Автореферат (786294), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ю.И. Неймарка«Нелинейные колебания механических систем», (26-29 сентября, 2016, НижнийНовгород), на V Международном научном семинаре «Динамическоедеформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций привоздействии полей различной физической природы» (17-19 октября, 2016,Москва).Работа была поддержана стипендией академика Г.А.

Разуваева, а такжепочетным дипломом «За наиболее интересное научное сообщение» на XXIIIмеждународной инновационной конференции молодых ученых и студентов(Москва, 2011г.),дипломом 3 степени министерства образованияНижегородской области на 18-й Нижегородской сессии молодых учёных в2013г, дипломом 3 степени министерства образования Нижегородской областина 19 Нижегородской сессии молодых учёных в 2014г.ПубликацииПо материалам диссертации опубликовано 23 научных работ, 4 из которых[1-4]- статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность,сформулированы основные цели, задачи и положения, выносимые на защиту,определена практическая значимость работы.Глава 1.

Некоторые уточненные модели, описывающие распространениепродольных и изгибных волн в стержнях и пластинахГлава носит обзорный характер. В главе представлены три уточненные теориипродольных и изгибных колебаний стержней и изгибных колебаний пластин.Показано, что на высоких частотах при изучении продольных нормальных6волн в стержне следует пользоваться моделью Миндлина-Германа. Так жерассматривается уточненная теория изгибных колебаний стрежня, введеннаяС.П. Тимошенко.

Дополнительно показано, что результаты, относящиеся кстержням, распространяются на пластины.Глава 2. Продольные волны в составном стержне.Во второй главе рассматривается распространение одномерныхпродольных волн по бесконечному составному стержню. Составной стерженьпредставляет собой совокупность двух стержней, находящихся в контакте другс другом. Сила контактного взаимодействия предполагается линейно-упругой.Показано, что продольные колебания составного стержня можно описатьуравнениемМиндлина-Германапродольныхколебанийнекоторогогипотетического стержня.

Определено, что энергия упругих волн и посоставным элементам конструкций переносится с групповой скоростью.Дополнительно показано, что уточненная стержневая модель МиндлинаГермана может быть применена для описания динамических процессов всоставных элементах конструкций, с вязкоупругими силами контактноговзаимодействия.В этом случае движение стержней описывается системой уравнений: 2 u1 2 u1u  u 1S1 R u 1  u 2   R 1  1  2 ,E 1S122t xt t22E S  u 2   S  u 2  R u  u   R  u 2  u 1 ,2 2211 2 2 x 2t t 2 t(2.1)где u i – продольные перемещения частиц срединных линий стержней, E i , Si , ρii  1,2 – их параметры (модули Юнга, площади поперечных сечений иплотности), R , R1 – коэффициенты упругого и вязкого взаимодействиястержней.Замечено, что продольные колебания составного стержня можно описатьуравнениемМиндлина-Германапродольныхколебанийнекоторогогипотетического стержня:2 2 λ  μ  22 λ   2 u H 2 ρ   4 u4uλμ  u2224CC 2  4 С ll122 x 2 2 2 λ  t 4λρtx λ  t243 λμ  u 2 λ  μ  22 λ   3 u 222  u  C l 1 C   4 4 С l tx 2   0.  λ  t 3λρx 4 (2.2)Здесь u(x, t ) – продольные перемещения частиц стержня, H – толщина стержня,ρ- плотность материала, С l λμμ, Cτ ρρ- скорости продольных исдвиговых волн, λ, μ - константы Ламэ, 1 ,  2 - корректирующие коэффициенты,позволяющие увеличить частотный диапазон применимости модели.7Показано, что параметры гипотетического стержня выражаются черезпараметры исходных стержней.

