Сосулин Ю. Г. - Теоретические основы радиолокации и радионавигации - Радио и связь (768834), страница 20
Текст из файла (страница 20)
11лотность вероятностеи помехи определяется многомерным гауссовским законом г ! ь (И.:-. Ч ! = (! ! 'н! ! к'~~К ~! *~ ! — Х ~ Ч Н,) . 1,у=! где йп — элементы матрицы [[1!!Д, обратной корреляционной: (2.130) [[л!![[=[[К!!!! — '. В матричной форме в (т)) = (2г!) — ы' с1е1 — и' К„ехр ( — — з[' К !1) 1 2 Так как сигнал детерминированный, то логарифм отношения прав- доподобия 1п Л (у) = 1и [в„(у — з)йач (у)[. Подставляя сюда (130), получаем 1и Л (у) =- — [(у — з)' К„ '(у — з)/2[ + [у' К„,' у!2[ = = [(у' Кч ' з+ з' Кч ' у)12[ — [з' Кч ' з!2[. Покажем, что у'К„-!з=з'Кч-!у. Так как у'К„'з — скаляр, то при транспонировании он не меняется: (у'К„-'з)'=у'К„-'з.
С учетом правила транспонирования произведения матриц (АВС)'=С'В'А' и симметрии матрицы К„-'= (ʄ— ')' получаем (у'К„-'з)'=з'ʄ— 'у, что и требовалось доказать. Таким образом, 1п Л (у) = г (у) — (д12), где з (у) = з' Кч у = у Кч (2. 131) д=з'Кч з. (2.!32) Достаточная статистика г(у) может формироваться по-разному (131), поэтому и оптимальный обнаружитель, сравнивающий статистику г(у) с порогом Ь, может быть реализован различными способами (рис. 2.31, где двойными стрелками показана подача векторно-матричных величин, одинарными — скалярных). По схеме на рис.
2.31,а наблюдаемый вектор у обрабатывается дважды. Сначала осуществляется линейное преобразование х=К„,'у, (2.133) зависящее от Е'-элементной корреляционной матрицы помехи К„. Затем образуется скалярная весовая сумма г(у)= ' =~з,хь 1=! й'к 'а б) Рис.
2 ЗН Структурные схемы оптимальных оонаружителей векторного детерминированного сигнала на фоне гауссовской коррелированной помехи Заметим, что преобразование (133) декоррелирует преобразованный помеховый вектор х=ка 'т) по отношению к принимаемому т), так как Мт(х'=-Мт)(Кч т))'= М(тр)')Кч = К К,,' =1. В ряде случаев выгоднее осуществлять обработку по схеме на рис.
2.31,б, в которой сразу образуется весовая сумма г(у) =-у г= ~~у; гь (2. 134) где — ! г=К„з, (2.135) — весовой вектор, зависящий от корреляционной матрицы помехи и от опорного сигнала, но содержащий всего С элементов. Вычислим дисперсию помехи на входе порогового устройства о'=ха(х(у) /6=0). Так как Мт)=0, то и М(л(у) !6=0) =О. Поэтому и'=М[г'(у) )0=01 и согласно (!31) о'= М(з'Кч'уу'Ка'з/0=0) =з'К„' М(уут)0= 0) К„'з= — зтК 1К К ~з атК„1з (2.135) Как видим, мощность помехи на входе ПУ в схемах на рис.
2.31 зависит от корреляционной матрицы помехи и от опорного сигнала. Поэтому при их изменении потребуется менять уровень порога й для обеспечения заданной вероятности ложной тревоги г. Однако можно поступить по-другому, используя в схеме на рис, 2.31,б вместо весового вектора (135) нормированный весовой вектор гн = гЬ~ гу =- Кч ' зуМ з' К„' з. В этом случае на пороговое устройство поступает нормированная весовая сумма л,=л(у)1фгг), имеющая единичную дисперсию: ох = М (гв (д = О) = М (ге ) д = О)/д = 1. (2.137) Такая нормировка соответствует используемой в радиолокацион- ных приемниках автоматической регулировке усиления, обеспечи- вающей постоянную мощность помехи на входе порогового уст- ройства.
