principy_nelinejnoj_optiki_1989 (769482), страница 60
Текст из файла (страница 60)
— оа(о) ~ 2 о( (17.6) Это приближение известно как параксиазьное или безаберрацнопное. Каждый луч идет по траектории, для которой г/а =г,/а„где г, и а, — координата луча и радиус пучка при г = О соответственно. Если А(г, з) задано соотношением (17.6), то потенциал г' принимает вид г (г, а) = — й — — + — + — (. го ав [ о/ Поскольку в параксиальном приближении г< а, мы получаем г' (О, а) = У (а) = — й ( — —, + — ), т Ьз'1 (17.7) ьо "/ о и теперь уравнение (17.5), в котором г(з) заменяется на а(т), можно решить.
В результате приходим к соотношению ь !ао'1о — ~ — ) + г'(а) = сопз$, (17.8) которое является аналогом закона сохранения знергии в случае частицы. Граничные условия имеют вид а а, и о[а/Иг = (да/Аз)о при з О, а точка фокуса, соответствующая а=а „и Аа/оЬ О, достигается при а =ге Решение (17.5) или (17.8) можно записать в виде о з = ) ) — [T (ао) — г' (а')[ + ( —,) ~ да'. ао (17.9) Фокусное расстояние при этом определяется уравнением ош!о хг = ~ ( — [г'(ао) — Р'(а)[+ ~ — „~~) ~ о[а.
(17ЛО) оо Теперь мы можем понять с физической точки зрения, каким образом происходят самофокусировка пучка и его дифракция, при- овс нашем случае г' известно, только если известна функция А(г, х), в предположении, что конкретизирован вид функции Лл([Е[о). Но А (г, х) можно найти, только решив связанные уравнения (17.3). В качестве приближения можно задать А(г, з) в виде но- которой функции. Это приближение оказывается разумным, коль скоро искривление лучей в процессе фокусировки не играет существенной роли.
Например, мы можем считать, что центральная часть пучка сохраняет свой гауссовский профиль при распростраиенпи, но радиус пучка меняется с изменением х. Это означает, что при О~г~а бегнув к представлению о частице, движущейся в потенциальной яме. Как видно из (17.7), потенциал У будет положительным или отрицательным в зависимости от того, доминирует дифракционный член 1/й'а' илн член Ьп/пв ответственный за самофокусировку.
Если Ьп достаточно велико, но испытывает насыщение при высоких интенсивностях поля, то функция У может иметь форму, пока- ванную на рис. 17.4. Из рисунка видно, что при большом радиусе пучка а и, следовательно, малой его интенсивности самофокусировка мо- ца жет доминировать над дифракцией, но, когда пучок сжимается и его интенсивность возрастает, изменение лям аа лам Ьп достигает насыщения, и вскоре начинает ДоминиРовать ДифРакЦиЯ. ~ 1 л г Из аналогии с частицей, находящей- к 2!лг/л ся в потенциальной яме; нетрудно видеть,что, если начальная расходимость или сходимость !(НаЛх),! (соответствующая начальной скорости частицы) меньше, чем ( — Р'(а )/2Цпа Рвс.
17.4. Заввсвмость пауамет- ра У от радиуса пучка. Кривая то радиус пучка будет по мере рас- вллюстркрует авалвгвю между пространения периодически менять- самофокусвровкой и дввжвпввм ся от ао,а до а ж (рис. 17.4). Период частицы в потенциальной яме этих осцилляций можно определить из (17.9). Если жв, наоборот, ((сЬ/Их)о! ) ( — У(ао)/2й1пх, то пучок никогда не сможет сфокусироваться и будет дифрагировать до бесконечности, хотя вначале он может и сфокусироваться, если (да/с(х) о < О. В реальных экспериментах насыщение Ьп может не происходить, однако, даже в области фокуса. Задолго до того как интенсивность лазера достигает уровня, необходимого для насыщения Ьп, развиваются другие нелинейные оптические аффекты, которые влияют на условия самофокусировки.
В практических случаях в области резкого сжатия пучка перестает выполняться и параксиальное приближение, использовавшееся в приведенных вылив вычислениях. Поэтому на самом деле наши расчеты относятся только к предфокальной области для случая Лп = и,!Е!а. При этом для гауссовского пучка в параксиальном приближении г ь а потенциал У принимает вид У' й + — ') = — ~~1 — — )„(17.11) 1 капала 1 1 Г Р 1 лала ла ) йа ~ е а где ОО ла~ ~ "а'аа а р о Аа2пг,!г а а а 2п .) 2 о — мощность лазера, а Р, = сМ/8п*п. Пользуясь аналогией с частицей, мы сразу видим, что самофокусировка может произойти, му только если Р ) Р,. Пока начальная расходимость пучка (й/2) (Иа/сЬ)зе остается меньше — У(а,), действие самофокусироки всегда будет сильнее действия дифракции, и радиус пучка в конце концов уменьшается до нуля.
В частном случае, когда Р Р„получаем И=О, и если (па/с)з),=0, то пучок должен распространяться, сохраняя свой радиус. Этот случай соответствует самоканалированию пучка. Если У определяется соотношением (17.11), то из интеграла (17.9) получаем соотношение — ",=~1-Х),— ',*',+11+Ф) -*1', (17Л2) из которого видно, как радиус пучка уменьшается в функции пройденного расстояния з. Точка фокуса должна наблюдаться при з = з„ когда а О.
