Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1[усть знакоопределенная функция Г =- )з(х) непрерывна вместе со своими производными. Тогда при х, =... = х„= О она будет иметь изолированный экстремум и, следовательно, все частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке. будут равны нулю (пеобходимые условия существования экстремума) — ) О (!.—: 1,..., п). (2Л) Разложим функцию р в ряд Маклорена по степеням х„..., х,: =) ()+Х(~ .) х'4 ~,~„,~~,(а а .1х"'т! "'' з=! з'=з з=з где точками обозначены члены высшего порядка. Учитывая соотношения (2.2) и (2.3), получим зз ь 1 С-з С-~ Р ехзхкх! + !з ! з=з (2.4) Здесь постоянные числа е!,; =- сз!! определены равенствами ( а" ге' )о (2,б) Ич формулы (2.4) видно, что разлоязение знакоопределенной функции )з в рид по степеням х„..., х„не содержит членов первой степени.
Предположим, что квадратичная форма ь п — '~', '~~ ', сшхах, (з.б) к=! з=з принимает положительные значения и в нуль обращается только при х, =... = х„= О. Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малых по модулю хз функция Г будет принимать также положительные значения и в нуль она бчгет образцаться только при х, =-... = ха =- О. Таким обрааом, если каидритйз- гл и пРямОЙ мнтод 1!япуновА пая форма (2.6) определенно-положительна, то и функция Р будет определенно-положительной. рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (2.6) с:с;с ,'... с С31 СЗ 'С31,'... Сгп с с с °...
с 31 33 31; ' ' ' Зп (2.7) с с с ... с п1 пс пЗ ' ' ' пп и составим из нее и главных диагональных миноров (в матрице (2.7) они окантованы пунктиром) СП " Спп С31 С33 ~ ' пг ' ' пп В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра !9, 44): для того чтобы квадратичная форма с вещественными когффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Л„Л„..., Л„матрицы ее коэффициентов были положшпельны, т.
е. Л,) О, ЛЗ) О,..., Л„) О. Из сказанного следует, что критерий Сильвестра (2.9) для квадратичной части функции Р является достаточным (но не необходимым) условием определенной положительности самой функции Зг. Если функция Р определенно-отрицательна, то функция — у' будет определенно-положительной. Поэтому достаточным условием определенной отрицательности функции 13 будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы — С.
Этот критерий имеет вид Л1<0 ЛЗ >0 Лз<0 .. (210) В качестве примера рассмотрим фуикцию У =- 1 + 31пс 31 — соя (31 — 33), т. е. определители Л; должны последовательно чередовать знак, причем знак Л, = — с„должен Сыть отрицательным. 5 -'.1.
ФУнкЦии лйпУнОВА. кРитеРнп сильВестРА 33 Разложим эту фуикцшо в рлд по степеням х, и хэ. Имеем 1 э1в хл= х +..., соэ (хл — хз) = 1 — (х, — хйз+ .. 1 2 где точками обоаначены члены, содержащие х и хз в степени выше второй. Внося ати выражеввя для юп' х, и соэ (х, — х ) в функцию у, получим У = 1 + хл 1 -) — (Х1 — хэ) 2 или, упрощая, У = (Зхз — 2хлхз+ х ).)- 1 2 Составиы матрицу коаффициеигов квадратичной части фуикцаи у (по главной диагонали стоят коэффицпеиты при квадратах перемеивых, элеиевты с, и с, равпы половине коаффвциевта при про- ИЗВЕДЕНИИ Х1Х ): Вычислим теперь главные диагональные миноры: 31=3, аз=! (=2.
Отслода следует, что условие Сильвестра выполнено (все 31 Р 0) и поэтому рассматриваемая фувкцвя у в окрестности нуля определенво-положительна. Заметим, что ва всей плоскости хлх, фувкция 11 только положительна, так как при хл = хз = лп 4= О (п = — 1, 2,...) ова обращается в нуль. Моягет оказаться, что разложение знакоопределенной функции У в ряд по степеням х„..., х„начинается не с членов второго, а с членов более высокого порядка.
К сожалению, общих приемов исследования функции на знакоопределенность в этом случае пет, но лшжно указать на один необходимый признак: разложение знакоопределенной функции в ряд по егпепеням х,,..., хэ не может начинатьея е членов нечетной степени (для членов первой степени зто было уже показано (см. примечание к формуле (2А)). Действительно, пусть разложение знакоопределенной функции г' в ряд по степеням х„,..., х„начинается с членов (2й + 1)-Й степени, где й — целое полах;ительное число. Положим х, =... ...
