Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (774242), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Н. Красова ского (27) и в третьем д )г дополнении редактора 2-го издания книги И. Г. Малкина (37!. Мы гке ограничимся наглядной геометрической илЧ=с, люстрацией теоремы. Обозначим через ЛХ Рис. 2.7 изобрангающую точку дифференциальных уравнений (1.17) возмущенного движения. Но условию теоремы во всех точках окрестности нуля Р «( О (Р ( О вне К и Р = О на К). Из этого следует, что траектория 7 изображагощей точки И в области (2,1) не может пересечь поверхность У = с ианутри наружу (см.
с, 35). Если точка ЛХ находится вне миогообрааия К, то ее траектория 7 будет пересекать замкнутые поверхности У = с, снаружи внутрь. Действительно, по условию теоремы функция У определенно-положительна, а вне К производная Р ( О (рис. 2.7 ')). Предположим теперь, что при своем двин<еггии изображающая точка М попала на многообразие К. Очевидно, что на атом многообразии г) На рис. 2.7 многообразие К имеет условное иеобрвженне.
З 3. ТВОРВМЬЛ ОБ АСИМПТОТЛЛЧКСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 43 точка ТМ движется по поверхности $' = с, (на Кпроизводная Р = 0). Так как многообразие К не содержит целых траекторий системы, то точка М должна покинуть зто многообразие, причем в песте схода траектория 7, касаясь поверхности Р == с„ войдет внутрь нее (ибо вне К опа пересекает эти поверхности снаружи внутрь — см. рис. 2.7). В дальнейшем точна М может снова попасть на многообразие К и будет двигаться по новой поверхности Г(х) = сл, расположенной ближе к началу координат, Рпс. 2.8 чем поверхность р(х) = с, (с, ( с„так как после схода точки М с поверхности Р = с, производная Р(0 и, следовательно, функция Г убывает).
Этот процесс может неоднократно повторяться, причем изображающая точка М будет неограниченно приближаться к началу координат (строгое доказатсль'тво теоремы сводится по существу к аналитическому описанию этого процесса). Из ллрив~ дгииого обоснования теоремы красовского ВИДИО, В ИМ Соетакт Отвипж В НСВЕДГЛЛЛЛЛЛ фУИКЦНИ Г В условиях лго теоремы от поведения этой функции в условиях теор~ мы Ляпунова.
Деля,лсллвлптотичл ской устойчивости теорема Ляпунова требует, чтобы при г — оо функция 'г' стремилась к нулю монотонно (рис. 2.8, а); Красовский ослабил зто условие и показал, что для асимптотической устойчивости функция у' может стремиться и кулю не монотонно, а ступенчато (на рис. 2.8, б горизонтальные участки графика функции Г соответствуют нахождению изображающей точки М на многообразии К). Остановимся кратко на определении условий, при выполнении которых многообразие К не будет содержать целых траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.7). Гл. и.
пРямОЙ мктод ляпунОВА Выбрав определенно-положительную функцию У, вычислим ее производную У. Предположим, что производная не определенно-отрицательная, а просто отрицательная функция, т. е. она может принимать помимо отрицательных также и нулевые значения. Совокупность тех значений л„..., хи, при которых производная )г обращается в нуль (кроме начала координат) определяет многообразие К. На вопрос, содержит или не содержит это многообразие целые траектории р ~Г уравнений (1.17), можно во многих случаях отвеи тить непосредственной проверкой. Для этого м достаточно внести уравнение многообразия (осу ли его можно написать в явном виде) в дифференциальные уравнения возмущенного движения.
Если при этом уравнения обращаются в тождества, то многообразие К содержит целые траектории; в противном случае не содержит. В тех случаях, когда многообразие К представляет некоторую поверхность г' (л„..., х„) = О, п ~у.огай К=,Р„Хз а ФО' чч аг р (2 15) достаточно составить скалярное произведение с7.атай Р, где 6' — скорость изображающей точки М. Если это произведение тождественно равно нулю, то скорость Г будет все время перпендикулярна к алтай К, т. е.
к нормали поверхности г" = О. Это означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими точками на втой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1 17) не принадлежали поверхности Р = О, достаточно, чтобы скалярное произведение АТ атай К не равнялось нулю тождественно [371 1 хз. теОРемы Ое Асимптотической устойчивости 45 Пример. В 1 2.2 были рассмотрены следующие дифференциальные уравнения возмущенного движения: гг = — хг + Зх„тз — — — хгхт — х„ з з Определенно-положнтельная функция = Цз (. (з + х~з) изгеет в силу уравнений возмущенного движения отрицательную пронзводну|о р = — (хг — *';)'.
Так как производная Р не определенно-отрицательная, а просто отрицательная функция, то теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя. Попытаемся воспользоваться теоремой Красовского. Множество К найдем, приравняв производную У к нулю: Г=хг — х =-О 3 (на плоскости хы х, ато парабола).
Составим скалярное произведение (2.15) О'. Егаб Р =- Х,,— Х, ду дР дх.г дхз и.зп, подставляя соответствующие величины и учитывая, что на К хг = х,". з' сГ Егаа Р = ( — х, + Зх',) 1 + ( — х,х, — хз) ( — 2хз) = 2хз + 4х4. Это выражение не обращается в нуль (точка х = — О, как обычно, исключается), позтону многообразие г" = х, — х".; = О не содержит целых траекторий. Теперь видно, что выполнены все условия теоремы Красовского об асимптотической устойчивости. Действительно: 1) функция У оаределенно-положительна; 2) производная Р на К равна нулю, а вне К она отрицательна; 3) многообразие К не содержит целых траекторий. Следовательно, рассматриваемое давя<ение асимптотачески устойчгго.
