Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Переменные х; называются отклонениями или вариаг1иями величин у,. Если все отклонения равны нулю, то есть х,.—.-О, х,=О,..., х„=О, (1.6) то возмущенное движение ут (1) будет совпадать с невозмущепным движением (т (г), иначе говоря, невозмущенному движению отвечают, нулевые значения переменных хр В дальнейигем для удобства изложении будем пользоваться часто языком геометрии. Совокупность отклонений х„..., х„в и-мерном пространстве переменных х„...,,гя определяет точку ЛХ (она называется изображающей точкой) '). В возмущенном движении при изменении величин х„..., х„изображающая точка ЛХ будет описывать некоторую траекторию т.
Невозмущен- г) В обычном трехмерном евклпдовом пространстве совокупность трех чисел х„х„х, определяет точку М. Обобщал это понятие, под точкой М я я-ыорпоы пространстве переменных х„..., х„ понимают совокупность я чисел х,,..., х„. Расстояяяс г от этой точки до начала О ортогональной коордянатяой системы Ох„х,... хя определяется равенством ' =~' э р". 1 '' ые Продолжая обобщгчшс понятии, существующих я обычном трехмерном евклпдовоч трогтраястве, гоаорят, что всякое урэвггегп1е Г' (г,,..., хя) = и опрсдоляет в прог гранстее я яэыерскпп пекоторуго поверхность, я частности, уравнение х" +... 1- х~ —.
гг определяет в л-ыгрноч пространство сферу радяуса г. 15 д 1.1 осяовяыв опгыделкнпя ному движению х. = О о пвечает неподвижная точка— начало координат, Отклонение возмущенного движения от невозмущенного движения определяется величинами х, (1). Если все х, (1) малы по модулю, то будет мала и сумма ик квадратов (1 7) хг + зг + ... + х„ если же отклонение хотя бы одной координаты будет велико, то сумма (1.7) будет велика. Обратное утверждение, очевидно, также справедливо. Поэтому в качестве меры отклонения возмущеияого движения от невозмущенного двиягения моя<но выбрать величину суммы (1.7). Так как сумма (1.7) равна квадрату расстояния от изображающей точки М до качала координат, то это расстояние иарактеризует отклонение возмущенного движения от невозмущенного.
Согласно определению возмущенного движения и равенствам (1.4), (1.5), будем иметь при 1= — 1,: х, = хзг=- з, (7 =-1,...,и), (1й) т. е. начальные значения отклонении х„; представляют возмущения системы. Примем следующее определение Ляпунова. Если по любому положительному числу з, как бы оно мало ни было, можно найти такое положигпельное число б„что ггри всяких возмущениях хам удовлетворяющих условию Хх~, (1.й) и при любом 1 ) гз будет выполняться неравенспгво ,р~х; (з, (1.1О) пго невозмуи1енное движение усогойчиво, в противном случае — неустойчиво.
Геометрически это определение означает следующее. Рассмотрим сферу Ххгэ = з. Выберем радиус ~/ з этой сферы произвольно малым. Если движение устойчиво, то для атой сферы должна найтись другая сфера Хх,' = б радиуса 1г 6, обладающая следующим свойством. Изобраясагощая точка М, начав свое двигкеяие из любого положения Мз, лежащего внутри или иа поверхности сферы гл. 1, пост тноппл зад 1'пг бг), при своем дальнейшем дниженин остается всегда внутри сферы е, никогда не достигая ео поверхности (рис. 1.1)'). Если же возмущенное движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки М с течением вревгени пересечет сферу е изнутри наружу при сколь угодно близком положении точии М к началу координат.
Практически устойчивость данного невозмущенного движе- У а ния означает, что при достаточгт ' но малых начальных возмуще- ниях возмущенное движение М будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенпого двиигения. Если же невозмущепное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отходить от него, как бы малы ни были начальные возмущения. Еслк невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущеяное движение при достаточно малых начальных возмущениях стремится к невозмущенпому движению, т. е.
если 1 Пп ~~ иг (1) =- О, (1.11) ! а то невозмущенкое движение называется асилгптопгически устойчивым. Заметим, что одного предельного условия (1.11) недостаточно для асимптотической устойчивости— необходимо, чтобы помимо этого условия двингение было устойчивым. Геометрически это означает, что при асимптотической устойчивости изображающая точка должна неограниченно стремиться к началу координат, не выходя из сферы е (см.
пример на с. 20 — 21). Кроме пространства отклонений и„..., и„рассвготрим пространство исходных поременпых у„..., уо. Совокупность значений у„..., да определяет в этом пространстве некоторую точку Л'. Пусть в певозмущенном движении (1.2) точна .У оннсывает траекторжо 1, а в возму- ') Будем для простоты сферу с радиусом Р' б (акалопгипо ~/в) называть сферой б (или сферой е).