Поэтому менять уровень порога не требуется. Параметр д (132) имеет смысл отношения сигнал-помеха по мощности на выходе линейной части приемника, т. е. в рассматри- ваемом случае на входе ПУ (см. рис. 2.31). Действительно, значе- ние полезного сигнала на входе ПУ, которое обозначим з„, нахо- дится подстановкой в (131) вместо наблюдаемого вектора у век- тора сигнала на входе обнаружителя з, т.
е. з„г=з'К„-'з. Отсюда и из (136) получаем, что отношение сигнал-помеха з'„„/а' равно д. Легко убедиться, что такое же отношение сигнал-помеха будет и при формировании нормированной статистики г„. Остановимся теперь на характеристиках обнаружения. Так как случайная величина г (131) (и я„) представляет собой линейное преобразование гауссовского случайного вектора, то она распре- делена по гауссовскому закону (при 6=0 и б= 1).
Поэтому веро- ятности ложной тревоги Р и правильного обнаружения 7) опреде- ляются ранее полученными формулами (56), в которых параметр д~ф нужно заменить на д (132). Поясним особенности многоканальной обработки сигналов в синтезированном обнаружителе на простейшем примере. Пусть антенная система состоит из двух элементов, с которых снимает- ся по одному отсчету в один и тот же момент времени: у~ — — у~ ((~), у~=у~(1~). В данном случае корреляционная матрица помехи Мт)~ Мт), т),1 оз ог о, р )~ч = Мт),т), Мт)~з ~ о о р о~ Обратив эту матрицу и подставив результат обращения и вектор сигнала а= ~~а,з,~~' в (135),,получим весовой вектор 1 — р' ( — рз,уо,о )+(зз(о,') Подставив этот вектор в (134), найдем достаточную статистику г(у) =(уг'[(зг1о,') — (рз,!ог о,)1+ У, ((з,/о') — (р з (о а )]Д1- р'), которую представим в виде з(у) = Ну,.— ру,.) з,.+(у,.— ру,.) з,.И1-р ), где угу= уФ~г узы=уз/оя згв=зг1ом зж за/оз 96 нормированные относительно уровня помехи значения наблюдений и опорного сигнала.
Отношение сигнал-помеха (132) д = з' г = (зз + зз — 2 р з!„з,„)/(1 — р'), Поясним полученные результаты, рассмотрев частные случаи. 1. Коэффициент корреляции выборок помехи р=О, а дисперсии выборок о',=о'~=о'. В этом случае з '= У!а з!в+ Узэ ззн Ч = з!я+ ~з = (з!+ зз)(о . (2.138) (2.139) 97 Как видим, обработка сводится к умножению нормированных наблюдений на опорные сигналы и затем к суммированию, при этом сигнал накапливается когерентно. 2. Пусть р=О, а о'!Фо'ь В этом случае наблюдения нормируются относительно различных уровней помехи, причем при накоплении с большим весом учитывается то наблюдение, которое содержит менее интенсивную помеху. 3. Пусть рФО и о'!ФФь В этом общем случае помимо когерентного накопления сигнала осуществляется и когерентная компенсация помех.
Согласно (137) остатки компенсации (у!„— ру,„) и (уз,— ру!,) подвергаются корреляционной обработке. Эффективность компенсации помех возрастает с увеличением степени взаимосвязи помех, поступающих в разные каналы, т. е, с ростом коэффициента корреляции р. Если з!„Фз„„то при р-~1 согласно (138) отношение сигнал-помеха и — со, т.
е. в пределе помеха полностью компенсируется и сигнал обнаруживается безошибочно. При одинаковых сигналах в каналах (з!=аз) и р=1 помеха тоже полностью компенсируется, однако при этом полностью компенсируется и сигнал и поэтому его нельзя обнаружить. Н е п р е р ы в н ое в р е м я. Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Для этого вспомним, что компоненты Е-мерного наблюдаемого вектора у получены в результате дискретизации по времени 1-мерного процесса у(1) и перенумеровки компонент (127) одним индексом. Возвращаясь к двойной индексации (как и в (127)), статистику (134) можно записать в виде двойной суммы: л г = 2,' У; г! = ~ ~', У, (1„) т; (1„).