= х„=- х,. При этих значениях хл функция Р примет вид Р—..-- Ахзх+'+ Вх""+ Х1 Х1 Здесь А и В постоянные, а точками обозначены члены порядка выше 2й + 2. Прн х„достаточно малом по мо- г д.глмсэ» ГЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА дулю, знак функции К будет совпадать со знаком первого члена. Но этот член меняет знак при изменении знака х,. Следовательно, при А ~ 0 функция К будет знакопеременной, что доказывает сделанное замечание.
Перейдем к изучению свойств функции г'. Покажем прежде всего, что если функция У знакоопределенная, то поверхность Ф' (зм..., хя) == с замкнута. Ряс. 2.2 При доказательстве, не нарушая общности, можно считать, что функция У определенно-положительна. Возьмем сферу Хх~ = р и пусть ( — наименьшее значение функции У на этой сфере, так что на сфере р функция У удовлетворяет неравенству ра ~ )~. Число ( больше нуля, так как функция У определенно- положительна и, следовательно, на сфере р она не может принимать нулевые или отрицательные значения.
Построим поверхность Р' =. с, выбрав число с ~ й Будем двигаться из начала координат О по произвольной прямой ОЬ до сферы р (рис. 2,2, а). При этом перемещении функция г' будет меняться от нуля до некоторого числа 1~а, болыпего с (так как г'„) ( с). Слэдовательно, в силу непрерывности в некоторой промежуточной точке М функция р принимает значение, равное с, т. е. Прямая ОЬ пересекает в этой точке поверхность г' =- с. Так как прямая ОЬ произвольна, то эта поверхность замкнута. Заметим, что свойство замкнутости поверхности г' = с справедливо только для зпакоопределенных функций.
Для знакопостоянных или знакопеременпых функций поверхности Р' = с разомкнуты. з х. Функции ляпхновх квитввнн спльвествх Из этого доказательства вытекают два следствия: 1. Кслн ( с ) ) ( с, (, то поверхность Г =- с, находится внутри поверхности Г =- с, причем обе поверхности не имеют общих точек (функции Г по определению однозначны) (рис. 2.2, 6). 2. Если изображающая точка ЛХ перемещается в сторону возрастания определенно-положительной функции Г, то траектория этой точки пересекает поверхности гад У У=с>0 а) У=с<о 6) [ъвг 9 В Г .= с изнутри наружу, а прн движении в сторону убывания функции à — снаружи внутрь (для определенноотрицательпой функция картина обратная). Конечно, в общем случае вге эти свойства справедливы только в достаточно малой окрестности нуля.
Выберем на поверхности Г (х) .= с произвольную точку Л/ н вычислим в этой точке вектор угад Г: зу , зу су 1пад à —.= — е1 -'г. — ез 1-... à — е„, (2.11) д.ю1 з ы д.с 'п где е„ез,..., е„— орты осей ты хы..., з„. Известно, что вектор дгаг( Г направлен по нормали к поверхности Г = с в точке Л1 в сторону возрастания функции Г. Иа этого следует, что вектор угад Г направлен во внешгиою часть поверхности Г =- с, если функция Г определенно-положительна (рис. 2.3, а), и внутрь поверхности Г =- с, если функция Г определенно-отрица1ельна (рис.
2.3. б). Одновременно с функцией Г будем расгматрива~ь ее полну1о производную Г по времени ц взятую в пред- ть ЗО ГЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА положении, что переменные хз удовлетваряют дифференциальным уравнениям возмущенного движени (1.17). Имеем ду ду др дК (Г = — = — йг + — йх + + — йю дг дхг дхс ' ' дх а~ или, учитывая уравнения (1.17), дх Хг+ д Хс+ ''+ д Ха. (2Л2) ду ду др Х1 Напомним теперь, что величины Хг равны проекциям скорости ср изображающей точки М, а производные др — — проекциям ягад Р.
Поэтому правая часть равенства дхз (2Л2) равна скалярному произведению векторов сР и ягаб У '), т. е. Р = гз ягас) р. (2ЛЗ) Знание производной е' функции У позволяет наглядно проследить за движением изображающей точки. Действительно, пусть в данный момент времени д изображающая точка М занимает некоторое положение.
Выберем какую- нибудь определенно-положительную функцию г' и построим поверхность г' = с, проходящую через точку М. Затем по формуле (2.12) вычислим в этой точке производную Р функции У. Рассмотрим три возможных случая. 1. В данном положении точки М производная отрицательна Из этого следует, что функция Р' убывает, т. е. точка М переходит внутрь поверхности Р = е (следствие 2, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
