181009 (685702), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

а — рівень динамічного ряду при t = 0;

b — абсолютну швидкість зміни рівнів ряду (ординат);

2c — прискорення (прирощення абсолютної швидкості);

d — зміну прирощення тощо.

Поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд Y_t = a + bt, описує процеси, які рівномірно змінюються в часі і мають стабільні прирости ординат. Поліном 2-го ступеня (парабола) Y_t = a + bt + ct² здатний описати процес, характерною особливістю якого є рівноприскорене зростання або зменшення ординат. Форма параболи визначається параметром c: при c > 0 гілки параболи спрямовані вгору — парабола має мінімум, при c < 0 гілки параболи спрямовані вниз — парабола має максимум. При визначенні екстремуму (max, min) похідну параболи прирівнюють до нуля і розв'язують систему рівнянь відносно t. Наприклад, динаміка захворювань при епідемії грипу (чол.) описується параболою Y_t = 264 + 45t - 1,5t². Похідна параболи 45-2,25t = 0, a t = 20. Максимум захворювань буде зафіксовано через 20 днів від початку відліку часу (t = 0) і становитиме Y_mах = 264 + 45 – 20 - 1,5 20² = 564 чол. У полінома 3-го ступеня Y_t = a + bt + ct² + dt³ знак прирощення ординати може змінюватися один чи два рази.

Якщо характерною властивістю процесу є стабільна відносна швидкість (темпи приросту), такий процес описується експонентою яка може набувати різних еквівалентних форм. Основна (показникова) форма експоненти

Y_t = ab^t

де b — середня відносна швидкість зміни ординати: при b > 1 ордината зростає з постійним темпом, при b < 1, навпаки, зменшується. Абсолютний приріст пропорційний досягнутому рівню. Експоненту можна представити у формі:

або

де = lnb, е = 2,718 — основа натурального логарифма, lne = 1.

Експоненти приводяться до лінійного виду заміною y_t десятковими або натуральними логарифмами:

lgY =lga + tlgb, |

lnY = lna + tlne = lna + t,

lnY = lne^a + lne^bt = lna + lnbt = lna + t .

Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюється методом найменших квадратів (MHK), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y_t від теоретичних Y_t, визначених за трендовим рівнянням :

.

Параметри поліноміального тренда визначаються безпосередньо розв'язуванням систем p + 1 нормальних рівнянь. Експонента, як показано вище, приводиться до лінійного виду логарифмуванням; розраховані параметри підлягають потенціюванню.

Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічного ряду Така процедура називається екстраполяцією тренда. Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, які визначали тенденцію у минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому. Формально операцію екстраполяції можна представити як визначення функції:

,

де Y_t+v — прогнозне значення на період упередження v; — база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.

Екстраполяція тренда дає точковий прогноз. Очевидно, що «влучення в точку» малоймовірне. Адже тренду властива невизначеність, передусім через похибки параметрів. Джерелом цих похибок є обмежена сукупність спостережень y_t, кожне з яких містить випадкову компоненту e_t,. Зсунення періоду спостереження лише на один крок веде до зсунення оцінок параметрів. Випадкова компонента буде присутня і за межами динамічного ряду, а отже, її необхідно врахувати. Для цього визначають довірчий інтервал, який би з певною ймовірністю окреслив межі можливих значень Y_{t + v} Точковий інтервал перетворюється в інтервальний. Ширина інтервалу залежить від варіації рівнів динамічного ряду навколо тренда та ймовірності висновку (1 - а):

Де S_p — середня квадратична похибка прогнозу, значення якої залежить від дисперсії тренда та дисперсії відхилень від тренда . Зокрема, для лінійного тренда

.

Якщо база прогнозування — останній рівень ряду, то , a замінюється на . Після нескладних алгебраїчних перетворень похибку прогнозу за лінійним трендом можна представити так:

або, позначивши підкореневий вираз символом z, s_p = s_ez.

Тобто похибка прогнозу залежить від залишкової дисперсії , довжини динамічного ряду (передісторії) n та періоду упередження v. Чим довший період передісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду упередження, навпаки, веде до зростання похибки прогнозу.

1. Прогнозування повних циклів

Свої особливості має моделювання динамічних процесів з ефектом насичення, коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівень наближується до певної межі (питомі витрати ресурсів, споживання продуктів харчування на душу населення тощо). Для їх описування використовують клас кривих, що мають горизонтальну асимптоту . Найпростішою з-поміж них є модифікована експонента:

де параметр а — різниця між ординатою Y_t, при t = 0 та асимптотою K. Якщо a < 0, асимптота знаходиться вище кривої, якщо a > 0 — асимптота нижче кривої. Параметр b характеризує співвідношення послідовних приростів ординати. За умови рівномірного розподілу ординати по осі часу ці співвідношення є сталими:

.

Модифікована експонента описує процеси, на які діє певний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі зростанням Y_t. У разі, коли обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, до якого процес розвивався за експоненційним законом, то такий процес найкраще апроксимується S-подібною функцією з точкою перегину P, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням. Наприклад, попит на новий товар попервах незначний; потім, після визнання споживачами, він стрімко зростає, але у міру насичення ринку темпи зростання уповільнюються, згасають. Попит стабілізується на певному рівні. Аналогічні фази розвитку мають процеси нововведень і винаходів, ефективність використання ресурсів тощо. З-поміж S-подібних кривих, що описують повний цикл розвитку, найпоширенішою є функція Перла-Ріда — логістична крива:

.

