ггсоьбь+ь(пбя н, следовательно, представляет собой уравнение прямой, пересекающей ось г в точке у 83. Понятие о теории рассеяние 33 (83.32) 1пп оо (/г ) =4каос, = 4кй~п; а-о 4нт„з 3) сто(у)= (83.34) (83.35) * Решив уравнение Шредингера дяя потенпиала отгалкивания, нетрудно показать, что 'в этом случае (когда не может .быть связанных решений) также получается а >О (рнс. 313, в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
