Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Д. Р. Леркин ВВЕДЕНИЕ Проблемы устойчивости возниклп впервые в механике при изучении равновесных положений системы. Простое наблюдение показывает, что некоторые поло".пения равновесия системы устойчивы к небольшим возмущениям, а другие приндипиально возион~ные равновесныеположспия практически пе могут быть реализованы, Так, например, осли маятник занимает нпжпсе положение, то поболюние возмущения могут вьивать только колебания его. Если жо после некоторых усилий удастся установить маятник в верхнем положении, то малейший толчок вызовет его падение. Конечно, в данном примере вопрос об устойчивости решается элементарно, но в общем случае далеко не всегда ясно, при каких условинх равновесное положение системы будет устойчиво.
В 1644 г. критерий устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тнн.ести, в общем виде сформулировал Е. Торричелли, а в 1788 г. Ж. Лагранж доказал теорему, определнющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы (см. $ 3.1). В середине Х)Х столетия в науке и технике возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только равновесия, но и движения. Укажем на одну из них. Центробежные регуляторы, установленные на паровых машинах пебольпгой мощности, устойчиво сохраняли заданные обороты двигателя, С увеличением мощности машин регуляторы, построенные по тем же схемам, не только не обеспечивали надежное регулирование, но даже разгоняли двигатели, создавая неустойчивый режим работы (см. пример 3 $ 4.5).
Это непонятное для няженероз и техников тех лет явление вызвало серьезный кризис в двигагелестроеиип и потребовало усилий ученых многих стран длн решения возникшей проблемы. Исследования Дж. К. Максвелла (1868 г.), И. А. Вышнеградского йз ввгдкник ~1876 †18 гг.) п других показали, что решение как етой задачи, так и общее развитио теории регулирования требует, прежде всего, установления критериев устойчивости движения. В конце Х!Х столетия появились работы, в которых вопросы устойчивости движения трактовались с общих позиций.
Так, в 1877 †18 гг. были опубликованы монографии Э. Дж. Рауса !56, 57), а в 1882 г. — докторская диссертация Н. Е. Жуковского с20], в которых авторы, пользуясь различными методами, рассмотрели ряд общих вопросов устойчивости движения. Некоторые результаты и методы, развитые ими, не утратили своего значения и в нащи дни. Основной недостаток работ того времени состоял в том, что при анализе уравяений возмущеппого движения авторы исходили нз липоарпзоваппых уравнений возьсущетсного двн;копия и пе рассзссстрпвзлп влияния членов высшего порядка. Так, иапримор, осли уравнения возмущенного движения имесот вид ссгс ьг з .з — == — ссгз+ алс ) .г, + х., ч'с (е) — "' = ссхс й и,г.
)7.г", й,гзм сСс то, согласно рекомендацням авторов тех лет, их можно упростить, отбросив нелинейные члены, т. е. заменить уравнения (з) уравпенпямн ссㄠ— — сспм дс (зз) Иг .—.- гхгс, и судить устойчиво или неустойчиво движение не по уравненинм ~з), а по уравнениям (аз). Между тем вывод об устойчивости движения, основанный на линейных уравнениях (аэ), ничего обсцего не имеет с результатом анализа точных уравнений (э) (сьс. пример на с. 20 — 21). В 1892 г. была опубликована докторская диссертация А. М, Ляпунова ссОбщая задача об устойчивости движения». Эта работа содержит так много плодотворных идей и результатов первостепенного значения, что всю историю теории устойчивости движения не без основания делят па доляпуновскнй и послеляпу~овский периоды.
В кратком введении невозмонсно дать обзор всего, что внес А. М. Ля- вввдкнпк П пупов в теорию устойчивости движения. Полностью оценить его работу может только специалист, хорошо знающий предмет. Поэтому мы ограпкчкысв здесь указанием на некоторые результаты, прпнадлея;ащпе А. М. Ляпунову. Прежде всего А. М. Ляпунов дал строгое определение устойчивости движения. Отсутствие такого определения приводило часто к недоразумениям, так как движение устойчивое в одном смысле моя|ет оказаться неустойчивым в другом понимании этих слов, и наоборот. Определение А.
М. Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное всеми учеными. А. М. Ляпунову принадлежит постановка задачи об устойчивости движения по уравнениям первого приближения, когда об устойчивости можно судить по линеаризованным уравнениям без необходимости привлечения к анализу точных уравнений. Он дал полное решение этой задачи для так называемых установившихся движений, когда уравнения возмущенного движения не содержат время г в явной форме, и для большого класса неустановившихся движений, причем особенно подробно им были изучены периодические яви~кения.
А. М. Лнпунов предложил два основных метода исследования устойчивости движения, из них второй метод, или, как сейчас принято называть его, прямой метод, получил наибольшее распространение благодаря своей простоте и эффективности. Он поставил вопрос об обратимости теоремы Лаграяжа и доказал ее для двух частных случаев. После Л. М. Ляпунова теория устойчивости дни>кения развивалась по различным направлениям.
Углублялись методы и уточнялись результаты самого А. М. Ляпунова, расптирялся круг понятий, введенных А. М. Ляпуновым в теорию устойчивости движении, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больптих начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных силах, Возникло также направление, которое условно можно назвать прикладным. Речь идет не о многочисленных, ежедневно возникающих в науке к тех пике частных задачах, репшемых с помощью уже развитой теория, и о создании общих методов псслодования устойчивости двжкения отдельных, достаточно обширных классов систем ~системы автоматического регулирования, управлнемые системы и т.
п.). вввдвнив Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономия, югмии и даже биологии (см., например, 140б!). Особо важное значение'теория устойчивости дви,"кения имеет для техники. Корабль, самолет, ракета при своем движении должны устойчиво сохранять заданный курс. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный ревзин работы.
Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление географического меридиана и т.п. В заключение отметим, что теория устойчивости движения еще далека от завершения. Она вродолзкает развиваться, охватывая все более широкий круг вопросов. Б ее разработке принимают участие много ученых различных стран, Перечислить все имена практически невозможно, некоторые нз них будут названы в тексте книги.
ГЛАВА 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ з 1.1. Основные определения Обозначим через ун..., ув вещественные переменные, характеризующие состояние механической, электромеханической или какой-нибудь другой системы. Этими переменными могут быть координаты, скорости, токи, напряжения, температуры и т.п.или функции этих величин. Предполагается, что число переменных у„ ...,ув конечно и что движение системы (процесс изменения перемеяных у„..., уи во времени) опысывается обыкновеннымн дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены относительно производных по времени ') ш лш (1 1) лу - 1 в(ун ° у 1) В этих уравнениях У„..., Уи — известные функции перемонпых у„..., ри и времени 1, удовлетворягощио условиям существования и единственности решения.
Если все функции Уа не зависят явно от времени 1, то система называется автономной, в противном случае — ьеавтономной. Заметим, что при решении конкретных задач уравнения движения не обязательно приводить к виду (1.1), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка. Некоторое вполне определенное движение системы подлея.ащее исследованию па устойчивость, называется невоамущенным движением. Невозмущепному движению системы отвечает определенное частное решение р =- 1т (1),, уа = 1ч (1) (1.2) г) Формулы нумеруютси двуми числами: первое число означает помер главы, второе — помер формулы в этой главе. $4 Гл ! постановка задачи диффергпциальпых уравнений (1.1), удовлетворяюв„ес начальным условиям: ггрн 1== 1с У, -6(Гв),, Уя =)я(1.).
(1.3) 11зменим условия (1.3), дав начальным значениям переменных у„..., уя небольпгие по модулю приращения е„..., ея, а именно пусть теперь при 1-- Гэ: у — — 1 (зэ)+ е . уя =-)я (1) + егп (1.4) Дзян<ение системы, отвечагощее измененным начальным условиям (1.4), называется возмущенным движением, а величины е„..., ея — возмущ ниями. Обозначим значения переменных у; в возмущенном движении через у,(Г), а в невозмущ ином движении через (,(1) и составйм разности между ними хт = ур (г) — Ут (г) (1 = 1,..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