Якщо показник процесу — частка, що змінюється в межах від 0 до 1, то формула логістичної функції спрощується:

.

У страховій і демографічній статистиці використовують іншу S-подібну функцію — криву Гомперца: або в логарифмах

.

Тобто крива Гомперца приводиться до модифікованої експоненти, у якої сталими є відношення приростів ординат у логарифмах.

Оцінювання параметрів функцій, які мають асимптоти, порівняно з поліномами та експонентами значно складніше. Тут можливі два варіанти.

За першим варіантом асимптота у вигляді нормативу, стандарту тощо визначається апріорі — . Тоді модифіковану експоненту можна представити так:

.

Замінивши на z і прологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lgz = lga + tlgb. Аналогічно приводиться до лінійного виду логістична функція , яка при заміні на z у логарифмах набуває такого ж вигляду: lgz = lga + tlgb. Параметри приведених до лінійного виду функцій, як і параметри поліномів, можна оцінити методом найменших квадратів.

Отже, клас моделей динаміки досить широкий, і вони описують різні процеси розвитку. Вибір типу моделі у конкретному дослідженні ґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв'язків з іншими процесами. Ha основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) та окреслюється коло функцій, здатних апроксимувати цей процес. Серйозною підмогою при виборі конкретної моделі слугують формальні методи. Скажімо, для поліномів — це аналіз послідовних різниць. Рівність різниць р-го порядку розглядається як симптом того, що процес описується поліномом р-го порядку. Якщо приблизно однакові різниці 1-го порядку , використовують лінійний тренд, якщо однакові різниці 2-го порядку — — параболу і т. д. Певні складнощі можуть виникнути при виборі експоненти. Адже S-подібна крива до точки перегину описує експоненційний тренд, а сама точка перегину може бути за межами динамічного ряду. Отже, якщо межа насичення теоретично можлива і процес у майбутньому може згасати або існують певні обмеження для процесу (правові, матеріальних ресурсів, виробничих потужностей тощо), то перевага віддається S-подібній кривій.

Оскільки первинним рядам динаміки властива значна варіація рівнів y_t то аналіз послідовних різниць більш коректно проводити на основі рядів ковзних середніх. У табл.2.2 наведено основні характеристики такого аналізу (апріорні тести), за якими визначається конкретний тип моделі повного циклу.

Таблица 2.2

Характеристика	Властивості характеристик	Тип трендової моделі
	Приблизно однакові	Поліном 1-го ступеня
	Лінійно змінюються	Поліном 2-го ступеня
	Приблизно однакові	Експонента
	Лінійно змінюються	Модифікована експонента
	Лінійно змінюються	Логістична крива
	Лінійно змінюються	Крива Гомперца

При зворотному напрямку тенденції різниці розраховуються, починаючи з кінця. За наявності від'ємних різниць логарифмування неможливе, тому необхідно збільшити інтервал згладжування ковзних середніх.

1. Типи моделей взаємозв'язку

Усі явища навколишнього світу взаємопов'язані й взаємозумовлені. У складному переплетенні всеохоплюючого взаємозв'язку будь-яке з них є наслідком дії певної множини причин і водночас причиною інших явищ.

Логічний зміст і практичну значущість статистичних моделей взаємозв'язку слід розглядати саме в площині співвідношення причинності і зв'язків, що вимірюються статистичними методами. Суть причинності полягає в породженні одного явища іншим. Причина — активна основа, що примушує інше явище змінюватися. Сама по собі причина не визначає наслідку. Останній залежить і від умов, у яких діє причина. Через нерозрізненість причин і умов при моделюванні вони об'єднуються в одне поняття «фактор», а наслідок розглядається як результат дії факторів. Отже, в рамках моделі досліджується детермінованість результату факторами.

Методологічні проблеми побудови моделей взаємозв'язку можна об'єднати в дві групи:

• формування ознакової множини моделі, себто визначення кількості факторів та їх числових еквівалентів;

• модельна специфікація — вибір функціонального виду моделі, ідентифікація та оцінювання параметрів.

При формуванні ознакової множини моделі різноманітні прояви причинно-наслідкових зв'язків доцільно представляти візуально у вигляді спеціальних конструкцій — графів зв'язку, елементами яких е вершини та орієнтовані ребра (дуги). Вершини графа відповідають ознакам, а дуги показують відношення між ознаками. На рис. 2.1 ілюструється граф зв'язку чотирьох ознак. За дугами графа можна простежити систему відношень між ними: х впливає на у прямо, безпосередньо, z — прямо та опосередковано двома шляхами: та . У такій логічній конструкції ознака у є результатом, а х, z і — факторами, що визначають результат.

Граф відображує теоретично обґрунтовану систему відношень між ознаками. Кожна ланка цієї системи розглядається як окрема гіпотеза, що підлягає перевірці в подальшому аналізі на усіх етапах побудови моделі. Основна мета моделей взаємозв'язку - виявити і кількісно виміряти вплив факторів на результат. Очевидно, щоб визначити ефект впливу і-го фактора, необхідно елімінувати (усунути) вплив інших факторів, умовно зафіксувавши їх шляхом відповідних розрахунків на одному і тому ж рівні.

Характеристики

Список файлов книги