а=! г=! А-! При переходе к непрерывному времени наблюдения при М=1х— — (х — !-!-О сумма по временному индексу я перейдет в интеграл, при этом т г г з- Х ~ У1(1)г!(1) (1=~ Х Ут(1);(1)Л= ( у (1)г(1)л, 1=! о о г=! о (2.141) где у(1) =|~у!(1) ...у!(1)!!' — наблюдаемый вектор-столбец; г(1) = =!|г! (1) ...
г!(1) |)т — весовой вектор-столбец. Аналогичным образом для отношения сигнал-помеха (132) получаем т д Г во (1) г (1) г(( (2.140) о где в(г) — сигнал (1-мерный вектор-столбец). Весовой Е-мерный вектор-столбец г (135) является решением матричного уравнения К„г=в, эквивалентного системе скалярных с уравнений Х К„!,го=во !=1, ..., Е.
Использовав двойную индек1=1 сацию, эту систему можно записать в виде о 1 х~З ~т~З ~Кж; (1 , (о) г; (1о) = з! (1 ), ! = 1, ", 1, о=! /=1 где Ко!!(й, !д) ='Мчо(Г )пл(го) — значение взаимной корреляцион- ной функции помех в !см и (хм каналах К„м(1, т) =Мяо(1)т1о(т) (!, 1=1, ..., 1), взятое в моменты времени 1=!„„т=1!,. Переходя в (14!) к непрерывному времени, получаем систему интегральных уравнений г Х К !!(1,т) г!(т) !(т=-з (1). ! =1,".,1, о или в матричной форме )' К„ (1, т) г (т) !( т = в ((), (2. 142) о где К„(1, т) =(~К„!!(г, т)!! — матрица размером 1Х! взаимных кор- реляционных функций помех в каналах 1-канальной приемной си- стемы. Примеры.
1. Пусть 1=1 (одиоканальная приемная система), иначе говоря, рассмотрим обнаружение скалярного сигнала в(1). Предположим, что скалярная помеха п(1) представляет собой бе- лый шум с кореляционной функцией К,(1, т)=(Л!о!2)6(1 — г). В этом случае матричное интегральное уравнение (142) переходит в скалярное Мо — )' б(1 — т) г(т) !(т=з(1), (2,143) 2 о которое с учетом фильтрующего свойства дельта-функции легко решается: г(1) =2в(1)/А!о. Статистика (139) принимает вид г а= — )' у(!)з(!)Ж.
В результате, как и следовало ожидать, при!"о о 88 шли к рассмотренному в 5 2.4 корреляционному обнаружителю (см. (43), (44)). 2. Предположим, что 1-канальная система принимает векторный сигнал з(1) =~~э;(1) з, компоненты которого имеют одну и ту же форму з (/), но отличаются временем запаздывания ас з~ (1) = =к(/ — т~), з,(1) г я(1 — гз), ..., з~(1) =з(/ — т~). Считаем, что помехи в каналах — не зависимые между собой белые шумы, корреляционная матрица которых б (8 — т) 2 Такая постановка задачи может соответствовать, например, обна- ружению детерминированного сигнала в МПРЛС, состоящей из 1 приемных и одной передающей позиций. При этом уравнение (142) распадается на систему независимых уравнений типа (143), решение которой дает компоненты весового вектора г~(1) = =2з(/ — т,)/Л~оь ..., г~(1) =2з(/ — т~)//Ум Таким образом, согласно (139) т а= 2 ~,' — )' у~ (1) з (1 — тт)г(1, ,, д'ог з т.
е. оптимальное обнаружение сводится к когерентному суммиро- ванию результатов корреляционной обработки (или согласованной фильтрации) наблюдений, проведенной в каждой приемной пози- ции. Чем больше спектральная плотность помехи в /-м приемнике (У0;/2), тем с меньшим весом учитывается его выходное напря. жение. Результат суммирования г подается на пороговое устрой- ство. Комплексная форма записи сигналов и алгоритмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
