86399 (612738), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

— две точки произвольной траектории L, соответствующие значениям t₀ и t₁ переменного t. Тогда для любого > 0 можно указать такое > 0, что если точка М'₀ (М₀), то проходящая через эту точку при t = t₀ траектория L' определена для всех t в промежутке (или t₀ ) и точка М' траектории L', соответствующая любому значению t из этого промежутка, лежит в -окрестности точки М траектории L, соответствующей тому же t (рис. 6).

Докажем лемму, непосредственно вытекающую из теоремы 4.

Лемма 9. Пусть К — замкнутое ограниченное множество, целиком лежащее в G. Всегда существует h₀ > 0 такое, что при любом t₀ решение

x= (t — t₀, x₀, y₀), y= (t — t₀, x₀, y₀) (30)

для любой точки М₀ (х₀, у₀) К заведомо определено при всех значениях t из промежутка

t₀ - h t t₀ +h.

Доказательство. Предположим, что лемма несправедлива, т. е. для любого h > 0 найдется такая точка М К, что решение (30), которое мы для краткости запишем в виде M = M(t — t₀, ), не определено на всем сегменте [t₀ — h, t₀ + h]. Тогда существует последовательность стремящихся к нулю положительных чисел { } и последовательность точек { } множества К таких, что решение M = M(t — t₀, ) не определено на всем сегменте [t₀ — h_n, t₀ + h_n]. Так как по предположению К — замкнутое ограниченное множество, то из { } всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множества К. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама последовательность { } сходится к некоторой точке M* К. Рассмотрим решение M = M(t—t₀, М*). Всегда существует h* > 0 такое, что это решение во всяком случае определено при значениях t на сегменте [t₀—h*, t₀ + h*]. В силу теоремы 4 тогда и всякое решение

M=M(t — t₀, M_n)

при достаточно большом n определено на сегменте [t₀ — h*, t₀ + h*]. Ho h_n < h* при достаточно большом n (так как h_n 0), и, следовательно, решение М = М (t — t₀, M_n) должно быть определено при всех значениях t из сегмента [t₀ — h_n, t₀ + h_n ], что противоречит выбору точек М_n. Лемма доказана.

10. Замена переменных

Предположим, что область определения G системы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой области на некоторую область G* плоскости (и, v).

Пусть это отображение задается формулами

x=f(u, v), y = g(и, v) (Т)

или эквивалентными им формулами

x = f*(x,y), y=g*(x,y), (Т*)

где функции f, g, f*, g* являются функциями класса С₂. Мы будем предполагать также, что G* — ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f* и g* были ограниченными в области G.

Переменные и и v можно рассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные координаты в области G плоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразования координат.

Пусть после перехода к координатам и, v система (I) принимает вид

= U(u,v), = V(u,v). (31)

При этом мы имеем, очевидно,

g (u, v)) + Q(f(u, v), g(u,v)), (32)

V(u, v) = P(f(u, v), g(u, v)) + Q(f(u, v), g(u, v)).

Таким образом, при переходе к новым координатам и, v вектор т с координатами Р (х, у), Q (х, у) преобразуется в вектор т* с координатами U (и, v), V (и, и), связанными с Р (х, у), Q (х, у) выражениями (32).

При отображении (Т) всякая траектория системы (I)

x = (t), y = (t) переходит в траекторию системы (31)

(33)

и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решением системы (31).

В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.

Действительно, при преобразовании к полярным координатам

во-первых нарушается взаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант

,обращается в нуль, при

11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе

Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

(II)

либо дифференциальное уравнение

. ( )

Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть какая-нибудь точка области G. В силу теоремы о существовании и единственности решения, если при значениях , P( ) , то существует единственное решение y=f(x), соответствующее начальным значениям , и, следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку

В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).

Пусть

х = (t), у = (t)

— решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, x₀ y₀ . Выражая t вблизи значений t₀, х₀, у₀ как функцию х, t= (х) (это возможно в силу того, что по условию ' (t₀) = Р (x₀ ,y₀) 0) и подставляя в функцию у = (t), мы, как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)

y = ( (x)) = f(x)

Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью этой траектории.

Рис. 7

Предположим, что решение у = f (х) определено на интервале (x₁ , x₂) , и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х x₁ (все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда х х₂). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х x₁ точка с координатами (x, f(х)) не стремится к границе области G, то она стремится к точке М (x₁ , f (x₁)), для которой Р (x₁ , f (x₁)) = 0, т. е. к точке, в которой уравнение (II) теряет смысл. Если при этом Q (x₁ , f (x₁)) 0, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравнение (II*), и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f (x) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II*), проходящую через точку М(x₁ , f (x₁)) . Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q (х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из решения у = f (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =g (у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II) и (II*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.

Совершенно аналогично в точке N ( ), в которой Q (g (у₁), y₁) = 0, а Р(g (у₁), y₁) 0, естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).

Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I) точку М₀ (х₀, у₀) области G и всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадает с траекторией, проходящей через точку М₀.

Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотрении уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравнений (II) и (II*), именно

(III)

Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (II*)).

Точки, в которых одновременно

Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0

и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками уравнений (II), (II*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III) и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.

В то время, как система (I) определяет в области G фазовой плоскости векторное поле, состоящее из векторов (х, у) с компонентами Р (х, у), Q (х, у) , уравнение (III) (или пара уравнений (II) и (II*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III), получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент (если 0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).

Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.

Если функция класса f (x, у) не обращается в нуль в области G, то системе

, (I *)

соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)

, что и системе ,

Характеристики

Список файлов курсовой работы