') Для наглядности асе рисунки, соответствующие я-парному пространству, строятся для п .= 2. в 11 осповнык опгвдк:шипя !7 щенном движении — траекторию 11 (рис. 1.2, а). Возьмем на этих траекториях две произвольные точки У л гу', отвечающие одному и тому же моменту времени 1. Квадрат расстояния г между этими точнами равен г' =- Х (уг — )г)' = Хх,. Прп устойчивом движении траектория 11 близка к траектории 1 (г всегда меньше е), а при асимптотической устойчивости траектория П неограниченно "г стремится к траектории 1 (рис. 1.2, б). у Близость траекторий 1 и П вЂ” необходи- л,' а! вг мое условие устойчиво- "е сти движения, но оно, У конечно, недостаточно. у) Действитольно, расстояние ме7кду точками Л' и / Л', отвечающими одно- лг му и тому же моменту 7 Ч~ времени, может возра- Н г стать пе только для рас- л,' Ю ходящихся, но и для близких траекторий Рис.
1.2 (рис. 1.2, в). Может оказаться, что движение, устойчивое относительно одних переменных, неустойчиво относительно других. Так, можно показать, что движение искусственного спутника Земли по круговой орбите устойчиво относительно его радиуса-вектора (орбитальная устойчивость) и неустойчиво относительно декартовых координат. Поэтому, говоря об устойчивости движения, необходимо всегда оговаривать, относительно каких величин рассматривается устойчивость. В тех случаях, когда асимптотическая устойчивость имеет место при любых возмущениях (не обязательно малых), невозмущенное движение называется усо7ойчивь~м в целом.
Иногда устойчивость имеет место не при любых возмущениях, а при возмущениях, подчиненных некоторым условиям. Такая устойчивость нааывается условнои. Остановимся на особенностях определения устойчивости движения по Ляпунову. Во-первых, предпола- гл, ь постановка зхдх'п7 гается, что возмущения налагаются только па начальные условия, иначе говоря, нозмущопное движение происходит прн тех же силах (псточниках энергии), что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривается па бесконечно большом промежутке времени. В-третьих, возмущения предполагаются малыми. Несмотря на эти ограничения, определение Ляпунова устойчивости двинсения является эффективным и плодотворным в приложениях. Броме того, методы, развитые Ляпуновым, очень часто лежат в основе исследования других впдов устойчивости движения т).
б 1.2. Уравнения возмущенного движения В тох случанх, когда известно общее решение дифференциальных уравнений движения (1 1), ьтоткпо непосредственно определить значеппя псромшппах р)(1) в возмущенном движении, составить вариации х, =- = ут ()) — !1 ()) и, исследуя их, решить вопрос об устойчивости невозмущенного движеяия )7 (1). Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1) неизвестно,, поэтому этот метод практически редко может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос — устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать пе из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) х,.
т) устойчивость движения прн постоянно действующих возмущениях полагается в книгах И. Г. Малкина [37), Н. Н. Красовского [27], Е. А. Барбашина [5) и др. Б книгах Е. А. Барбашииа [5, 0] и книге Н. Н. 1[расовекото [27) рассматривается устойчивость в целом (см. 1 2.3). Устойчивость движения на конечном интервале времени и конечных начальных возмущениях излагается в книгах Н. Г. Четаева [49) и К. А.
Карачарова, А. Г. Пплютпка [25]; задача об устойчивости движения со случайными параметрами рассматривается в работе И. Я. Каца, Н. Н. Красовского [20] и др. Устойчивость снстем с последейетвием [с запаздыванием времени) излагается в книге Н. Н. Красовского ]27]. Подробные обзоры работ по исследованию устойчивостп методом построоннн функций Дяиунова, устойчивости нетолономных систем н устойчивости яа яонсчпом интервале даны в [2а, 40а, 1а] соответственно. д 1л, углВпення Возиун[кнного дВижения Для вывода уравнений возмущонного движения найдем нз равенства (1.5) переменные уд (1)1 Уд ([) =-6И+ хд(!). Внесем этя значения для рд (!) в дифференциальные уравнения движения системы (1.1). Получим д!.
д,г. — + 1 — — - у д (11 -(- хг ° ° ~ [„+ хв, [). Разложим правые части этих уравнений в ряды Тейлора по. степеням х,: ') 'Чд дхг 1 ( 3 дг дг дУ, '! ! др. [ где Х; — совокупность члеяов, зависящих от отклонений хг в степени выше первой. Учтем теперь, что в невозмущенном движении функции дд (!) должны удовлетворять уравнениям движения (1Л), т. е. Гу. д,' == у,(!'1 1 !) ((т — 1, и). На этом основании будем иметь —,' =. и;гхг+...
+ а;вхв -[ Х; (!'=--1, ..., и). (1Л2) В этих уравнениях коэффициенты ага=- ( д (1.13) в общем случае являются функциями времени [, в частности, они могут быть постояннымн. Уравнения (!.12) называю!ся дифференци лысыми уравнениями возмущенного движения. Если в этих уравнениях отбросить члены Х; то полученные при этом уравнения дх. —: — ад;г, -1 альте+... + п;„х„(1=1,..., и) (1Л4) назывлютгя урпег[елплл[и лерзого приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
