Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 7
Текст из файла (страница 7)
35). Этот вывод можно получить и из равенства (2.13). Так как е ( О, то из формулы (2.13) заключаем, что угол между скоростью сд изображающей точки М и ~) Скалярное крокзвсденке двух векторов а н Ь в к-мерном пространстве равно, так же как н в обычном трехмерном пространстве„ сумме пронзксдсннй одноименных проекций Ь = агд + асэс+...
+ Угол между двумя векторами определяется равенством а Ь = ад сог а, где а н Ь вЂ” модули векторов а н Ь. Угол и острый, если а Ь ) О, прямой, если а Ь = О,н тупой прк а Ь ( О. 5 2.2. Теогема ляпунОВА Ов устоячнвостя дВпженпя 37 градиентом функции >> тупой. г'чятывая, что для определенно-положительной функции К вектор угад И совнадает с внешней нормалью к поверхности И = с, заключаем, что вектор ~7 направлен внутрь этой поверхности.
Иначе говоря, траектория иаображающей точки М пересекает поверхность у' = с снаружи внутрь (рис. 2.4, а). угас' Р дгаа У у и уас а) У с у) Рис. 2.4 2. В данном положении точки М производная )Г = О. Скалярное произведение >7 угас) )г равно нулю, угол между этими векторами прямой, траектория изобрая<ающей точки касается поверхности У = с (в частности, она моясет целиком лежать на атой поверхности). 3, В данном полоясении Ь' ) О. Функция >> возрастает, траектория изобрая>ающей точки пересекает поверхность г' = с изнутри наружу (угол между векторами >7 и дга>) г' острый) (рис.
2.4, б). 4 2.2. Теорема Ляпунова об устойчивости движения Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию Г, производная которой г" в силу этих уравнений была бы знакопос>поянной функцией противоположного знака с г', или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Доказательство. Выберем произвольное, достаточно малое положительное число е ) О и построим сферу Хк, =- г. Затем построим поверхность )' == с, лежащую ,2 внутри сферы е (рис. 2.й>). Это можно Всегда сделать, ГЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА так как функция К непрерывна и равна нулю в начале координат. Выберем теперь число б настолько малым, чтобы сфера хх," = б целиком лежала внутри поверхности К = с, не имея с пей общих точен.
Показкем, что изобраясаиицая точка ЛХ, начав движение из сферы Ь, у=а никогда не дойдет до сферы е, У=с, что и будет служить доказа- тельством устойчивости двиАса женин. а' Не нарушая общности', с можно считать, что функция р' определенно-положительна (если )' ( О. то можно взять функцию — 1). По условию теоремы ее пронзводная, вычисленная в силу уравноипй Рис 2.5 возмущенного двиясения, бу- дет отрицательной функцией или тождественно равна нулю, т. е, г' ( О. Тогда из очевидного тождества (2ЛЛ) где )гз — значение функции Р в начальной точке Лтз, будем иметь )о~~О или р < )гз. Из этого неравенства следует, что при г,з гз изобран<ающая точка М либо находится на поверхности )г =- = 'г'з = с, (при Р .= — О), либо находится внутри этой поверхности (рис.
2.5). Таким образом, изображающая точка М, начав движение из положения М„находящегося внутри или на поверхности сферы 6, никогда не выйдет за пределы поверхности И вЂ” с, и тем более не сможет достигнуть поверхности сферы е. Это доказывает теорему. Доказательство теоремы можно проиллюстрировать чисто геометрическими соображеииями. Из условия У ~( О следует, что траектория изображающей точки Лт войдет внутрь поверхности У = с, или будет лежать вв втой поверхности (см.
окончание $2Л, рис. 2.4 и 2.б). В дальнейшем траектория изображающей точки М пс сможет т г 3 тсогемы ОБ лспмптотпческОЙ устОйчиВОсти 39 перепгп во внешнюю часть поверхносюг Г = с„так как по условию теорспы нронзводкая Р удовле>воряет неравенству Р ~( О во всех точках онростносгн нули (для выхода наружу вз поверхности Р = =-- с, нужно, ч>обы неравенство Р > О выполнялось хотя бы в одной точно). Применение основных тсорсп прямого метода подробно будет рассмотрено в т 2.б> и 5 2.7, а сейчас приведем неболыпой пример чисто иллюстративного характера.
Пусть уравнения возмущенного движения имеют вяд 1', =- — х> -1- Зг,', г. ==- — х х — х . з 2 1 2 >' Возьиеи определенно-поло>кктельпу>о функцнто П ЗЬ>ЧПСЛИМ ЕЕ ПРОИЗЗОДПУ>О ПО ВРСМЕПП Е СИЛУ УРЗВНЕННО ВОЗМУЩЕН- ного двы>кения. Имеем ВРУ вЂ” —,1', Сх т Подставлян вместо 21 и г, их значения из уравнений возмущенного движения, получим — ( х +3х.)+х ( хх 3) (х х!)2 Так как функция Р определенно-положительна, а ее производная Р— отрицательная функция, то на основании доказанной теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное лзнженпо г, =- О, х, = О рассматриваемой системы устопчиво. В $ 3.3 (с.
