Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отметим, что аналогичный резулнтат (при белом гауссовском шуме) был получен ранее иным методом (см. (48)). Согласно формуле (108) оптимальный фильтр пропускает соста~вляющие частотного спектра тем в большей степени, чем больше амплитуда составляющих сигнала и меньше интенсивноать помех. Чтебы полнее выявить физический смысл обработки, осуществляемой оптимальным фильтром, предста~зим его в виде последовательного соединения двух линейных фильтров с коэффициентами передачи К1()в) и Ко()в) соответственно, при этом Ко (1 о) = К1 () о) Ко ~1 в).
(2. 109) Положим ! К (1 в) ~ = сопз1/~/6 (в), (2.110) тогда из (108) — (110) получаем К, (1 в) = сопз( (Ро (1 в) ф'6 (в)) ехр ( — 1 в 1,). (2.! 11) Фильтр с амплитудно-частотной характеристикой (110) является обеляющим, так как прошедший через него шум имеет постоянную спектральную плотность, а фильтр с коэффициентом передачи (111) согласован с полезным сигналом, про~шедшим через обеляющий фильтр. Обеляющий фильтр согласно (110) подавляет спектральные составляющие помехи и формирует на выходе белый шум, а согласованный фильтр наилучшим образом (~в смысле максимума отношения сигнал-шу|м) выделяет сигнал на фоне белого шума.
Итак, оптимальный линейный фильтр можно представить в виде последовательно соединенных обеляющего и согласованного фильтров. Напомним, что именно такая комбинация фильтров имеется в оптимальном обнаружи|теле сигнала на фоне кпррелированных помех (~см. рис. 2.23). Подчеркнем, что обнаружитель на рис.
2.23 является оптимальным при обнаружении детерминированного сигнала 'на фоне коррелированных гауссовских помех. Если же помеха негауссовская, то этот обнаружитель уже не будет «абсолютно» оптимальным. Однако, как ясно из предыдущего, он будет все же опти- 84 мальныы п кла!ссе обнаружителей„в ко!горых фильтрация наблюдаемого процесса осущеспвляется линейным фильтром.
Отметим, что в обна!ружителях квазидетер~минированных сигналов на фоне коррелированных помех также используется оптимальный фильтр, состоящий из обеляющего и согласованного фильтров. Если обрабатывается пачка радиоимпульсов, то оптимальный фильтр можно разбить на три последовательно соединенных фильтра: согласованный с одиночным радкоим~пульсом фильтр, синхронный накопитель (гребенчатый фильтр накопле. ния), обеляющий фильтр (гребенчатый фильтр подавления).
Так как эти фильтры являются линейными, то последовательность их включения может быть любой. Обеляющие фильпры применяют, в частности, для подавления пассивных помех при решении задач СДЦ. Квазиоптимальным приближением к гребенчатому фильтру подавления, осуществляющему обеление помех, может служить упомянутая при обсуждении рис. 2.22,б схема ЧПК. 2.8.
ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ Как уже отмечалось, на практике имеется множество ситуаций, когда помехи являются существенно негауосовскими (см. 5 2.6). Использование в этих ситуациях системы обработки сигналов, оптимизированной под гауссовскую помеху, приведет, очевидно, к неоптимальному результату. Поэтому интересно выяснить, какова же будет структура оптимального обнаружителя в случае негауссовоких помех. Рассмотрим вначале задачу обнаружения детерминированного сигнала з(1») е к» на фоне помехи С» с независимыми значениями, описываемыми плотностью вероятностей ш»(~»), при наблюдении в дискретном времени процесса У» = т) з» + ь», 6 = О, 1; Й = 1, 2, ..., и Оптимальный обнаружитель должен формировать отношенип правдоподобия !! и А= П ш»(р — з») ( П ьЬ) »=! »=! Не конкретизируя пока распределение помехи шы проведем не- которые преобразования отношения правдоподобия, которые поз- волят дать наглядную интерпретацию оптимальной обработки, зб Прежде всего перейдем к логарифму отношения правдоподобия л г = 1п Л = ~ (1и шь (ух — з„) — 1и пь (ух)).
(2.112) А-! Далее разложим 1пма(ух — зх) в степенной ряд: в ( |)! 1пша(ух — зь) =1пва(у„)+ "~~ з' —. 1ппЬ(ух). и 'да,' 'Подставляя это выражение в (112), получаем и » ( |)| л! к ~ з! —, 1пю (у„). ь=:! |=! и Ал (2.113) (2. 114) (2.115) Обозначив 1|(ух) = —,. 1п пь(уь), ( — |)' !'! лу' перепишем (113) в виде О г = ~ г|, |=! л где г! = Х 1 (ух) з||,.
ь=! Оптимальный обнаружитель должен строиться в соответствии с алгоритмом г~~й, где порог Ь определяется заданной вероятаа постыл ложной тревоги (критерий Неймана — Пирсона). Как сле- дует из (115), оптимальный обнаружитель представляет собой многоканальное устройство (рис. 2.25). Наблюдаемая последова- тельность (ую 1=1, 2, ..., и) проходит через безынерционные нели- нейные преобразователи БНП|, характеристики которых опреде- ляются по формуле (114), и затем обрабатывается корреляторами (или согласованными фильтрами).