Отсюда находим йарз/~~2 (17.13) Х/ (Р/Р, — т) ПИ вЂ” (й,/~~) (ла/8.), Если (АЛЬ), =О, то это соотношение принимает вид й~з/Р 2 (Р7Р 1) 7 (17.14) (17Л6) [/Р— 0,832 ]/Риз где К =0,387йарЧР„р. В случае керровской жидкости, имеющей и,- 10 " СГС, получаем Р„, 8 кВт для лазерного пучка с длиной волны Х - 500 нм. Фокусное расстояние з, пропорционально квадрату начального радиуса пучка а~~.
При а, = 150 мкм и Р/Р„, = 1,5 получаем з, = 31 см. Интенсивность на оси пучка в функции з также можно рассчитать, и эта зависимость может быть приближенно выражена формулой 1(г)/1(0) [1 — (з/г,)*] (17Л7), Приведенное решение, полученное в параксиальном приближении, справедливо, конечно, только для лучей, распространяющихся близко к оси пучка. Более строгое решение (17.3) можно получить численно [13].
При этом оказывается, что при Ли = я,!ЕР и Р ~ )Р =(1,22Х)'с/128в, (Р„, носит название критической мощности самоканалирования [3]) гауссовский пучок с первоначально плоским фазовым фронтом самофокусируется в точку на расстоянии [14], которое будем называть длиной самофокусировки: 0,367йа~ 3/ [](Р/Ррэ)Н" 0832[~ 0 0219!П~ (17Л5) Зависимость между зг н ЧР/Р„построена на рис. 17.5. Прн Р) ) 1,2Р„, зависимость (17Л5) можно аппроксимировать асимптотической формулой где а — параметр, имеющий зависимость от Р, показанную на рис. 17.5. В квазистационарном случае амплитуда поля Ю', а значит, и 1, и Р являются также функциями $ =1 — зlп,.
При этом соотношения (17.16) и (17Л7) принимают вид К УР ($) — 0 252 ~/ Р„ 1(з, Ц/1(0, Ц= [1 — (яйся)з] "". (17Л9) (17Л8» Первым следствием этого зависящего от времени решения является то, что положение фокуса, определяемое х„должно зависеть от Рис. 17.5. Кривая А показывает зависимость обратной длины самофокусировки от мощности пучке нз входе; кривая  — асимптота, к которой стремится кривая А при большой мощности пучка; кривая С описывает зависимость параметре и в формуле (17А7) от мощности пучка на входе.' Здесь 21 — — з172йеез, по осям в скобках дзн масштаб для кривой С, без снобок— для кривых А и В [14) 1пИп) йЯЯ д 0) (г) ьу) 0) « времени [9, 10).
Эта картина движущегося фокуса, как мы увидим в следующем разделе, очень хорошо описывает экспериментально наблюдаемые особенности самофокусировки наносекундных импульсов лазера в жидкостях. 17.3 Квазистационарная самофокуснровка В случае самофокусировки в жидкостях импульсов лазера с модулированной добротностью, имеющих длительность (около 10 нс) намного болыпую, чем время отклика среды (порядка 10 пс), должна оставаться справедливой развитая выше теория квазистационарной самофокусировки.
Будучи сильно нелинейным аффектом, самофокусировка критически зависит от параметров входного пучка. Даже слабая рябь на фоне гладкого поперечного профиля пучка в процессе самофокусировки многократно усиливается и приводит к разбиению пучка на несколько независимо фокусирующихся частей. Если и = и, + п,)ЕР, то критический размер Л, ниже которого пучок, имеющий интенсивность 1, становится неустойчивым по отношению к поперечному изменению интенсивности, можно оценить 2йй из выражения для Р„, [15] ( 4Р„р )МР 1,22ьрПР (17.20) При и,-10 "СГС, г -50МБтlсм',Х-500 нм получаем Л 10мкм. Использование пучков с плохой пространственной когерентностью (большим числом поперечных мод) привело к наблюдению в эксперименте разбиения пучка и формирования множественных нитей.
Эти результаты было очень трудно интерпретировать, поэтому для сравнения эксперимента с теорией необходимо использовать одномодовые лазеры. Мы рассматриваем ниже только самофокусировку одномодовых лазерных импульсов. а. Самоурокусировка в пред1рокальной области Уравнение (17А9) описывает самофокусировку в предфокальной области в среде, у которой и = и, + и,]ЕР. Его справедливость была подтверждена экспериментально при измерении пиковой интенсивности на оси пучка в функции з [16]. Сужение радиуса пучка вследствие самофокусировки также наблюдалось экспериментально (рис. 17.3). Интересна зависимость самофокусировкн от поляризации. Было обнаружено, что излучение после фокуса всегда линейно поляризована независимо от исходной поляризации пучка.
При круговой поляризации падающего излучения направление поляризации выходного излучения оказывается произвольным. Эти результаты можно объяснить как следствие нелинейного вваимодействия между двумя циркулярно поляризованными компонентами поля через посредство наведенной полем нелинейной добавки к показателю преломления среды [17].
Согласно (16.31), наведенные полем показатели преломления для двух циркулярно поляризованных полей можно записать в виде Лп~ = — [А] Е~]'+ В] Е~]Р]. (17.21) Б обычных жидкостях А — В= — АД>„<0, поэтому если присутствуют обе циркулярно поляризованные компоненты поля, то для более слабой иэ них изменение показателя преломления будет больше и, значит, она будет быстрее самофокусироваться, пока ее интенсивность не сравняется с интенсивностью другой компоненты. После этого выходное излучение становится линейно поляризованным.
Эти рассуждения относятся и к случаю круговой поляризации входного пучка, поскольку на практике пучок никогда не имеет идеальной круговой поляризации. Однако количественный анализ проблемы самофокусировки при наличии связи между модами еще не проделан. Зсэ 6. Нити и движущиеся 4ояусы Порог самофокуспровки для данной среды протяженностью определяется нз условия г,(Р ) 1, где Р— пиковая мощность входного импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