15), пользуясь другой теоремой, л>ы дока>кем более сильное утвер>кденн>, а нмонпо, что зто двия>епне не просто, а асими>отически устойчиво. й 2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределснную функцию производная которой Р в силу зтиз уравнений была бь> знакоопределенной функцией противоположного знака с )', пзо невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Доказательство. Прежде всего заметим, что выполнены все условия теоремы Ляпунова об устойчивости движения и, следовательно, нзображающая точка не выйдет из поверхности )г = с„(рис. 2.5). Однако в теореме об асимптотической устойчивости условия более сильные— производная Р нс может то.кдествснпо равняться нулю и данге более — и нуль оп> обр>>псаотся только в начале координат (так как Р знакоопределенная, а не знако- гл. и, пРямОЙ мктод ляпуноВА постоянная функция).
Поэтому изображающая точка !и сразу после начала движения входит внутрь поверхности У = с,. Не нарушая общности, будем, как и раньше, считать, что функция К определенно-положительна. По условию теоремы ее производная 1~ определенно-отрицательная функция. Из неравенства Р=, <О Л' а! следует, что функция г', оставаясь положительной, монотонно убывает. Это означает, что функция Р имеет предел с, ~ О.
Иначе говоря, изображаю- а'чл! щая точка М стремится с внешней ю стороны к предельной поверхности з=гг Р = с (ркс. 2.6). Покажем, что са = О, т. е. по- 0' зерхность г' = са вы рождается М з точку — начало координат. Предположим, что се~ О. Тогда в замкнутой области, заключенной между позерхностямп р = с, и а' = сю, функция Р по условию теоремы будет отрицательна. Обозначим через — а, где ! ) О, ее точную верхнюю границу в атой области, причем ! ~ О, так как функция Р обращается а нуль только з начале координат.
По определению точной верхней границы имеем Р ~( — Е. Воспользуемся теперь тояадеством (2.14) $ =- г ю + ~ ~ !г! Учитывая соотношение Р ~~ — 1, получим неравенство ! т (т — ~(а(г или, интегрируя, ~~ аа а (! аа) Согласно этому неравенству, функция а' с течением времени сделается отрицательной, что невозможно, так 1 з.з. теОРемы ОБ АсимптОтическОЙ устОйчиВОсти й) Возьмем функцию У в следующей форме: У вЂ”..
(31*1 — 2х„хз+ т, ). 2 Ота функция опрэдеаенно-пшшлпиелька (условие Сяльвостра для псе проверялось на с. ЗЗ). Вычислим полную производную по времени от этой функции: )" = (3; — ") хг — (х, — ;) гз Внесем сюда значения хг и зз иа уравнений воамущенного движения и сгруппируем члены У = — — Зх~ + 2х'"хз — 2х.'. Составим матрицу коэффициентов этой функции, считая за переменные хг и х: 1 — 2 ~ Имеем ~ — З 1~ „, 0 Л = — З<0, Вьпголнен критерий (2.10), и, следовательно, проиаводная У' — определенно-отрицательная функция относительно х', и х (тем самым н относительно хг и х ).
На основании последней теоремы Ляпунова невозмущепноедви1кеяие(х, = О, х, = О) асиьпгтотически устойчкео. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости предъявляет очень высокие требования к функции г' и к ее производной )т (они должны быть знакоопределенными функциями разных знаков).
Н. Н. 11расовский показал, что требования, налагаемые на производную г, могут быть ослаблены. Пусть производная Р (х) функции )'(х), вычисленная в силу уравнений возмущенного движения (1.17), является яе знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных х. Обозначим через К многообразие (множество, совокупность) точек из области (2.1), как по условию теоремы функция У определенно-положительна. Полученное противоречие возникло из сделанного допущения, что с, ~ О. Таким образом, с, = О и изображающая точка асимптотически стремится к началу координат, что доказывает теорему. Проиллюстрируем теорему небольшим примером, Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид з 1 1 ,Фг = — хе+ х1хг — х — — хгт 1 3 1 з х:Зхз+х1хз+хххгх, 1' б2 Гл.п.прямой метОд ляпхповл в котором Р = О, причем в зто многообразие не включается начало координат х =- О, где Р =- О всегда.
Многообразие К может представлять поверхность, линию, их комбинацию и т. п. Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Лели для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти определенно-положительную в обласгпи (2.1) функцию У гпакуго, что ее производная У удовлетворяет в этой области двум условиям; 1) У(0 вне К, 2) Р'=О на К, где К вЂ” многообразие точек, не содержащее целых пгрпекпюрий системы при О ««зс сс, то невозмущенное дви- жение асими,патически КГ уствлчиео. Строгое аналитическоедоказательствозтой теоремы можно найти в книге Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