Решено уравнение (2.2) и выполнен переход кдисперсионным зависимостям.Качественный вид дисперсионных зависимостей ωk приведен на рис.2.1апри d  0,25 ; δ  0,1;   0,5 .б)a)в)Рис. 2.1. Дисперсионные характеристики вязко-упругой среды:а – зависимость частоты от действительной части волнового числа; б –частотная зависимость мнимой части волнового числа; в – частотнаязависимость отношения действительной части волнового числа к мнимойНа рис. 2.1б приведены зависимости мнимых частей k волнового числа k отчастоты ω . В низкочастотном диапазоне коэффициент затухания k зависит отчастоты волны, а в высокочастотном диапазоне затухание становится частотнонезависимым, так как в этом случае усиливается влияние дисперсионныхэффектов.На рис.2.1в приведены частотные зависимости отношения Rek  / Imk  .НеравенствуRek 1Imk соответствуютобластичастот,гдепроцессраспространения волны преобладает над процессом ее затухания.Рассмотрен частный случай, при δ  0 .

Качественный вид дисперсионныхзависимостей ωk  приведен на рис.2.2.8Рис. 2.2. Дисперсионные характеристики упругой средыСравнение дисперсионных зависимостей в обоих случаях показывает, чтодиссипация оказывает влияние на дисперсионные свойства волн только внизкочастотном диапазоне. В высокочастотном диапазоне диссипация непроявляется, так как дисперсионные ветви при   0 и при   0 выходят наодинаковые асимптоты.В главе также изучается формирование и поведение локализованных волн(солитонов) деформации в составном нелинейно-упругом стержне.В каждом из стержней учтена геометрическая и физическая нелинейность,тогда динамика системы описывается уравнениями:(2.3) u1   2 u1 2 u1 2  ρ1S1 2  R (u 1  u 2 )E1S1 1  1xt x22E S 1    u 2   u 2  ρ S  u 2  R (u  u )22 221 2 2x  x 2t 2где 1, 2 - коэффициенты, характеризующие их геометрические и физическиенелинейности.Система (2.3), при переходе к безразмерным величинам U=γ  1ρ1S1иρ 2S 2uxt; y= ; τ  ;u0XТ2с учетом обозначений D  C 22  C12 ρ1S1 ; Х  ; Т 2   γ , сведена кρ 2S2Dнелинейно-обобщенному уравнению Миндлина-Германа:ρ1S1D  4 U ρ1S1 (C 22  C12 )  4 Uρ1S1C 22 C12  4 U2U 2Uτ 2у 2Rγ 2 2 τ 4Rγ 2у 2 τ 2R2 D у 4(2.4) 21S1 2 C 2  2  C1 1  S 22 2  u0  U  U0D у у 2Проведен анализ показывающий, что частными решениями уравнения (2.4)являются нелинейные уединенные стационарные волны (солитоны).На рис.2.3 (а,б) приведены зависимости амплитуды и ширины солитона от егоскорости.9а)A c 3DS u(C 22  2  C12 1 1 1 ) 0 2 S 2 γ;  2RD21S1C 22 C12б)Рис.

2.3. а – зависимость амплитуды (кривая 1) и ширины (кривая 2) солитонаположительной полярности от его скорости; б – зависимость амплитуды(кривая 1) и ширины (кривая 2) солитона отрицательной полярности от егоскорости.Глава 3. Поперечные волны в составной струне и составной мембранеВ третьей главе исследована задача о поперечных колебаниях составнойструны: 2 u1  2 u1R(uu)N121 1 t 2x 222  u 2  R (u  u )  N  u 2212 2 t 2x 2(3.1)где 1, 2 - погонные плотности, N1,2 – натяжения струн.Показано, что вышеуказанная задача сводится к задаче об изгибных колебанияхэквивалентного стержня модели Тимошенко с натяжением:2u 2uF(NkGF) kGF02 t 2xx22I    EI    kGF   u   0 t 2x 2x (3.2)Здесь u - поперечные отклонения срединной линии стержня,  - угол поворотапоперечного сечения балки,  - объемная плотность, E,G - модули сжатия исдвига, N – натяжение, F – площадь поперечного сечения, I – момент инерции,k – поправочный коэффициент Тимошенко.Из (3.2) следует, что погонная плотность стержня равна сумме плотностейобеих струн, а натяжение стержня складывается из натяжений струн.Также рассматривается совокупность двухнелинейно-упругих струн,находящихся в контакте друг с другом:10  2u 1  u1  2   2 u11ρR(uu)N 1 2  2121 1 2x  x t 1  u 2  2   2 u 2  2u 2ρR(uu)N  2212 1  2 t 22x  x(3.3)Проведен анализ показывающий, что в нелинейно-упругой струне могутформироваться нелинейные уединенные стационарные волны (солитоны).5В случае а<0, b>0 , 1  v 22  .