Теорема Ляпунова Й обобщение Красовского устанавливатот достаточные условии асимптотической устойчивости в малом, т. е. прп малых начальных возмущениях. Е. А. Барбашниу н Н. Н. Красовскому принадлежит теорема, определятощая достаточные условия асимптотической устойчивости при любых начальных возмущениях. Теорема Барбашина — Красовского. Если для дифференциальных уравнений возмущенноео движения можно найти определенно-полоисительную функцию г' (х), удовлетворяющую условию 11ш У (х) = — оо, гл.
и. нгямои мктод ляпг поел производная которой, вычисленная в силу этих уравнений, удовлетворяет при всех х доул! условиям: 1) у О вне К, 2) у=Она К, где К вЂ” многообразие точек, не содержащее целых пграекторий системы при О ( ! ( оо, то невозмущенное движение х = О устойггиво в целом (символ х — г- оо в равенстве (2.16) означает, что хотя бы одна координата ху стремится к бесконечности по любому закону). Не останавлпваясь на доказательстве этой теоремы (см., например, (5, 6, 271), покажем необходимость условия (2.16).
При доказательстве теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости решагощео зпачопие имеагт два свойства знакоопределенных функций р: 1) в окрестности нуля поверхности гг (х) = с замкнуты; 2) неогранпченное стремление знакоопределенной функции гг (х) к нулю свидетельствует о стремлении изображающей точки к началу координат. При рассмотрении устойчивости в целом необходимо учитывать, что координаты ха могут принимать большие по модулю значения (хотя бы в начале движения). Поэтому, если условие (2,16) не выполнено, то может оказаться, что поверхностя )' (х) =- с, замкнутые при достаточно малых (хг(, будут разомкнуты при боль!них ( хг ( .
В результате значения функции (г (х) могут убывать, а изображающая точка не будет стремиться к началу координат. Не вдаваясь в подробный аяазвг, поясним сказанное пуммером, взятым иа (б). Пусть уравнения возмущенного движения имеют ввд вх 2х ег (! + х ) + у' (2.)7) Еу 2х 2у з! (! ! хг)с (! ! хг)я Функция у г уг ! + хг очевидно, определенно-положительна, а ее производная, вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, у=-4 " + --[" определенно-отрвпательна на всей плоскости (х, у). й З.З, тГОВЯВ!Ш ОП ЛППМПтотзГПГПКОП Уотпяс!Пвпити 47 На основании теоремы Ляпунова ыояшо утверждать, что невозмущенное движение х =- О, у == 0 асимптотически устойчиво при малых начальных возмущениях.
Однано теорему Барбашина — Красовского об устойчивости движения в целом крнменпть нельзя, так как условие (2.16) не выполнено. Действительно, при х со и у = а = сопз! функция У стремится к 1 + аз, а не к бесконечности, как требует условие (2.16). =с) 7 Рпс. 2.10 Покажем, что система (2Л7), аспмптотически устойчивая в малом, не является устовчивой в целом. Для этого рассмотрим поверхности у = х + уз == с, ( хз пли, решая относительно у, у-.-+ !Г/ с — 1+ 1 !+х Отсюда видно, что прп 0 < с < 1 поверхности Р (х) -.= с будут эавпснуты, а прп с ',э 1 — разомкнуты (рпс.
2.10). Рассмотрим теперь кривую у = Р— ! 9 1-)- хз (-.18) и найдем угловой коэфф~п!кент касательной к этой кривой эх (! -)-,те)з На кривой (2Л8) диффоренцпальпыо уравнения возмув!енного движения (2Л7) имеют внд 2х,4, 2 с)С (! + хз)з ! + хэ с!У 2х 1 /4 2 сй (! +хз)з (1+ха)з ( 1-)- хз~ 28 ГЛ. П. ПР51МОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Отсюда найдем угловой коэффициент касательной к траектории у системы (2.17) в точках нрпвой (2.18) 1+ 1 (2+ 1 ) 55у 2х ах (1 + хз)з 4 2 2х 1+ хз (1+ха)з Сравнпвая с выражением для х, получим Иш =- (1. йх 1 х й 4 Следовательно, найдется такое достаточно большое положительное число хг, что при всех х > х будет выполняться неравенство )йа) () й) 1 х) хз) х1' у) 2+ 1 хз где хз удовлетворяет соотношению 2х, ( 4.
(1 + х',)* (2,18) Область б имеет следующие свойства. 1. Изображающая точка М системы (2Л7), перемещаясь по интегральное крквой у, не может пересечь кривую (2ЛЗ) изнутри наружу, так как для этого необходимо, чтобы в точке пересечения угловые коэффициенты удовлетворяли условию ) йа ) ) ) й (, а при х ) х, имеет место неравенство ) йа ) ( ) й ) . 2. Изображающая точка М системы (2Л7), попав в область б, удаляется все время вправо от ее левой границы х = х, (рис. 2ЛО). И самом деле, при х ) х, из неравенства (2ЛО) следует, что -х 9 (1+х')з ( 4 (х, достаточно велико).
Теперь, польвуясь определением области 6, пэ первого уравнения системы (2Л7) последовательно получим ах 2х 2х 2 2 —,= — (1+.1)з +2У) —,+... +4+ —... ), )О, что доказывает возрастание абсциссы х иаобрая1ающей точки М системы (2.17). Из свойств 1 и 2 следует, что если начальная точка Мз находится в 6, то интегральная кривая не выйдет из этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
