mukhin-fizika-elementarnykh-chastits (810757), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1. Прямоугольная яма — ь'о для г < а; 0 для г>а, где 1'о>0, а — радиус ямы (рис. 306, а). 2. Экспоненциальный потенциал (рис. 306, 6) р (г)= — (ое-'~'. 3. Потенциал Юкавы (рис. 306, в) К(г)= — 1'ое "1 (г1а) 4. Потенциал Вудса — Саксона (рис. 306, г) у (г)= — ро~(1+е1"- 1и) (82.7) (82.9) где 8=0,55 фм.
о На самом деле основное состояние дейтрона карактернзуегся смесью из 96% з-состояния и 4% Ысостояния. Этой 4ед-ной добавкой можно обьяснить отклонение р(зН) от нр+й„и отличие от нуля квадрупольного электрического момента дейтрона 121(Й). у о2, Э.н.нентирни.ч теорич дейтроно уе/е у! еч уй ! а уй -удое е! -у~/е Рис, 'зсь 5. Потенциал с непроницаемой отталкивающей сердцевиной (рис.
30б, д) ~ — 1'ое " для е>Ь; у'(е) = ~ 1+со для е<Ь<и. (82.10) Некоторые из этих потенциалов в дальнейшем будут Рассмотрены подробнее. Общим для всех них является малый Радиус а соответствующей потенциальной ямы и как следствие у$ ! ! ! еч й 3 20 Глава 2хлК Луклон-нуклонние взаниоаейетвая нрн низких знергиях этого — большая глубина Ио.
При этом уровень энергии, соответствующий связанному состоянию, должен быть расположен на глубине Л И'=2,22 МэВ от краев ямы и достаточно высоко над ее дном (рис, 306, а). Для того чтобы найти связь между Ио, а и Л Иг, а также вид волновой функции хр(г) дейтрона, надо решить уравнение Шредингера для каждого из перечисленных выше потенциалов И(г): Лф+ф(Е- и)ф=б, (82.11) где р — приведенная масса нейтрона и протона; Š— полная энергия. Тогда ~чз(г)~з будет давать вероятность нахождения протона и нейтрона на данном расстоянии г друг от друга. Записав (82.11) в сферических координатах учтя сферическую 1едяз дф симметрию волновой функции ~ — = — =О и введя новую '1 дО дф функцию и (г) = гф(г), (82.12) получим — *+-, ГЕ- В (гЦ.=О. И~и 2п ,1гз и (82.13) Уравнение (82.13) было решено длл всех приведенных выше потенциалов (и многих других), причем оказалось, что основные результаты слабо зависят от выбора потенциала.
Это вполне естественно, так как нуклоны в дейтроне большую часть времени проводят вне потенциальной ямы. Такое заключение следует из с авнения энергии связи ЛИ' и числа парных связей /у'=А(А — 1)/2 между нуклонами для легких ядер 'Н, 'Не и Не (табл. 34). Видно, что с ростом числа связей Л И'/Л/ быстро астет, т. е.
каждая связь работает все более интенсивно. динственное возможное истолкование этого результата заключается в том, что потенциал имеет малый радиус и что нуклоны в дейтроне значительную часть времени находятся за его пределами (размытая волновая функция), В более тяжелых ядрах з Не и 4 Не нуклоны большую часть времени находятся в пределах потенциальной ямы (более локализованная волновая функция). Уменьшение ЛИг/Ю при А>4 связано с проявлением эффекта насыщения, который иллюстрируется примерным постоянством ЛИ"/А для ядер с А>4.
В связи со слабой зависимостью результата от формы потенциальной ямы ниже будет рассмотрено решение уравнения 2 82. Элементарная теория дейтрона 21 Таблияа 34 (82:13) только для простейшего потенциала типа прямоугольной ямы. В этом случае — )ло для г<а, Е= — ЛИ', )'(г) = 0 для г>а, Е= — ЛИЛ и уравнение (82.14) разбивается на два: О1' и 212 а„2+/2 и)о ~И Эх(г) (82,15) для г<а и 2 /2 () (82.16) и(г)=Се "' при г>а, (82.20) где х=,/2)2()ло — ЛИ')/Ь; у= /2р2) Ил/Ь (берем х>0 и у>0).
Найдем связь между параметрами ямы а, 1', и оИ'. Вначале рассмотрим случай /1И'=О, т. е. найдем условие сушествования связанного состояния в яме. Дзя этого вычислим для г>а. Решением уравнения (82.15) является функция и (г) = А яп к г+ В соа х г, (82.17) О /2О1е,— Ои1!Од О . л О, О=О, КаК фуНКцИя 2(Е(Г)Оаи(«)/Г дОЛжыа бЫтЬ ОГраНИЧЕННОй При Г-+О. Решением уравнения (82.1б) является функция и( )=Се '+2)е"', (82.18) где у= /2рЬИЛ/йд г>а. Здесь также коэффициент при втором слагаемом равен нулю (1)тО), так как в противном случае 2(2(г) будет расходиться прн г- со.
