Автореферат (786427), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для решения поставленной задачи создан и зарегистрирован программный комплекс [16].На рис. 2 и 3 представлены зависимости положения границы областиконтакта и скорости ее расширения в зависимости от времени, полученные врезультате решения задачи на сверхзвуковом этапе взаимодействия при=R 1, =h 0.05,=γ 1, =V 0.1.Рис. 2.Рис. 3.Зависимости контактного давления и нормальных перемещений оболочкиот времени в разных точках области контакта представлены на рис. 4 и 5 соответственно. Сплошная кривая соответствует лобовой точке оболочки, штриховая – точке с координатой θ =0.04 , штриховая пунктирная – θ =0.08 .На рис.
6, 7 представлены соответственно зависимости контактного давления, нормальных перемещений от времени в лобовой точке оболочки. Здесь идалее сплошные кривые соответствуют случаю ( γ =1 - оболочка и полупространство - сталь), штриховые – случаю ( γ =0.95 - оболочка - алюминий, полу-11пространство - сталь), штриховые пунктирные – случаю ( γ =0.77 - оболочка –сталь, полупространство - медь).Рис. 4.Рис. 5.Рис. 6.Рис. 7.Относительная погрешность представленных выше результатов в процентном отношении по норме составляет 2.7%.В расчетах удерживалось четыре члена рядов в разложениях по полиномам Лежандра и их производным, так как учет большего числа членов дает незначительное уточнение результатов.В главе 3 рассматривается произвольный этап контактного взаимодействия оболочки и полупространства.
Разработанный в предыдущей главе алгоритм решения нестационарной контактной задачи для сферической оболочки иупругого полупространства не применим в случае дозвукового этапа контактного взаимодействия. Это объясняется тем, что носитель нормальных переме12щений оболочки на дозвуковом этапе не совпадает с областью контакта. Поэтому для данного этапа взаимодействия построена новая система разрешающих уравнений, основное уравнений которой( w + V0τ cos θ ) cos θ,uz =r ≤ b ( τ ).(21)вытекает из последнего граничного условия в (10) и интегральных представлений нормальных перемещений оболочки и полупространства (13), базирующихся на принципе суперпозиции.
В (21) учитывается редукция постановки задачи к нулевым начальным условиям (см. (26)). При этомb( t )tw= J 0 ( θ, t ) , u=J1 ( θ, t ) , J 0 (θ, t=)z∫ dt ∫ G020tb( t )00J1 (θ, t) = γ ∫ dt(θ, ξ, t − t ) p (ξ, t )d ξ,0(22)∫ Λ(θ, ξ, t − t ) p(ξ, t )d ξ.Здесь функция Λ (θ, ξ, τ) представлена в работе [2], G02 – функция влияния дляоболочки, сR – скорость волны Рэлея, η1 =1, η2 =η , с11 и сi1 – скорости распространения волн растяжения-сжатия в полупространстве и сдвига в основании( i = 1 ) и ударнике ( i = 0 ), Λ kr (θ, ξ, τ) – регулярные составляющие, являющиесянепрерывными функциями; Λ ks (θ, ξ, τ) – сингулярные составляющие ядра Λ ,H ( x ) - функция Хевисайда.Уравнение (21) вместе с кинематическим соотношением (7) и уравнениемоболочки как абсолютно твердого тела, записанным в интегральной форме:t b (t )1uc = V0 t +J c ( tt) , J c ( ) = p∫m00)( − t ) sin(2ξ)d ξdt ,∫ p ( ξ, tt(23)0а также начальным условиемb ( 0) = 0(24)образуют замкнутую систему разрешающих уравнений.Для нахождения нормальных перемещений оболочки используется функция влияния G0 , которая является решением системы уравнений (3) – (5) принулевых начальных условиях и поверхностном давлении вида:13p = δ ( τ ) δ ( θ − ξ ).(25)Сведение начальных условий (9) к однороднымu = u − V0 τ sin θ, w = w + V0 τ cos θ(26)и подстановка (26) в (3) – (5), привели к системе уравнений относительно неизвестных u , w , χ , являющихся функциями влияния для оболочки, для которыхвведены специальные обозначения:G01 (θ, ξ, τ) = u , G02 (θ, ξ, τ) = w , G03 (θ, ξ, τ) =χ .(27)После разложения G01 , G02 , G03 в ряды по полиномам Лежандра и их производным∞∑ G ( τ, ξ )G01 ( θ, ξ, τ ) G03 ( θ,=ξ, τ )T01nn =1∞∑G02 ( θ, ξ, τ ) d ( θ=− ξ)Tn =0G03n ( τ, ξ )TdPn ( cos θ ),dθG02 n ( τ, ξ ) dn ( ξ ) Pn ( cos θ ),T(28)2n + 1Pn ( cos ξ ) sin ξ,2=d n (ξ)и подстановки в (3) – (5) получена система относительно неизвестных коэффициентов разложений (28), зависящих от времени τ и угловой координаты ξ : =γ 2GL11nG01n ( ξ, τ ) + L12 nG02 n ( ξ, τ ) + L13nG03n ( ξ, τ ) ,01n ( ξ, τ )δ(τ)δn (ξ),h =γ 2GL31nG01n ( ξ, τ ) + L32 nG02 n ( ξ, τ ) + L33nG03n ( ξ, τ ) .03 n (ξ, τ) =γ 2GL21nG01n ( ξ, τ ) + L22 nG02 n ( ξ, τ ) + L23nG03n ( ξ, τ ) +02 n (ξ, τ)(29)Решение системы (29) найдено с помощью преобразования Лапласа иимеет вид:G02 (ξ=, τ)∑ res GksnkL02 nznk snk2 .(ξ, s )e sτ , R ( znk=, n) 0,=(30)Для решения системы (7), (21) и (23) с начальными условиями (24) используется численно-аналитический алгоритм, основанный на методе квадратур.