На рис.3.1 приведены зависимости амплитуды и4ширины солитона от его скорости.Рис. 3.1 Зависимость амплитуды (кривая 1) и ширины (кривая 2) солитонаположительной полярности от его скорости.5В случае а>0, b<0, 1  v 22  . Зависимости амплитуды и ширины4солитона от его скорости приведены на рис.3.2.Рис. 3.2 Зависимость амплитуды (кривая 1) и ширины (кривая 2) солитонаотрицательной полярности от его скорости.В главе показано, что составная мембрана эквивалентна пластинеТимошенко с натягом. Так же исследована задача о поперечных колебанияхсоставной мембраны с учетом геометрической нелинейности, получены иисследованы одномерные и двумерные солитоны, а также представленыразличные формы нелинейных периодических колебаний.В главе исследована задача о поперечных колебаниях составной мембраны:11 2 u1 2 u1  2 u1R(uu)NN1211 1 t 2x 2y 2222  u 2  R (u  u )  N  u 2  N  u 22122 2 t 2x 2y 2(3.4)Система сводится к одному уравнению относительно поперечного смещенияu 1 .

Показано, что аналогичное уравнение получено при распространениитеории Тимошенко для стержней на пластины. Также система сводится кбигармоническому уравнению, из которого получены дисперсионныезависимости.Качественный вид дисперсионных зависимостей (k x , k y ) приведен на рис.3.3.Рис. 3.3 Зависимость частоты волны от волновых чиселИз рисунка 3.3 видно, что купол, выходящий из начала координат движетсявперёд по оси  , расплываясь в стороны по осям k x , k y . С ростом k x , k yпарабола (k x , k y ) растёт до определенного предела, постоянно расплываясь встороны и двигаясь вперёд, приводя к крестообразной структуре.В случае пересечения поверхности вращения плоскостью k y , на дисперсионнойплоскости , k x  , существуют две дисперсионные ветви, одна из которыхвыходит из начала координат и приближается к горизонтальной асимптоте.Вторая ветвь выходит из точки   R ( 2  1 ) и с увеличением частоты1  2приближается к наклонной асимптоте   k xТакже рассматривается задача о поперечных колебаниях составноймембраны с учетом геометрической нелинейности: 2u 1   u  2   2 u  1   u  2   2 u 111ρ 1 2  R (u 1  u 2 )  N 1 1    21   21  1  2xx2y t   y  1   u  2   2 u  1   u  2   2 u  2u 211  21   21  1  ρR(uu)N 2212  12 2  x   x t 2  y   y 12(3.5)При переходе к безразмерным величинам и с учетом преобразованийсистема (3.5) сведена к модифицированному уравнению Кадомцева31 2W ,Петвиашвили:   W  GW 2 W  Г  W   3 2  22где G  u 0 2 ; Г  1  ρ 2 N1  1 N 2  ρ1D  N1 N 2 12 2  Rγ 2 2R2 γ 2 ρ 2 R2 D Решения модифицированного уравнения получены в виде одномерных идвумерных солитонов.

Характеристики

Список файлов диссертации