Итак, и(«)=Ах(пкг при г<а (82.19) 22 Глава лтх'. Оуклон-нуклонные взаимодеаениил кри низких зкергинл значение функции и'/и в точке у=а из обоих решений (82,!9) и (82.20) и приравняем их друг другу; Хс(йхае» вЂ” у. (82.21) Подставив в (82.21) значения к и у, получим трансцендентное уравнение вида (32.27) или кзй "о —.Л И > з = 1 о Зла Глубина ямы 1'о растет быстрее энергии связи ЛИ'. мнн (82.29) Связь между 1'о и ЛИ' можно получить, решив трансцендентное уравнение (32.22). с18ка= —,/Л И'/()го — Л И').
(82.22) решением которого при Л Их=О является х = х/(2а). (82.23) Но согласно (82.17) при ЛИ'=0 х= ~2р)го/л. Приравнивая это значение х/2а, получаем условие существования уровня с Л Их=О в прямоугольной яме )гоаз = кз лз/(814). (82.24) Подставив в (82.24) числовые значения я, /) и р, получим 1'оаз=1,02 10 24 МэВ.смз (82.25) Условия (82.24) и (82,25) определяют минимальную глубину 1' (МэВ) прямоугольной потенциальной ямы (с шириной а, см), которая необходима для того, чтобы в ней могло существовать связанное состояние: яз «з 10 — з» "о (82.2б) Зра а' Из (82.26) следует, что при а=Х„=Ь/(тхс)=1,4 10 'з см (го""=50 МэВ, а при а=8='/(г,/А=2.10 "см (среднее расстояние между нуклонами в ядре) Ио""=25 МэВ. Рассмотрим теперь случай ЛИ"ФО. Из (82.22) следует, что при ЛИ'>О сгйка<0 и ка>к,'2, т.е. ,ДМ~в- Л И3 /г 2а Э 82.
Элементар~шя теорнм дейтроно гз -гймы и гж/й г й йвхйр к е,мам Р е. ЗО7 ряе. зох хр ка, у= уа. Тогда получим систему уравнений у= — хстйх; 2 2 гпзо 2 2 х+у = — т — ат/1, Ь (82.30) где е1 — радиус окружности на плоскости х, у. Решением является пересечение обеих кривых в первом квадранте (так как х > О, у >0).
Очевидно, что при е1 < и/2 совместного решения нет (штриховые линии на рис. 307); при И=к/2 обе кривые пересекаются в точке х=я/2, у=О, что соответствует ЛИ'=0 (появление связанного состояния); при А>я/2 точка пересечения кривых расположена при у > О. Для заданных а и б И' она находится на пересечении прямой у=Тат /2ИМФа/Ь=сопзг с линией у=-хсгйх. Радиус окружности, проходящей через точку пересечения, определяет глубину потенциальной ямы 1ео=й~е1~/(21еа'). Очевидно, что столь же просто можно найти а по 1'о и ЬИ'или еЗ И'по а н 1'о.
На рнс. 308 изображены результаты решения уравнения для а= 2 фм и а=!,4 фм при двух значениях Л И' (О и 2,22 МэВ). Из рисунка видно, что даже такой сравнительно неглубокий уровень, как Е= — 2,22 МэВ, может существовать в потенциальной яме, только если ее глубина на 1О МэВ превосходит минимальную. 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И РАДИУС ДЕИТРОНА Вернемся к вопросу о виде волновой функции дейтрона. Выше было показано, что решение уравнения Шредингера для прямоугольной ямы шириной а и глубиной Ро изображается формулами (82.19) и (82.20): Для этого умножим уравнение (82.2! ) на а и введем обозначения 24 Глана Х1Р. еэуклан-иукланные еэаиыадейппвич нри ниэкик энергияк Рис. 310 Рис.
309 о Рнс. 3! ! и(г)=4ыпяс для г<а; и(г)=Се "" для г>а, ,„/~р(~; — 21 И') „~2р~~ где я= — — —, а у=- . Коэффициенты А и С мо- Ь ' й гут быть найдены из условия непрерывности функции в точке гг и и условия нормировки. На рис. 309 изображена (сплошной' линией) волновая функция и(г), «сшитая» в точке г=а из (82.19) и (82.20). Эта функция при г<а изменяется по закону синуса, причем согласно (82.27) она проходит через максимум при гс <а.
Прн г>а функция и(г) экспоненциально убывает, причем скорость ее убывания ойредсляется коэффициентом у. Характерную длину Яр— - — — — — — — — 4лй. 10 'э см, Ь т ~2РЛ Иг на протяжении которой и(г) уменьшается в е раз, естественно назвать радиусом дейтрона, Из сравнения Гс» с а видно, что радиус дейтрона более чем вдвое превышает выбранный нами радиус ямы а = 2,0 1О " см, а прн а = 1,4 фм — даже более чем втрое.
Таким образом, нуклоны дей грона действительно имеют заметную вероятность находиться за пределами потенциальной ямы, так что в среднем они находятся на ее краях. 8 82. Элементарная теория дейтрона На рис. 310 схематически показано, как это можно себе представить для ямы типа Вудса — Саксона. Из-за этой особенности дейтрон часто называют «рыхлым» ядром. Большой радиус дейтрона (т. е. медленное убывание е '"), приводит к тому, что в области г>а находится большая часть площади, ограниченной кривой и(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