Согласно (115) число каналов в оптимальном обиаружителе, строго говоря, бесконечно. При практической реализации обнаружителя потребуется, разумеется, ограничить число каналов. Это приведет к некоторым потерям в пороговом отношении сигнал-помеха, однако в ряде случаев поте- ри невелики. Рассмотрим один из таких случаев — случай слабых сигналов. Если детерминированный сигнал (зю 1=1, ..., и) представляет со- бой последовательность достаточно малых величин, то ряд по сте- леням зх в (113), (115) можно ограничить конечным числом чле- на Рис. 2.26. Структурная схема асимптотически оптимального обнаружителя детерминированных сигналов на фоне не- гауссовских помех с независимыми значениями Рис.
2.25. Структурная схема оптимального обнаружителя детерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с независимыми значениими нов. Наиболее простая схема обнаружителя будет в том случае, если ограничиться лишь одним членом ряда, при этом л г ж ах = ~ 1, (У„) з„, Ь=1 (2.116) где 1х(уз) = — — !и ый (уд). пуа (2. 117) * Существуют и другие критерии асимптотической оптимальности (50, 53], однако они также приводит к схеме типа рис. 2.26. 87 При зь-ьб (й=1, ..., п) величина гг сходится (в среднем квадратичном) к величине г, при этом обнаружитель, реализующий обработку (116) (рис.
2.26), является асимптотически оптималь. ным ". Синтезированный обнаружитель представляет собой корреляционный обнаружитель, на входе которого имеется безынерционный нелинейный преобразователь БНП; характеристика последнего определяется формулой (117). Если помеха гауссовская, т. е. вз (уь) = ехр 1 ! У,'! (2.1! 8) ~/2~ос 1 2~~~,~ го БНП вырождается в линейный преобразователь: ~,(рл) =уь/охс, при этом асимптотически оптимальный обнаружитель переходит в оптимальный.
Если распределение негауссовских помех можно описать, например, функцией (91), то согласно (117) характеристика БНП ~, (у) =(112'/' о«) т[у[« — ' з[ап у, где где Иь(р) = — з'(р, (ь). Асимптотически оптимальный обнаружитель слабых сигналов (зь(м) — «-О) должен формировать согласно (121), (122) статистику г ° Л,=.[-р1ХГ,(р,);(м) .()) [р м ь=~ и подавать ее на пороговое устройство.
Для сравнения асимптотически оптимального обнаружителя с оптимальным в случае гауссовских помех запишем отношение правдоподобия, подставив (118) в (122) и затем в (121): и л Л = ["ехр ~ — ~ у, Я ()ь) — — ~ з„'(р) ш, ()ь) д)х. м 4 ь=~ ~во ь=! (2.123) Для практически интересных моделей сигналов (в том числе для тех, которые рассматривались в $2.5) вторая сумма, стоящая М 1, д~О, з[Яп У= ~ О, у=О, (, — [,дСО.
При т=1, что соответствует распределению Лапласа (92), имеем ~ (у) = (1) / 2 о) а[яп у, (2.120) т. е. БНП является квантователем на два уровня с нулевым поро- гом квантования («идеальным ограничителемъ). Рассмотрим теперь обнаружение квазидетерминированного сигнала з(м, 1) на фоне негауссовской помехи с независимыми зна- чениями. Вектор неизвестных параметров мс М считаем случай- ным, плотность вероятностей которого ш«(м) задана.
Отношение .правдоподобия в соответствии с (58) можно записать в виде Л = [ехр [г([ь)[гв,([т) Щ (2.121) м где г([«) =!пЛ(у~1ь) — логарифм условного отношения правдопо- „добия. Лналогично соотношению (113) н ( ~11 ф я(м)= ~ ~ з,'()ъ) —,!пиь(уь), (2. 122) а! дуь под знаком экспоненты, не влияет на структуру оптимального об наружителя. При этом статистика обнаружения ге Л' = уехр ~;; ра'за ()а) е (Ф г()а м а=1 (2.124) Рнс. 2.27. Структурная схема аснмптотнческн оптнмального обнаружителя квазндетермнннрованных сигналов на фоне негауссовскнх помех с неаавнснмымн значениями Рнс.
2.28. Структурная схема квази. оптнмального обнаружнтеля квазидетермнннрованных сигналов на фо не помех Сравнивая (123) с (124), видим, что структура асимптотически оптимального обнаружителя слабых квазидетерминированных сигналов на фоне негауссовских помех (рис. 2.27) отличается от структуры оптимального обнаружителя квазидетерминированных сигналов на фоне гауссовских помех наличием на входе последнего безынерционного нелинейного преобразователя с характеристикой (117). «Гауссовский приемник» ГП представляет собой уст.
ройство, реализующее алгоритм (124) (или ему эквивалентный). При детерминированном сигнале ГП вЂ” не что иное, как коррелятор (согласованный фильтр), так что схема на рис. 2.26 является частным случаем схемы на рис. 2.27. Для различных квазидетерминированных сигналов структурные схемы ГП синтезированы в. $2.6. Например, для когерентной пачки радиоимпульсов со случайной начальной фазой ГП состоит из согласованного фильтра для одиночного радиоимпульса, синхронного накопителя и вмяли* тудного детектора (см.
рис. 2.12,а). В более общем случае, когда на квазидетерминированный сигнал з(1з, 1) наряду с помехой с независимыми значениями З воздействует аддитивная коррелированная помеха з1 (гауссовская или. негауссовская), структурная схема квазиоптимального обнаружителя принимает вид, представленный на рис. 2.28 1531.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