С учетом гиперболического типа уравнений движения оболочки и полупространства применяется явная схема интегрирования.14На пространственно-временную область Rt2ξ наносится сетка с постоянным шагом δt по времени t и δξ по координате ξ :ti =iδt , t =tm =mδt , ξ j = jδξ , θ =ξ n =nδξ , δt <δξ ,Rt2ξ = ∪∪ K ij , K ij =ij{( t, ξ ) t ∈ [ti −1}, ti ] , ξ ∈ ξ j , ξ j +1 ,(31)где K ij - элементарные прямоугольники.Искомым функциям b(t ), uc (t ), p (t , ξ) ставятся в соответствие сеточныефункции bi , uci , pij=bi b(ti ), uci =uc (ti ),=pij p(ti , ξ j )(32)Дискретный аналог разрешающей системы (7), (21) и (23) с начальнымиусловиями (24) состоит из следующих уравнений:=ucmp m−1 ki −1∑ ∑ pijbij + V0mdt ,m0 =i 1 =j 012b=ttsin(2)ddtsin((2 j + 1)dd−ξξ=()ijξ )sin( ξ ) ( 2 ( m − i ) + 1) dt ,∫∫ m2Kijbm=ucm (2 − ucm ),(33)(34) t + cos(nδξ )amn= V0 mδt cos 2 (nδξ ). γ I1m−1,n − cos(nδ) I 0 m−1,n − pmn γδ(35)Начальные условия для данной системы имеют вид:=uc 0 0,=b0 0.(36)На каждом временном шаге с номером m из формулы (33) определяетсязначение глубины проникания оболочки в полупространство ucm .
Подставляяucm в (34), находим радиус области контакта bm .После этого определяется решение pmn уравнения (35)pmn( γI=1m −1, n− cos(nδξ ) I 0 m−1,n ) − V0 mδt cos 2 (nδξ ) t + cos(nδξ )amnγδ,где I 0 m−1,n , I1m−1,n – численные аналоги интегралов J 0 (θ, τ) и J1 (θ, τ) в (22).Предложенный алгоритм расчета реализован в среде Си++ [17].15(37)На рис. 8 и 9 показаны зависимости от времени положения границы области контакта и скорости ее расширения соответственно, как решения задачи напроизвольном этапе взаимодействия при =R 1, =h 0.05,=γ 1, =V 0.1.Рис. 8.Рис.
9.Зависимости от времени контактного давления и нормальных перемещений в разных точках границы полупространства представлены на рис. 10 и 11.Сплошная кривая соответствует лобовой точке, штриховая – точкам с координатой r = 0.1 , штриховая пунктирная – точкам с координатой r = 0.2 .Также приведено сравнение результатов, полученных с помощью методови алгоритмов второй и третьей глав.Рис. 10.Рис. 11.Распределение контактного давления, нормальных перемещений в различные моменты времени представлено на рис. 12, 13 соответственно. Сплошная кривая соответствует значению τ =0.1 , штриховая – τ =0.3 , штриховаяпунктирная – τ =0.6 . Как видно из приведенных результатов, с течением вре16мени в лобовой области давление понижается, и, наоборот, в области близкой кгранице наблюдается значительный рост контактного давления.
Это объясняется податливостью оболочки – в лобовой области с течением времени начинаетвозникать частичное отслоение граничных поверхностей, в то время как вся«контактная нагрузка» начинает перераспределяться в область, близкую к границе области контакта. На рис. 13 хорошо заметен, особенно на кривых соответствующих τ =0.3 и τ =0.6 , выход перемещений за границу области контакта.Рис. 12.Рис. 13.Рисунки 14, 15 иллюстрируют сравнение результатов, полученных прирасчетах по методам второй и третьей главы. Сплошные кривые соответствуютрезультатам, полученным для произвольного этапа взаимодействия (глава 3), аштриховые – для сверхзвукового этапа. Здесь представлены зависимости нормальных перемещений от времени в лобовой точке (рис.
14) и точки с координатой r = θ = 0.05 (рис. 15). При этом обрыв штриховых линий на графиках соответствует моменту времени окончания сверхзвукового этапа взаимодействия.На рис. 16 представлено сравнение результатов, полученных в диссертации, с известными результатами для оболочки Кирхгофа-Лява. Здесь изображены зависимости нормальных перемещений в лобовой точке оболочки от времени. Материал оболочки – сталь, а полупространства – алюминий. Кривые с номером 1 соответствуют варианту V0 = 0.001 , h = 0.01 , а с номером 2 –17V0 = 0.005 , h = 0.02 .
Сплошные кривые соответствуют решению, полученномупо методу главы 3, а штриховые – известным результатам.Рис. 14.Рис. 15.Рис. 16.Основные результаты и выводы1. Дана постановка и получено решение новой осесимметричной нестационарной контактной задачи с подвижными границами о вертикальном ударетонкой сферической оболочки по упругому полупространству.2. Для начального сверхзвукового этапа взаимодействия предложен иреализован алгоритм решения, основанный на принципе суперпозиции. В результате задача сведена к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения компонентов напряженно-деформированного состояния в ряды Фурье по полиномам Лежандра и18их производным.
Эта система интегрируется численно с использованием метода редукции. Проведено численное исследование сходимости.3. Построена и исследована функция влияния для сферической оболочки с использованием аппарата разложений в ряды Фурье по системе собственных функций и интегрального преобразования Лапласа по времени.4. Разработана численно-аналитическая методика решения задачи напроизвольном временном интервале, основанная на двумерном интегральномуравнении типа Вольтерра с ядрами в виде функций влияния для взаимодействующих тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
